篇一：等差数列教案
等差数列三年19考 高考指数:★★★★
1.理解等差数列的概念，了解等差数列与一次函数的关系；
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.
1.等差数列的通项公式与前n项和公式是考查重点；
2.运用归纳法、累加法、倒序相加法、方程思想、函数的性质解决等差数列问题是重点，也是难点；
3.题型以选择题和填空题为主，与其他知识点结合则以解答题为主
.
1.等差数列的定义
(1)条件：一个数列从_第二项__起，每一项与前一项的差是同一 个常数.
(2)公差：是指常数，通常用字母d表示.
(3)定义表达式：________an+1-an=d(常数)_______(n∈N+).
【即时应用】
判断下列数列是否为等差数列.(请在括号中填写“是”或
“否”)
(1)数列0，0，0，0，0，? ()
(2)数列1，1，2，2，3，3，? ()
(4)数列a,2a,3a,4a，? ()
【解析】(1)(4)中从第二项开始，每一项与前一项的差为同一常数；而(2)(3)中从第二项开始,每一项与前一项的差并不是同一常数，故(1)(4)为等差数列，(2)(3)不是.
答案：(1)是 (2)否 (3)否 (4)是
2.等差数列的通项公式
若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为
an=_____a1+(n-1)d
【即时应用】
(1)思考：公差d与数列{an}的单调性有什么关系？
提示：当d>0时，{an}为递增数列；当d<0时，{an}为递减数列；当d=0时，{an}为常数列.
2)在等差数列{an}中，a5=10,a12=31,则数列的通项公式为________.
【解析】∵a5=a1+4d,a12=a1+11d,∴an=a1+(n-1)d=-2+(n-1)×3=3n-5.
答案：an=3n-5
(3)等差数列10，7，4，?的第20项为_____.
【解析】由a1=10,d=7-10=-3,n=20,得a20=10+(20-1)×(-3)=-47.
答案：-47
3.等差中项
如果在a与b中间插入一个数A，使a,A,b成等差数列，那么__A叫作a与b的等差中项.
【即时应用】
(1) A? a?b 是a，A，b成等差数列的________条件.
2
(2)若等差数列{an}的前三项依次为a,2a+1,4a+2,则它的第五项为________.
【解析】
(1)若 A? a?b2A=a+b,可推出A-a=b-A,所以a,A,b成等差数列；反之，若a,A,b成 2等差数列，则 A? a?b 故是a，A，b成等差数列的充要条件. 2
(2)由题意知2a+1是a与4a+2的等差中项，即2a+1=
解得a=0,故数列{an}的前三项依次为0，1，2，则a5=0+4×1=4.
答案：(1)充要(2)4
4.等差数列的前n项和公式 n(a1?an)(1)已知等差数列{an}的首项a1和第n项an,则其前n项和公式Sn=_________. 2 n(n?1)na?d(2)已知等差数列{an}的首项a1与公差d，则其前n项和公式Sn=_____________. 12【即时应用】
(1)在等差数列{an}中，a1=5,an=95,n=10,则Sn=_______.
(2)在等差数列{an}中，a1=100,d=-2,n=50,则Sn=______.
(3)在等差数列{an}中，d=2,n=15,an=-10,则Sn=________.
答案：(1)500 (2)2 550 (3)-360
等差数列的基本运算
【方法点睛】1.等差数列运算问题的通法
等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.
2.等差数列前n项和公式的应用方法 n(a1?an)S?, 等差数列前n项和公式有两个，如果已知项数n、首项a1和第n项an，则利用n2n(n?1)d如果已知项数n、首项a1和公差d，则利用 S 在求解等差数列的基本.n?na1?2运算问题时，有时会和通项公式结合使用.
2.等差数列前n项和的函数特征 n(n?1)d?na?1.将等差数列前n项和公式S . ，看作是一个关于n的函数，这个n12函数有什么特点？ dd d2dA?,B?a?令 ? (? ) n1 S n ? 2 n a 1 222
则 Sn=An2+Bn
当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数
【例1】(1)(2011·广东高考)等差数列{an}前9项的和等于前4项的和.若a1=1,ak+a4=0,则k=______.
(2)(2011·湖北高考)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为_____升.
(3)(2011·福建高考)已知等差数列{an}中，a1=1,a3=-3.
①求数列{an}的通项公式；
②若数列{an}的前k项和Sk=-35，求k的值.
【解题指南】(1)根据S9=S4求公差d，利用ak+a4=0求k.
(2)转化为关于a1,d的方程组，先求a1,d,再求a5，或直接转化为关于a5,d的方程组求解.
(3)求出公差d后直接写出an，求出Sn，根据Sk=-35求k的值.
【反思·感悟】1.等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1,an,d,n,Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程解决问题的思想.
2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.
例2.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.
【反思·感悟】
1.等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1,an,d,n,Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程解决问题的思想.
2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.
【变式备选】在等差数列{an}中，
(1)已知a15=33,a45=153,求a66;
(2)已知S8=48,S12=168,求a1和d；
(3)已知a6=10,S5=5,求a8和
S8.
等差数列的判定
【方法点睛】等差数列的判定方法
(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an-an-1为同一常数；
(2)等差中项法：验证2an-1=an+an-2(n≥3,n∈N+)成立；
(3)通项公式法：验证an=pn+q；
(4)前n项和公式法：验证Sn=An2+Bn.
【提醒】判定方法中的(1)(2)可作为证明等差数列的方法，(3)(4)只能作为定性判断等差数列的方法.
【例2】已知数列{an}中， a1?31 an?2? (n≥2,n∈N+),数列 5an?1
{bn}满足 bn?1
(n∈N+).
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由.
【解题指南】利用定义法证明数列{bn}是等差数列；先求bn，再求an,最后利用函数的单调性求最大项和最小项.
当n=3时，an取得最小值-1，当n=4时，an取得最大值3.故最
大项为a4,最小项为a3.
反思·感悟】本例中在用定义法证明{bn}是等差数列时，不论用bn+1-bn还是用bn-bn-1,需要考虑运算中是否包含了b2-b1这一运算,这是容易被忽视的问题.
【变式训练】已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn·Sn-1
=0(n≥2),a1= 11 求证：{}是等差数列. 2Sn
【证明】∵an=Sn-Sn-1,且an+2Sn·Sn-1=0(n≥2)，
∴Sn-Sn-1+2Sn·Sn-1=0(n≥2)， 111又Sn≠0， ???2,又? SSS
∴数列{
1 }是以2为首项，2为公差的等差数列.
Snnn?111?2，a1
等差数列的性质及应用
【方法点睛】等差数列的常见性质
(1)若m+n=p+q=2k,则am+an=ap+aq=2ak.
(2)若{an},{bn}都是等差数列，k,m∈R,数列{kan+mbn}仍为等差数列.
(3)Sm,S2m-Sm,S3m-S2m仍为等差数列.
am(4)am=an+(m-n)d?d= ?an (m≠n). m?n
5)项数为偶数2n的等差数列{an}:
①S2n=n(a1+a2n)=?=n(an+an+1).
②S偶-S奇=nd, S奇n?1?.(6)项数为奇数(2n+1)的等差数列{an}:①S2n+1=(2n+1)an+1.② S偶n
例3】(1)(2011·辽宁高考)Sn为等差数列{an}的前n项和，S2=S6，a4=1,则a5=________.
(2)(2012·宝鸡模拟)等差数列{an}的前17项和S17=51，则a5-a7+a9-a11+a13=________.
(3)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知前6项和为36，最后6项的和为180，Sn=324(n>6),求数列{an}的项数及a9+a10.
【解题指南】(1)根据S2=S6，先求a4+a5的值，再求a5.
(2)根据性质知a1+a17=a7+a11=a5+a13=2a9求解.
(3)根据前6项与最后6项的和求出a1+an,再求n及a9+a10.
【规范解答】(1)∵S2=S6，
∴S6-S2=a3+a4+a5+a6=0，
∴2(a4+a5)=0,即a4+a5=0，
∴a5=-a4=-1.
答案：-1
(2)∵数列{an}为等差数列，且S17=51，
∴ =51,即a1+a17=6，
∴a5-a7+a9-a11+a13
=(a5+a13)-(a7+a11)+a9
=6-6+3=3.
答案：3
(3)由题意知a1+a2+?+a6=36①
an+an-1+an-2+?+an-5=180②
①+②得
(a1+an)+(a2+an-1)+?+(a6+an-5)=6(a1+an)=216，∴a1+an=36,
又
∴18n=324,∴n=18.
∴a1+a18=36,
∴a9+a10=a1+a18=36.
互动探究】若本例(1)条件不变，改为求此等差数列的前多少项的和最大，并求出最大值.
【解析】在本例(1)中已求解出a5=-1,
又a4=1,得公差d=-2,∴前4项的和最大,且S4=1+3+5+7=16.
【反思·感悟】1.在等差数列{an}中，若m+n=p+q=2k,则am+an=ap+aq=2ak是常用的性质，本例(1)、(2)、(3)题都用到了这个性质，在应用此性质时，一定要观察好每一项的下标规律，不要犯a2+a5=a7的错误.
2.本例(2)也可先求a1与d的关系，然后求解,但不如用性质简单
【变式训练】已知等差数列{an}，a3=5,a2+a7=16.
(1)求数列{an}的通项公式；
2
(2)设bn= , 求数列{bn}的前n项和. anan?1
【解析】(1)由已知a2+a7=16可得a4+a5=16,又因为a3=5,所以a3+a4+a5=21. 所以a4=7,∴d=a4-a3=2,∴an=2n-1. 2(2)因为 bn= , 设数列{bn}的前n项和为Sn， anan?1
2222 则Sn??????.a1a2a2a3a3a4anan?1
111111111结合(1)知S?1???????????n 33557792n?12n?1 12n ?1??.2n?12n?1
篇二：等差数列教案[3课时]
江苏省职业学校公共基础课程
“两课”评比
教师姓名 教材名称 数学 （基础模块 下册） 教材版本 江苏教育出版社2011年11月第1版 教材组编 江苏省职业学校数学教材编写组 教材主编 马复王巧林 授课名称 《等差数列》 授课班级11级会计单招班所在学校 江苏省连云港中等专业学校
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篇三：高中数学等差数列教案
等差数列
（一）教学目标
1．知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系。
2. 过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导，归纳抽象出等差数列的概念；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。
3．情态与价值:培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识。
（二）教学重、难点
重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系。难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。
（三）学法与教学用具
学法：引导学生首先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列的特点，推导出等差数列的通项公式；可以用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。
教学用具：投影仪
（四）教学设想
[创设情景]
上节课我们学习了数列。在日常生活中，人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们就先学习一类特殊的数列。
[探索研究]
由学生观察分析并得出答案：
（放投影片）在现实生活中，我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：0，5，____,____,____,____,??
2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目。该项目共设置了7个级别。其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg）：48，53，58，63。
水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼。如果一个水库的水位为18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）：18，15.5，13，10.5，8，5.5
我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是：本利和=本金×（1+利率×寸期）.例如，按活期存入10 000元钱，年利率是0.72%。那么按照单利，5年内各年末的本利和分别是：
各年末的本利和（单位：元）组成了数列：10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360。
思考：同学们观察一下上面的这四个数列：0，5，10，15，20，?? ①
48，53，58，63 ②
18，15.5，13，10.5，8，5.5 ③
10 072，10 144，10 216， 10 288，10
360 ④
看这些数列有什么共同特点呢？
（由学生讨论、分析）
引导学生观察相邻两项间的关系，得到：
对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 ；
对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 ；
对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 -2.5 ； 对于数列④，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 72 ；
由学生归纳和概括出，以上四个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数（即：每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点）。
[等差数列的概念]
对于以上几组数列我们称它们为等差数列。请同学们根据我们刚才分析等差数列的特征，尝试着给等差数列下个定义：
等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。那么对于以上四组等差数列，它们的公差依次是5，5，-2.5，72。
提问：如果在与中间插入一个数A，使，A，成等差数列数列，那么A应满足什么条件？
由学生回答：因为a，A，b组成了一个等差数列，那么由定义可以知道：
A-a=b-A
所以就有
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫做a与b的等差中项。
不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项。
如数列：1，3，5，7，9，11，13?中5是3和7的等差中项，1和9的等差中项。9是7和11的等差中项，5和13的等差中项。 看来，
则
[等差数列的通项公式] 从而可得在一等差数列中，若m+n=p+q
对于以上的等差数列，我们能不能用通项公式将它们表示出来呢？这是我们接下来要学习的内容。
⑴、我们是通过研究数列的第n项与序号n之间的关系去写出数列的通项公式的。下面由同学们根据通项公式的定义，写出这四组等差数列的通项公式。 由学生经过分析写出通项公式：
① 这个数列的第一项是5，第2项是10（=5+5），第3项是15（=5+5+5），第4项是20（=5+5+5+5），
??由此可以猜想得到这个数列的通项公式是
② 这个数列的第一项是48，第2项是53（=48+5），第3项是58（=48+5×2），第4项是63（=48+5×3
），由此可以猜想得到这个数列的通项公式是
③ 这个数列的第一项是18，第2项是15.5（=18-2.5），第3项是13（=18-2.5×2），第4项是10.5（=18-2.5×3），第5项是8（=18-2.5×4），第6项是
5.5（=18-2.5×5）由此可以猜想得到这个数列的通项公式是
④ 这个数列的第一项是10072，第2项是10144（=10172+72），第3项是10216（=10072+72×2），第4项是10288（=10072+72×3），第5项是10360（=10072+72×4
），由此可以猜想得到这个数列的通项公式是
⑵、那么，如果任意给了一个等差数列的首项
呢？
引导学生根据等差数列的定义进行归纳：
和公差d，它的通项公式是什么
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