篇一：一阶倒立摆
单级倒立摆经典控制系统
摘 要：倒立摆控制系统虽然作为热门研究课题之一，但见于资料上的大多采用现代控制方法，本课题的目的就是要用经典的方法对单级倒立摆设计控制器进行探索。本 文以经典控制理论为基础，建立小车倒立摆系统的数学模型，使用PID控制法设计出确定参数(摆长和摆杆质量)下的控制器使系统稳定，并利用MATLAB软 件进行仿真。
关键词：单级倒立摆；经典控制；数学模型；PID控制器；MATLAB
1绪论
自动控制理论是研究自动控制共同规律的技术科学。它的发展初期，是以反馈理论为基础的自动调节原理，并主要用于工业控制。
控制理论在几十年中，迅速经历了从经典理论到现代理论再到智能控制理论的阶段，并有众多的分支和研究发展方向。
1.1经典控制理论
控 制理论的发展，起于 “经典控制理论”。早期最有代表性的自动控制系统是18世纪的蒸汽机调速器。20世纪前，主要集中在温度、压力、液位、转速等控制。20世纪起，应用范围 扩大到电压、电流的反馈控制，频率调节，锅炉控制，电机转速控制等。二战期间，为设计和制造飞机及船用自动驾驶仪、火炮定位系统、雷达跟踪系统及其他基于 反馈原理的军用装备，促进了自动控制理论的发展。至二战结束时，经典控制理论形成以传递函数为基础的理论体系，主要研究单输入-单输出、线性定常系统的分 析问题。经典控制理论的研究对象是线性单输入单输出系统，用常系数微分方程来描述。它包含利用各种曲线图的频率响应法和利用拉普拉斯变换求解微分方程的时 域分析法。这些方法现在仍是人们学习控制理论的入门之道。
1.2倒立摆
1.2.1倒立摆的概念
图1 一级倒立摆装置
倒立摆是处于倒置不稳定状态，人为控制使其处于动态平衡的一种摆。如杂技演员顶杆的物理机制可简化为一级倒立摆系统，是一个复杂、多变量、存在严重非线性、非自治不稳定系统。
常见的倒立摆系统一般由小车和摆杆两部分构成，其中摆杆可能是一级、两级甚至多级。在复杂的倒立摆系统中，摆杆长度和质量均可变化。据研究的目的和方法不同，又有悬挂式倒立摆、球平衡系统和平行式倒立摆等。
1.2.2研究倒立摆稳定性的意义
倒 立摆的研究具有重要的工程背景。机器人行走就类似倒立摆系统。从日常生活中所见到的任何重心在上、也是支点在下的控制问题，到空间飞行器和各类伺服云台的 稳定，都和倒立摆系统的稳定控制有很大相似性，故对其稳定控制在实际中有很多用场，如海上钻井平
台的稳定控制、卫星发射架的稳定控制、火箭姿态控制、飞机 安全着陆、化工过程控制等。 2单级倒立摆的数学模型
2.1模型的推导原理
建立控制系统的数学模型有两种 基本方法。其一，对系统各部分的运动机理进行分析，根据它们所依据的物理规律或化学规律分别列写相应的运动方程，合在一起便成为描述整个系统的方程。其 二，人为地给系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型去逼近。主要用于系统运动机理复杂因而不便分析或不可能分析的情况。
系统的建模原则：
1、建模之前，要全面了解系统的自然特征和运动机理，明确研究目的和准确性要求，选择合适的分析方法。
2、按照所选分析法，确定相应的数学模型的形式；
3、根据允许的误差范围，进行准确性考虑，然后建立尽量简化的合理的数学模型。
倒立摆的形状较为规则，而且是一个绝对不稳定系统，无法通过测量频率特性方法获取其数学模型。故适合用数学工具进行理论推倒。
2.2单级倒立摆系统描述
小 车—倒立摆系统是各种控制理论的研究对象。只要一提小车—倒立摆系统，一般均认为其数学模型也已经定型。事实上，小车—倒立摆的数学模型与驱动系统有关， 常见到的模型只是对应于直流电机的情况，如果执行机构是交流伺服电机，就不是这个模型了。本文主要分析由直流电机驱动的小车—倒立摆系统。小车倒立摆系统 是检验控制方式好坏的一个典型对象，其特点是高阶次、不稳定、非线性、强耦合，只有采取有效的控制方式才能稳定控制。
图2单级倒立摆系统的原理图
图 中u是施加于小车的水平方向的作用力，x是小车的位移，θ是摆的倾斜角。若不给小车施加控制力，倒摆会向左或向右倾斜，控制的目的是当倒摆出现偏角时，在 水平方向上给小车以作用力，通过小车的水平运动，使倒摆保持在垂直的位置。即控制系统的状态参数，以保持摆的倒立稳定。
2.3单级倒立摆系统数学建模
为了建立倒立摆系统的数学模型，先作如下假设:①倒立摆与摆杆均为匀质刚体。②可忽略摆与载体，载体与外界的摩擦，即忽略摆轴、轮轴、轮与接触面之间的摩擦力等。
2.3.1结构参数
倒 立摆是不稳定的，如果没有适当的控制力作用在它的上面，它将随时可能向任何方向倾倒。这里只考虑二维问题，即认为倒立摆只在图2所示平面内运动。控制力u 作用于小车上。摆杆长度为2L，质量为m，小车的质量为M，小车瞬时位移为x，摆杆瞬时位置为（x+2L*sinθ），在外力的作用下，系统产生运动。假 设摆杆的重心位于其几何中心。设输入为作用力u，输出为摆角θ。
2.3.2系统的运动方程
图3小车沿x轴的受力分析 图4摆的受力分析
小车沿x轴方向的受力分析如图4所示，根据牛顿第二定律得
方程⑴⑵⑶⑷为车载倒立摆系统运动方程组。因为含有项，所以为非线性微分方程组。中间变量不易相消。 2.4单级倒立摆系统模型的线性化处理及传递函数
3单级倒立摆控制系统原理
3.1线性系经统的校正方法
所谓校正，就是在系统中加入一些其参数可以根据需要而改变的机构或装置，使系统整个特性发生变化，从而满足给定的各项性能指标。按照校正装置在系统中的连接方式，控制系统校正方式可分为串联校正、反馈校正和复合校正四种。根据被控对象及技术指标要求这里采用串联校正。
3.2基本控制定律
确 定校正装置的具体形式时，应先了解校正装置所提供的控制规律，以便选择相应的元件。包含校正装置在内的控制器，常常采用比例、微分、积分等基本控制规律， 或者采用这些基本控制规律的某种组合，如比例－微分、比例－积分、比例－积分－微分等组合控制规律，以实现对被控对象的有效控制。 比例--微分—微分（P ID）控制定律
具有比例—积分—微分控制规律的控制器，称PID控制器。这种组合具有三种基本控制规律各自的特点，其运动方程为
当 利用PID控制器进行串联校正时，除可使系统的型别提高一级外，还将提供两个负实零点。与PI控制器相比，除了同样具有提高系统的稳态性能的优点外，还多 提供了一个负实零点，从而在提高系统动态性能方面，具有更大的优越性。因此，在工业过程控制系统中，广泛使用PID控制器。PID控制器各部分参数的选 择，在系统现场调试中最后确定。通常，应使I部分发生在系统频率特性的低频段，以提高系统的稳态性能；而使D部分发生在系统频率特性的中频段，以改善系统 的动态性能。本系统采用即为PID控制器。
3.3PID控制
3.3.1.1PID控制器的结构
所有的PID控制器都有可以分解成给定值控制单元，PID作用单元及手动/自动转换单元等三个主要单元，如图6所示。图中，给定值单元①接收工业控制过程的测量量c，以及控制装置的给定值 。PID作用单元②接受给定值控制单元产生的误差信号e，并按给定控制律算出闭环控制信号 。手动/自动单元③在“自动A位置时，将PID单元的输出信号 送入工业过程，此时工业过程在闭环中受到控制；而在“手动M位置时，把用户直接在控制器上调整手动输出信号 送至工业过程，于是系统采用开环控制方式。
图5 PID控制器原理性结构 3.3.1.2PID控制器的使用
篇二：倒立摆系统技术报告
1.1倒立摆系统的简介
1.1.1倒立摆系统的研究背景及意义
倒立摆系统的最初分析研究开始于二十世纪五十年代，是一个比较复杂的不稳定、多变量、带有非线性和强耦合特性的高阶机械系统，它的稳定控制是控制理论应用的一个典型范例。倒立摆系统存在严重的不确定性，一方面是系统的参数的不确定性，一方面是系统的受到不确定因素的干扰。通过对它的研究不仅可以解决控制中的理论问题，还将控制理论涉及的相关主要学科：机械、力学、数学、电学和计算机等综合应用。在多种控制理论与方法的研究和应用中，特别是在工程中，存在一种可行性的实验问题，将其理论和方法得到有效的验证，倒立摆系统可以此提供一个从控制理论通过实践的桥梁。近些年来，国内外不少专家、学者一直将它视为典型的研究对象，提出了很多控制方案，对倒立摆系统的稳定性和镇定问题进行了大量研究，都在试图寻找不同的控制方法实现对倒立摆的控制，以便检查或说明该方法的严重非线性和绝对不稳定系统的控制能力，其控制方法在军工、航天、机械人领域和一般工业过程中都有着广泛的用途，如精密仪器的加工、机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制、导弹拦截控制、航空对接控制、卫星飞行中的姿态控制等方面均涉及到倒置问题。因此，从控制这个角度上讲，对倒立摆的研究在理论和方法论上均有着深远意义。倒立摆系统是一个典型的自不稳定系统，其中摆作为一个典型的振动和运动问题，可以抽象为许多问题来研究。随着非线性科学的发展，以前的采用线性化方法来描述非线性的性质，固然无可非议，但这种方法是很有局限性，非线性的一些本质特征往往不是用线性的方法所能体现的。非线性是造成混乱、无序或混沌的核心因素，造成混乱、无序或混沌并不意味着需要复杂的原因，简单的非线性就会产生非常的混乱、无序或混沌。在倒立摆系统中含有极其丰富和复杂的动力学行为，如分叉、分形和混沌动力学，这方面的问题也值得去探讨和研究。
无论哪种类型的倒立摆系统都具有如下特性：
(1)非线性倒立摆是一个典型的非线性复杂系统。实际中可以通过线性化得到系统的近似模型，线性化处理后再进行控制，也可以利用非线性控制理论对其进行控制，倒立摆的非线性控制正成为一个研究的热点。
(2)不确定性主要是指建立系统数学模型时的参数误差、量测噪声以及机械传动过程中的减速齿轮间隙等非线性因素所导致的难以量化的部分。
(3)欠冗余性一般的，倒立摆控制系统采用单电机驱动，因而它与冗余机构，比如说冗余机器人有较大的不同。之所以采用欠冗余的设计是要在不失系统可靠性的前提下节约经济成本或者节约有效的空间。研究者常常是希望通过对倒立摆控制系统的研究获得性能较为突出的新型控制器设计方法，并验证其有效性及控制性能。
(4)耦合特性倒立摆摆杆和小车之间，以及多级倒立摆系统的上下摆杆之间都是强耦合的。这既是可以采用单电机驱动倒立摆控制系统的原因，也是使得控制系统的设计、控制器参数调节变得复杂的原因。
(5)开环不稳定性倒立摆系统有两个平衡状态：垂直向下和垂直向上。垂直向下的状态是系统稳定的平衡点(考虑摩擦力的影响)，而垂直向上的状态是系统不稳定的平衡点，开环时微小的扰动都会使系统离开垂直向上的状态而进入到垂直向下的状态中。
(6)约束限制由于实际机构的限制，如运动模块行程限制，电机力矩限制等。为制造方便和降低成本，倒立摆的结构尺寸和电机功率都尽量要求最小，行程限制对于倒立摆的摆起尤为突出，很容易出现小车的撞边现象。
倒立摆的以上特性增加了倒立摆的控制难度，也正是由于倒立摆的这些特性，使其更具有研究价值和意义。
1.1.2 倒立摆系统的分类
倒立摆系统诞生之初为单级直线形式，即仅有的一级摆杆一端自由，另一端铰接于可以在直线导轨上自由滑动的小车上。在此基础上，人们又进行拓展，产生了多种形式的倒立摆。
按照基座的运动形式，主要分为三大类：直线倒立摆、环形倒立摆和平面倒立摆，每种形式的倒立摆再按照摆杆数量的不同可进一步分为一级、二级、三级及多级倒立摆等。摆杆的级数越多，控制难度越大，而摆杆的长度也可能是变化的。多级摆的摆杆之间属于自有连接(即无电动机或其他驱动设备)。目前，直线型倒立摆作为一种实验仪器以其结构相对简单、形象直观、构件参数易于改变和
价格低廉等优点，已经广泛运用于教学。关于直线倒立摆的控制技术已经基本趋于成熟，在该领域所出的成果也相当丰富。尽管环形倒立摆的基座运动形式与直线倒立摆有所差异，但二者相同之处是基座仅有一个自由度，可以借鉴比较成熟的直线倒立摆的研究经验，所以近几年来也产生了大量的理论成果。平面倒立摆是倒摆系统中最复杂的一类，这是因为平面倒立摆的基座可以在平面内自由运动，并且摆杆可以沿平面内的任一轴线转动，使系统的非线性、耦合性、多变量等特性更加突出，从而增加了控制的难度，而且机械和电子器件发展遇到瓶颈性的困难，给平面倒立摆的工程实现也带来了一定的难度。
按摆杆的材质不同，倒立摆系统分为刚体摆杆倒立摆系统和柔性倒立摆系统。在柔性倒立摆系统中，摆杆本身己经变成了非线性分布参数系统。
根据研究的目的和方法不同，倒立摆系统又分为悬挂式倒立摆、球平衡系统和平行式倒立摆。其中，研究比较多的是悬挂式倒立摆。这种倒立摆开始工作时，摆杆处于自由下垂状态。控制开始时，首先使摆杆按自由振荡频率摆动，随着摆杆振荡幅度的加大，当摆杆接近于倒立摆竖直倒立位置时，自动转换控制方法，使其稳定于倒置状态。
根据导轨的形状小同，倒立摆的运动轨道可以是水平的，也可以是倾斜的。倾斜倒立摆对实际机器人的步行稳定控制研究非常有意义。
尽管倒立摆系统的结构形式多种多样，但是无论属于哪一种结构，就其本身而言，都是一个非线性、多变量、强耦合、绝对不稳定性系统。
1.1.3 倒立摆系统的研究现状
倒立摆系统的研究具有重要的理论意义和应用价值，对其控制研究是控制领域研究的热门课题之一，国内外的专家学者对此给予了广泛的关注。倒立摆系统研究最早始于上世纪50年代，麻省理工学院(MIT)机电工程系的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒立摆实验装置。
1966年Schaefer和Cannon应用Bang—Bang控制理论将一个曲轴稳定于倒置位置。其实，正式提出倒立摆概念的是60年代后期。在此基础上，世界各国专家和学者对倒立摆进行了拓展，产生了直线二级倒立摆、三级倒立摆、多级倒立摆、柔性直线倒立摆、环形倒立摆、平面倒立摆、环形并联多级倒立摆以及斜坡倒立
摆等实验设备，并用不同的控制方法对其进行了控制，使研究成为了具有挑战性的课题之一。
1976年Mori etc．首先把倒立摆系统在平衡点附近线性化，利用状态空间方法设计比例微分控制器实现了一级倒立摆的稳定控制。
1980年，Furuta etc．等人基于线性化方法，实现了二级倒立摆的控制。 1984年，Furuta等人应用最优状态调节器理论首次实现双电机三级倒立摆实物控制；Wattes研究了LQR(Linear Quadratic Regulator)方法控制倒立摆。
80年代后期开始，较多的研究了倒立摆系统中的非线性特性，提出了一系列的基于非线性分析的控制策略。
1992年，Furuta等人提出用变结构控制来控制倒立摆。
1993年，Wiklund等人应用基于李亚普诺夫的方法控制了环形一级倒立摆。Bouslama利用一个简单的神经网络来学习模糊控制器的输入输出数据，设计了新型控制器。
1995年，Fradkov等人提出的基于无源性的控制；Yamakita等人给出了环形二级倒立摆的实验结果；Li利用两个并行的模糊滑模来分别控制小车和摆杆偏角；Deris利用神经网络的自学习能力来整定PID控制器参数。
1997年，Gordillo比较了LQR方法和基于遗传算法的控制方法，结论是传统控制方法比遗传算法控制效果更好。
国内对倒立摆的研究始于80年代，虽然起步较晚但发展迅速，取得了可喜的成果。对于单级倒立摆口钉和二级倒立摆系统的研究已经历了很长的历程，并且有很多控制成功的报道。在此基础上，三级倒立摆b53及多级倒立摆的研究也取得了很大进展，不仅在系统仿真方面，而且在实物实验中，都出现了控制成功的范例。尹征琦等成功的以模拟的降维观测器实现了二级倒立摆的控制。梁任秋等针对二级倒立摆系统给出了三种实用的数字控制器和降维观测器。1994年，北京航空航天大学教授张明廉将人工智能与自动控制理论相结合，提出“拟人智能控制理论”，实现了用单电动机控制三级倒立摆实物以及后来实现对二维单倒立摆控制。张乃尧等用双闭环模糊控制方法对倒立摆进行了控制。李祖枢等人利用拟人智能控制理论研究了二级倒立摆的起摆和控制问题。李德毅教授利用反映语言值中蕴涵的模糊性和随机性，给出云发生器的生成算法，解释多条定性推理规则
同时被激活时的不确定性推理机制，利用这种智能控制方法有效地实现了单电机控制的一、二、三级倒立摆的多种不同动平衡姿态，显示其鲁棒性，并给出了详细试验结果。北京师范大学李洪兴教授领导的模糊系统与模糊信息研究中心暨复杂系统实时智能控制实验室采用变论域自适应模糊控制理论，分别于2001年6月和2002年8月完成了四级倒立摆系统的仿真和实物实验。朱江滨等人提出了一种基于专家系统及变步长预测控制的实时非线性系统控制方法，仿真实现了二级倒立摆的摆起及稳定控制侧。王永等通过对多级倒立摆动力学分析，得到了任意级旋转倒立摆的数学模型。2005年国防科学技术大学的罗成教授等人利用基于LQR的模糊插值实现了五级倒立摆的控制。
总之，倒立摆系统是检验各种控制算法、研究控制理论很有效的实验设备。 目前应用在倒立摆上的算法主要有以下几类：
(1)经典控制理论：PID控制。通过对倒立摆物理模型的分析，建立倒立摆系统的动力学模型，设计PID控制器实现控制。
(2)现代控制理论：状态反馈。通过对倒立摆系统物理模型的分析，建立系统的动力学模型，然后使用状态空间理论推导出状态方程和输出方程，应用状态反馈，实现对倒立摆的控制。常见的方法有：1）极点配置，2）线性二次型最优控制，3）鲁棒控制，4）状态反馈控制。
(3)模糊控制理论：主要是确定模糊规则，克服系统的非线性和不确定性实现对倒立摆的稳定控制。
(4)神经网络控制理论。利用神经网络能够充分逼近复杂的非线性关系，学习与适应严重不确定系统的动态特性，与其他控制方法结合实现对倒立摆的稳定控制。
(5)拟人智能控制理论。不需要了解被控对象的数学模型，凭借人的知识与直觉经验并借助计算机快速模拟控制经验，把人的思维中的定性分析与控制理论中的定量计算相互结合，从而实现对倒立摆的控制。
(6)云模型控制理论。用云模型构成语言值，用语言值构成规则，形成一种定性的推理机制。这种方法不要求给出对象的精确的数学模型，而仅依据人的经验、感受和逻辑判断，将人用自然语言表达的控制经验，通过语言原子和云模型转换到语言控制规则器中，就能解决非线性问题和不确定性问题。
篇三：JY20080835—倒立摆系统及研究现状
倒立摆系统及研究现状
孙灵芳 孔辉 刘长国
1
1
2
毕磊
3
1. 东北电力大学自动化工程学院 吉林 吉林132012；2.辽宁铁岭电厂 铁岭 辽宁112000；
3. 承德石油高等专科学校 承德 河北 067000
摘 要：倒立摆系统作为一个经典的控制理论研究平台，一直受到人们的广泛关注。本文阐述了倒立摆系统的发展与研究现状。总结归纳了国内外一些算法在倒立摆稳定控制中的应用，比较了线性控制、预测控制及智能控制等方法之间的优劣，并探讨了发展趋势。
关键词：倒立摆、线性控制、预测控制、智能控制 中图分类号：TP13
Overview of the Control of the Inverted
Pendulum System
Sun Lingfang1, Kong Hui1, Liu Changguo2, Bi Lei3
1. School of Automation Engineering, Northeast Dianli University, jilin, 132012；2. Tieling Electric Power Plant,
Tieling, Liaoning, 112000；3. Chengde Petroleum College, Chengde, Hebei, 067000
Abstract— As a typical controlled system, the inverted pendulum is always the ideal research platform, and many people have done lots of works on it. In this paper, the development is expounded mainly. Domestic and overseas research and application on the stable control of the inverted pendulum is summarized, the main control methods, such as the linear control, predictive control and intelligent control, are compared, and the development trend is discussed.
Keywords—Inverted pendulum system, Linear control, Predictive control, Intelligent control
1 引言（Introduction）
在控制理论发展的过程中，一种理论的正确性及在实际应用中的可行性，往往需要一个典型对象来验证，并比较各种控制理论之间的优劣，倒立摆系统就是这样的一个可以将理论应用于实际的理想实验平台。倒立摆的典型性在于：作为实验装置，它本身具有成本低廉、结构简单、便于模拟、形象直观的特点；作为被控对象，它是一个高阶次、不稳定、多变量、非线性、强耦合的复杂被控系统，可以有效的反映出控制中的许多问题；作为检测模型，该系统的特点与机器人、飞行器、起重机稳钩装置等的控制有很大的相似性。因而对倒立摆的研究具有重要的工程背景和实际意义。
- 1 -
2 倒立摆的发展历史及现状（History and actuality
of the inverted pendulum system）
早在上世纪60年代，人们就开始了对倒立摆系统的研究。1966 年 Schaefer 和 Cannon 应用 Bang –Bang控制理论，将一个曲轴稳定于倒置位置。到60年代后期，倒立摆作为一个典型不稳定、非线性的例证被提出
[1]
。
自此，对于倒立摆系统的研究便成为控制界关注的焦点。
倒立摆的种类有很多，按其形式可分为：悬挂式倒立摆、平行式倒立摆、环形倒立摆和平面倒立摆；按级数可分为：一级、二级、三级、四级、多级等；按其运动轨道可分为：水平式、倾斜式；按控制电机又可分为：单电机和多级电机。
目前有关倒立摆的研究主要集中在亚洲，如中国的北京师范大学、北京航空航天大学、中国科技大学，日本的东京工业大学 、东京电机大学 ，东京大学。
[4]
[2]
[3]
韩国的釜山大学 、忠南大学，此外 ，俄罗斯的圣彼得堡大学、美国的东佛罗里达大学、俄罗斯科学院、波兰的波兹南技术大学、意大利的佛罗伦萨大学也都对这个领域有持续的研究。近年来，虽然各种新型倒立摆不断问世，但是可自主研发并生产倒立摆装置的厂家却并不多。目前，国内各高校基本上都采用香港固高公司和加拿大Quanser公司生产的系统
[10,11]
[8]
[9]
[5]
[6]
[7]
再利用各种线性控制方法得到期望的控制器。线性控制的典型代表有：PID 控制、状态反馈控制、LQ 控制算法等。
常规 PID 控制：是最早发展起来的一种控制方法，由于其算法简单、鲁棒性好、速度快、可靠性高，至今仍广泛应用于工业过程控制中
[15]
。其控制规律为:
D
；其它一些生
产厂家还包括（韩国）奥格斯科技发展有限公司（FT-4820型倒立摆）、保定航空技术实业有限公司；最近，郑州微纳科技有限公司的微纳科技直线电机倒立摆的研制取得了成功。
U(k)?kPe?k??kI
?e?j??k?e?k??e?k?1??
j?0
k
该方法虽然可以实现对倒立摆的控制，但由于其线性本质，对于一个非线性、绝对不稳定的系统，不能达到满意的控制效果，振荡比较厉害。若结合其它控制算法使用，可发挥取长补短的作用[16,17]。
状态反馈控制：状态反馈的极点配置法是倒立摆控制的一种基本策略。极点配置法通过设计状态反馈控制器，将多变量系统的闭环系统极点配置在期望的位置上，从而使系统满足要求的瞬态和稳态性能指标[18]。
线性二次型（LQR）：其系统的状态方程是线性的，指标函数是状态变量和控制变量的二次型[19]。该方法针对状态方程X=Ax +Bu，通过确定最佳控制量 u(t) = - Kx(t) 中的矩阵 K，使得控制性能指标达到极小[20]：
3 倒立摆系统（The inverted pendulum system）
倒立摆系统是由导轨、小车和各级摆杆组成。小车依靠直流电机施加的控制力，可以在导轨上左右移动，其位移和摆杆角度信息由传感器测得，目标是使倒立摆在有限长的导轨上竖立稳定，达到动态平衡。图1为三级直线型倒立摆系统的基本机构图
[12]
。
?
1
J?
2
?
?
?x
T
Qx?uTRudt
?
将LQR控制方法用于倒立摆系统，考虑到其平衡问题，需引入全状态反馈，其原理框图如图2所示：
图1 三级直线型倒立摆的基本机构示意图
不同的控制方法可以使倒立摆呈现出不同的运动模态，比如：可以使摆杆由自然下垂状态摆起，达到倒立平衡位置；也可使摆杆在不同的角度初始，维持动态平衡状态。
4 倒立摆控制方法（Control of inverted pendulum system）
对倒立摆这样一个典型的非线性、不稳定、复杂的被控对象进行研究，无论在理论上还是在方法上都具有重要的意义，各种控制理论和方法都可以在这里得到充分的实践，并且可以促成不同方法之间的有机结合。当前，倒立摆的控制方法可分为 线性控制、预测控制和智能控制三大类
[13]
图2 LQR的状态反馈原理框图
线性二次型（LQR）最优控制，可实现对倒立摆的平衡控制，且设计方案简单、超调量较小、响应速度快；但是，LQR控制的抗干扰性能和鲁棒性不强，当存在大扰动时，小车的跟随能力有限，存在滞后[21]，尤其对多级倒立摆稳定控制困难更大。
4.2 预测控制方法（Predictive control method）
由于线性控制理论在倒立摆控制中的局限性，使得我们不得不去寻求更加有效的控制方法，于是先后展开了对预测控制、变结构控制和自适应控制的研究。
。下面将对现阶段应用较广的几种算法
进行简要介绍：
4.1 线性理论控制方法（Linear control method）获得系统在平衡点(r=r=B=J=0)附近的线性化模型[14]，
2
将倒立摆系统的非线性模型进行近似线性化处理，??
预测控制：是由工业过程控制领域发展起来的一种计算机控制算法，具有预测模型、滚动优化和反馈校正三个要素[10]。它建立在被控对象非参数模型基础上，既有优化功能，又引入了系统的实时反馈信息，主要强调模型的功能。
分阶段起摆：对于实际的倒立摆系统，导轨长度有限，小车的位移也就要受到限制。因此，我们希望用有限的作用力，以较快的速度使倒立摆摆起并稳定。从倒立摆起摆过程分析[22]：起摆初始阶段，摆角变化幅度较小，小车摆动范围也较小，故应集中对摆杆摆角进行控制；随着摆角增大，小车的位移幅度也增大。据此特点，可以通过设计几种相对简单的算法对起摆过程进行分阶段控制，以获得事半功倍的效果。
变结构控制：变结构控制系统的运动分为两个阶段——能达阶段和滑动阶段。其控制也分为两个部分：滑动模态域的设计和变结构控制律的设计 [23]。变结构控制对系统参数摄动以及外部扰动具有较强的鲁棒性，但由于抖振的存在，在一定程度上影响了控制效果。抖振和鲁棒性是变结构控制的两大特点，也是变结构控制系统的一对基本矛盾。因而在应用中必须考虑消除抖振的影响，否则不仅影响控制效果，对设备也有一定的破坏性。
自适应神经模糊推理系统（A N F I S）：该方法基于Sugeno 模糊模型，并采用类似于神经网络的结构，因此既具有模糊控制不要求掌握被控对象精确模型的优点，又具有神经网络自学习的特点，且计算量小、收敛较快，较适合在微控制器计算能力较差的场合使用 [24]。
将ANFIS控制器应用于倒立摆系统，在保证摆角较小（小于± 10°）的前提下，可较好地控制倒立摆、跟踪目标位置信号、响应速度较快、超调量较小[25]，但该方法的鲁棒性不如基于遗传算法所设计的控制器好。 4.3 智能控制方法（Intelligent control method）
智能控制融合了计算机科学、物理学、数学、脑科学、心理学、认知学、生物学等学科的思想，是自然学科与社会学科交叉渗透的方法。它源自于人的实践经验，不需要精确的数学模型，是目前应用较广的控制方法。在倒立摆系统中用到的智能控制方法主要有神经网络控制、模糊控制、仿人智能控制、拟人智能控制、云模型控制和泛逻辑控制等。
神经网络控制：神经网络能够任意充分地逼近复杂的非线性关系，NN 能够学习与适应严重不确定性系统的动态特性，具有很强的鲁棒性和容错性，也可将 Q 学习算法和 BP 神经网络有效结合，实现状态未离散化的倒立摆的无模型学习控制。该方法存在的主要问题是缺乏一种专门适合于控制问题的动态神经网络，而且多层网络的层数、隐层神经元的数量、激发函数类型的选择也缺乏指导性原则等[26]。
模糊控制：对倒立摆系统的稳定控制而言，模糊控制方法[27,28]是比较优秀的一种解决途径，鲁棒性较好[29]。但是常规的模糊控制器的设计方法有很大的局限性，首先难以建立一组比较完善的多维模糊控制规则，即使凑成这样一组不完整的粗糙的模糊控制规则，其控制效果也难以保证[30,31]。若模糊控制结合其他控制方法就可能产生比较理想的效果，例如
[32]
：北京师范大学已经采用
模糊自适应控制理论成功的研制了三级倒立摆装置并对四级倒立摆系统做了仿真实验。
遗传算法：是美国密歇根大学Holland 教授倡导发展起来的，是模拟生物学中的自然遗传和达尔文进化理论而提出的并行随机优化算法。其基本思想是：随着时间的更替，只有最适合的物种才能得以进化
[14]
。
对于倒立摆系统，需要找到一个可以使系统稳定，且由噪声产生的输出量最小的非线性控制器，也就是我们要得到的最优解。有关研究表明，遗传算法具有较好的抗干扰特性，但是计算量较大，适合于微控制器计算能力较强的场合。
拟人智能控制：模仿人解决问题的思维和方式，采用广义归约法逐层分解复杂问题，通过分析被控对象的物理本质得到针对它的定性控制规律，再利用适当的定性规律量化方法，最终获得系统的控制量[33-35]。
利用拟人智能控制方法已经完成了对倒立摆实物系统的一、二、三级控制。但这种控制方法中的本原问题是不容忽视的，要求对非线性系统本质有清楚的认识，这也研究的难点
[36,37]
。而其广义归约的思想，在解决复
杂问题时是值得借鉴的。
云模型控制：云是用语言值表示的某个定性概念与其定量表示之间的不确定性转换模型，可以用于控制规则的量化，实现对倒立摆系统的智能控制[38]。云的数字特征用期望值Ex，嫡En和超嫡He三个数值表征，通过这3个值，用云发生器(Cloud Generator)（如图3）可以形成合乎条件的云滴；反之称为逆向云发生器 [39,40]，依据不同的分布还有泊松云、Γ云等。
图3 云发生器构造示意图
这种方法不要求给出被控对象精确的数学模型，仅仅依据人的经验感受和逻辑判断，将人用自然语言表达的控制经验，通过语言原子和云模型转换到语言控制规则器中，就能解决非线性问题和不确定性问题，很好的
3
实现对倒立摆的稳定控制，且具有较强的鲁棒性。
泛逻辑控制法：泛逻辑学是何华灿教授于1996年提出的，这是一种可以包容一切逻辑形态和推理模式，能根据需要自由伸缩变化的柔性逻辑学 [41,42]。泛组合模型是泛逻辑学基于“广义相关性”的概念提出的一种包含不确定性的泛组合运算模型，以误差、误差变化率及定量描述它们之间关系的广义相关系数 h作为输入，以控制量为输出。当系统构件参数发生改变时，只需选择合适的 h而不必改变控制器本身就能完成控制目标。
基于泛组合模型的泛逻辑控制器[43]，考虑误差和误差变化率之间的广义相关性，是一种具有柔性控制潜质的智能控制器。采用最大最小推理的常规模糊控制器只是泛逻辑控制器在广义相关系数 h=l时的一个特例。因而，该控制比模糊控制器更具普遍性。
其单独作为倒立摆控制器的成功案例还比较少见，且几乎都处于仿真实验阶段，对此的研究还有待发展。尽管如此，我们仍可以注意到这类方法目前的应用趋势是与传统的控制方法或智能控制方法相结合，尤以与模糊控制技术的结合最为广泛。
根据目前的研究状况，拟人智能控制方法已经实现了对倒立摆实物系统的一、二、三级控制。但这种控制方法中的本原问题是不容忽视的，要求对非线性系统本质有清楚的认识，这也是其研究中的一大难点。不过其广义归约的思想，在解决复杂问题时是很值得借鉴的。
基于云模型理论，北京航空航天大学李德毅、张飞舟等人借助人们有关倒立摆控制的先验知识，进行了倒立摆系统控制器的设计。目前，已经实现了单电机控制的一、二、三级实物系统的稳定控制，其方法具有较强的鲁棒性。同时，由于其语言控制规则器有很大的通用性，控制策略明确、直观、无须冗繁的推理计算，只要对数字特征参数加以修改，就可适用于不同的控制系统。
智能控制方法是目前研究的热点，智能控制方法的种类很多，又各具特点。应用中既可单独采用某种控制方法，也可将这些方法互相结合，取长补短，以达到更好的控制效果。
5控制方法分析比较（Comparison among the
control methods）
通过对以上各种控制方法的综合分析，比较它们各自的特点及优缺点，我们可以看出：
线性控制方法是建立在系统的线性模型基础上，对于一、二级倒立摆系统，由于其线性化后误差较小且模型简单，可以解决常规倒立摆的稳定控制问题。目前，固高科技公司已经成功实现了二级倒立摆实物系统的LQR控制。但是，应用线性控制方法仍然不是目前倒立摆控制研究的主流。作为倒立摆这样一个非线性被控对象，基于线性模型进行非线性系统的稳定控制在本质上是行不通的，而且至今尚未见到线性方法成功控制二级以上系统的报道。对于多级倒立摆而言，线性本质的局限性是不可调和的，因而我们需采用更为合理的方法。
预测控制、变结构控制和自适应控制在理论上具有较好的控制效果，但是由于控制方法复杂、成本高、不易在快速变化的系统上实时应用，所以目前主要应用在仿真实验中。
模糊控制器对系统模型的精确性要求不高，能基本实现倒立摆的稳定，鲁棒性较好。目前，北京师范大学李洪兴教授所带领的研究小组已经成功实现了四级倒立摆实物系统的稳定控制，由此证明了模糊控制方法在典型非线性系统稳定控制中的有效性。但由于它没有固定的方法和模式，每次设计模糊控制器时，都要根据专家经验重新制定模糊控制规则表，在实践应用中有很多不便。
相对于模糊控制器的这一缺点，泛逻辑控制器只需寻优选择合适的h值而不必修改泛逻辑控制模型本身。由此可见，在实际控制问题中，泛逻辑控制器对被控对象的变化敏感程度和针对性较弱，因而具有更好的适应性和普遍意义 ，相信未来会有更好的发展前景。
神经网络、遗传算法虽然具有许多潜在优势，但是
6 结束语（Conclusion）
本文通过对几种倒立摆控制方法的比较分析，可以看出智能控制比线性控制有更好的控制效果，更适合非线性被控对象。泛逻辑控制器由于其柔性本质，在实际控制问题中更具优势；而作为定性定量互换模型的云模型在控制领域也将得到更广泛的应用。但是这两种方法目前仍处于发展和研究阶段，相信随着其理论日趋完善，除了在智能控制方面，还将被用于知识开采和数据挖掘、跳频通信、C4ISR系统效能评估、信息安全和保密、语言翻译和模式识别等诸多方面，进而应用于更广泛的领域。
参考文献
[1] 刘丽,何华灿.倒立摆系统稳定控制之研究[J].计算机
科学,2006 ,33(5) :214-219
[2] 张飞舟,沈程智,范跃祖.拟人智能控制三级倒立摆[J].
计算机工程与应用,2000,36(2):17-20
[3] 黄丹,刷少武,吴新开等.基于LQR最优调节器的倒立
摆控制系统[J].微计算机信息,2004,20(2):37-38 [4] Hyun-Taek Cho, Seul Jung. Neural network position
tracking control of an inverted pendulum an X-Y table robot[C].In: IROS, 2003, 2: l2l0- l2l5
[5] Alessandro Casavola, Edoardo Mosca, Maurizio
Papini. Control under constraints: an application of the
4
command governor approach to an inverted pendulum [J].In: IEEE Transactions on Control Systems Technology, 2004, 12:193-204
[6] Dapeng Luo, Alexander Leonessa. Nonlinear system
identification of a reaction wheel pendulum using subspace method[C].In: American Control Conference, 2003, 6: 4590-4595
[7] Brock, S. Practical approach to fuzzy control of
inverter pendulum[for inverter read inverted][C]. In：
IEEE
International
Conference
on
Industrial
Technology, 2003, 1: 3l-35
[8] Sato N, Kobayashi S, Suzuki S, Furuta K. Multi-inputs
stabilization of pendulum on flexible base[C]. In：
SICE 2003 Annual Conference, 2003, 2: 1440-1444 [9] Masaki Takahashi, Temasa Narukawa, Kazuo Yoshida.
Intelligent stabilization control to an arbitrary equilibrium
point
of
double
pendulum[C].In:
American Control Conference, 2004, 6: 5772-5777 [10] 单波,徐燕,赵建涛.预测控制算法及其在倒立摆中
的应用[J]．华北电力大学学报,2001,28(2):46-51 [11] 肖军.模糊控制在多变量非线性系统中的应用[D].东
北大学学报,2001,2:56-61
[12] 杨亚炜,张明廉. 倒立摆系统的运动模态分析[J].北
京航空航天大学学报,2002, 28(2):165-168
[13] 刘丽,何华灿.五种倒立摆控制器对比研究[J].计算机
工程与应用,2006, 30:3-5
[14] 薛安克,王俊宏,柴利,王惠姣.倒立摆控制仿真与试验
研究现状[J]. 杭州电子工业学院学报, 2005, 3(1): 37-41
[15] 侯涛,牛宏侠,董海鹰. 单级倒立摆复合控制设计与
实现[J].微计算机信息, 2007,23(1):80-82
[16] 罗晶,陈平.一阶倒立摆的PID控制[J].实验室研究与
探索, 2005, 24(11):26-28
[17] 杨世勇,王培进,徐莉苹. 单级倒立摆的PID控制研
究[J]. 控制工程, 2007, 14:23-24
[18] 杨平,徐春梅,王欢,朱颖,于超.直线型一级倒立摆状
态反馈控制设计及实现[J].上海电力学院学报,2007, 23(1):121-124
[19] 杨世勇,王培进,徐莉苹.基于最优控制的倒立摆系统
[J].烟台大学学报(自然科学与工程版),2007, 20(2):120-122
[20] Hiroshi Wakuya, Yoichiro Sankai, Yuzuru Morita.
Seasonal variation of euro-controller training period observed in the control task of inverted pendulum[C]. In: International Congress Series, 2007,13:114-118 [21] 孙大卫,曾静,张国良.基于卡尔曼滤波的一级倒立摆
LQR控制研究[J].实验技术与管理,2007, 24(2):38-40
5
[22] 韩东方,孙小强,徐志明,王银河. 一级直线型倒立摆
的控制及实现[J].汕头大学学报( 自然科学版), 2007, 22(2):28-32
[23] 刘琛,周军.倒立摆变结构控制系统的设计与试验[J].
科学技术与工程,2007, 4 (7):1351-1354
[24] 彭自然,罗大庸,张航. 单级倒立摆系统控制方法设
计[J].湖南工业大学学报, 2007 , 21(2):53-57 [25] 胡全义,黄士涛,李洪洲,冯辉.自适应神经模糊推理系
统在倒立摆控制中的应用[J].机电工程,2007, 24(1):35-38
[26] 张丹红,王勤.单级倒立摆系统的神经网络逆模控制
[J].武汉理工大学学报(信息与管理工程版),2006, 28(5):28-31
[27] 王孝莉,张丽婷,杨西侠. 单级倒立摆的两种控制方
法的仿真研究[J].信息技术与信息化, 2006, (4):137-139
[28] 张威,曹弘岚,郑玲. 基于模糊控制技术的倒立摆系
统仿真[J]. 数学模型与方法,2006, 2:56-59
[29] 于珊珊,敖志伟.基于遗传算法的二级倒立摆模糊控
制器研究[J].控制理论与应用,2006, 25(12):1-3 [30]刘义,陈广义.自适应模糊PID控制在倒立摆系统中的
应用[J].深圳信息职业技术学院学报,2005,(4):41-44 [31] 蔡军,蔡芳,陈勇.基于模糊控制二级倒立摆实验装置
数模的建立[J].重庆大学学报,2006,(9):85-88 [32] 李洪兴,苗志宏,王加银.四级倒立摆系统的变论域自
适应模糊控制[J].中国科学E辑,2002, 2(1) : 65-75 [33] 付莹,张广立,杨汝清.倒立摆系统的非线性稳定控制
及起摆问题的研究[J]. 组合机床与自动化加工技术, 2003,( 1) : 35- 37
[34] 张明廉,孙昌龄,杨亚炜.拟人控制二维倒立摆[J].控
制与决策, 2002,17(1)：53-56
[35] 张飞舟,沈程智,范跃祖.拟人智能控制三级倒立摆[J].
计算机工程与应用, 2000,36(2): 17-20
[36] 张飞舟,陈伟基,沈程智.拟人智能控制三级倒立摆机
理的研究[J].北京航空航天大学学报, 1999, 25(2): 151-155
[37] 张明廉,郝健康,何卫东.拟人智能控制与三级倒立摆
[J].航空学报,1995, 16(6):654-661
[38] 张飞舟,范跃祖,沈程智,李德毅,陈晖.利用云模型实
现智能控制倒立摆[J].控制理论与应用, 2000, 17(4):519-523
[39] 刘常昱,李德毅,杜鹢,韩旭. 正态云模型的统计分析
[J]. 信息与控制, 2005, 34(2):236-239
[40] 李德毅,孟海军,史雪梅.隶属云和隶属云发生器[J].
计算机研究与发展, 1995,32(6):15-20
[41] 鲁斌,何华灿.泛模糊逻辑控制器研究[J].计算机工程
与应用, 2003,(16):30-34
免费论文网友情提示：本网站所有内容为共享上传提供，不涉及任何商业利益，本站对此不承担任何保证责任！
Copyright © www.csmayi.cn Corporation, All Rights Reserved 共享时代 共享你我他 版权所有