篇一：高中数学研究性学习课题集锦
高中数学研究性学习课题集锦
一、课本知识延伸型
1、空集是一切集合的子集，但在解决关集合问题时，常常忽略这一事实。试整理这方面的各类问题。
2、整理求定义域的规则及类型（特别是复合函数的类型）。
3、求函数的值域、单调区间、最小正周期等有关问题时，往往希望将自变量在一个地方出现，所以变量集中的原则就提供了解题的方向，试研究所有与变量集中原则有关的类型（如配方法、带余除法等）。
4、总结求函数值域的有关方法，探索判别式法的一般情形——实根分布的条件用于求值域。
5、利用条件最值的几何背景进行命题演变，与命题分类。
6、回顾解指数、对数方程（不等式）的化归实质（利用外层函数的单调性去掉两边的外层函数的符号），我们称之为“给函数更衣”，于是我们可以随心所欲地将方程（不等式）进行演变。你能利用这一点编拟一些好题吗。
7、探求“反函数是它本身”的所有函数。从而可解决一类含抽象函数的方程，概括所有这种方程的类型。
8、在原点有定义的奇函数，其隐含条件是f(0)=0,试以这一事实编拟、演变命题。
9、把两面镜子相对而立，若你处于其中，将看到许多肖像位置呈现出周期性，你能把这一事实数学化吗？若把轴对称改为中心对称又怎么结论？
10、对于含参数的方程（不等式），若已知解的情况确定参数的取值范围，我们通常用函数思想及数形结合思想进行分离参数，试概括问题的类型，总结分离参数法。
11、改变含参数的方程（不等式）的主元与参数的地位进行命题的演变。探索换主元的功能。
12、数形结合是数学中的重要的思想方法之一，而单位圆中的三角函数线却被人们所遗忘，试探它在解决三角问题中的数形结合功能。
13、整理三角代换的的类型，及其能解决的哪几类问题。
14、一个三角公式不仅能正用，还需会逆用与变用，试将后者整理之。
15、三角形的形状判定中，对于含边角混合关系的条件，利用正、余弦定理总有两种转化，即转化为角关系或边关系，探索其中一种对另一种解法的启示功能。
16、一个数学命题若从正面入手分类情况较多，运算量较大，甚至无法求解，此时不妨考虑其反面进行求解得解集，然后再取其补集即得原命题的解。我们把它称为“补集法”，试整理常见的类型的补集法。
17、概括使用均值不等式求最值问题中的“凑”的技巧 ，及拆项、添项的技巧。
18、观察式子的结构特征，如分析式子中的指数、系数等启示证题的的方向。
19、探求一些著名不等式（如柯西不等式、排序不等式等）和多种证法，寻找其背景以加深对不等式的理解。
20、整理常用的一些代换（三角代换、均值代换等），探索它在命题转化中的功能。
21、考虑均值不等式的变换，及改变之后的不等式的背景意义。
22、分母为多项式的轮换对称不等式，由于难以参于通分，证明往往较难。探求一种代换，将分母为多项式的转化为单项式。
23、关于数学知识在物理上的应用探索
24、对于数学的公式，我们应当做到三会：即正用、变用和逆用。如解几中有许多公式如两点距离、点到直线距离公式，定比分点、斜率公式等，考虑其逆用，就可得到构造法证题，试研究解几中的各种公式逆用，以充实构造法证明。
25、我们对待任何问题（包括解决数学问题）往往用自己的审美意识去审视，以调节自己的行动计划。在解几中探索与搜集以美的启迪思维的题材，加以整理与综合研究。
26、整理解几中常常被人忽视和特例而使问题的解决不完整的有素材，如用点斜式而忽视斜率存在，截距式而忽视截距为零等。
27、利用角参数与距离参数的相互转化以实现命题的演变，达到以点带面，触类旁通的目的。
28、研究求轨迹问题中的坐标转移法与参数法的相互联系。
29、关于斜率为 1的特殊直线的对称问题的简捷解法中，概括出适用范围更加广阔的解题策略。
30、解决椭圆问题不如圆容易，能否使问题化归，即椭圆问题的圆化处理，进而研究圆锥曲线（包括其退化情形如两条相交线，平行线等）的圆化处理。
31、整理与焦半径有关的问题，并将之“纯代数化”，进而研究其“纯代数解法”，从中探索新方法。
32、把点差法解中点弦问题进行推广，使之能解决“定比分点弦”问题。
33、在定比分点公式、弦长公式、点到直线的距离公式的推导过程中隐含着“射影思想”，扩大这思想在解几中的地位或功能。
34、与中点弦有关的圆锥曲线中的参数范围确定问题，往往需要建立不等式进行求解，各种方法中以点在曲线内部条件为隹。试将这方法推广到定比分点弦的情形。
35、平几中证点共线、线共点往往较难，通常出现在竞赛中。而立几中的这类问题却是非简
单，主要的依据仅仅是平面的基本性质：两个平面的公共点共线。可否将平几问题的这类问题进行升维处理。即把它转化为立几问世题加以解答。
36、用运变化的观点对待数学问题，将会发现问题的实质及问题之间的联系，但对于立几中的这方面还显得不够，可以通过整理、收集这方面的材料加以综合研究。
37、作为降维处理的一个例子：可考虑异面直线距离的几种转化，如转化为线面距、点线距、面面距等。
38、异面直线的距离是：异面直线上两动点的连线中最短的线段长度。所以可以用函数的观点来解决。即建立一个两动点的距离函数，利用求函数的最小值达到目的。
39、立几中的许多问题可化归为确定点在平面内的射影位置。如点面距、点线距、体积等。于是确定点在平面内的射影显得非常重要，试给出一种通用方法进行确定。
40、等积变换在立几中大显上内身手，而非等积变换是它的一般情形，作用更大，却被人们所忽视。利用非等积变换能解决求体积、求距离、证明位置关系等问题。试利用类比平几的相应方法探索之。
二、生活应用型（需要学生自己动手去有关部门搜集和整理原始资料）
1、银行存款利息和利税的调查
2、购房贷款决策问题
3、有关房子粉刷的预算
4、关于数学知识在物理上的应用探索
5、投资人寿保险和投资银行的分析比较
6、编程中的优化算法问题
7、余弦定理在日常生活中的应用
8、证券投资中的数学
9、环境规划与数学
10、如何计算一份试卷的难度与区分度
11、中国体育彩票中的数学问题
12、“开放型题”及其思维对策
13、中国电脑福利彩票中的数学问题
14、城镇/农村饮食构成及优化设计
15、如何安置军事侦察卫星
16、如何存款最合算
17、哪家超市最便宜
18、数学中的黄金分割
29、通讯网络收费调查统计
20、数学中的最优化问题
21、水库的来水量如何计算
22、计算器对运算能力影响
23、统计铜陵市月降水量
24、出租车车费的合理定价
25、购房贷款决策问题
26、设计未来的中学数学课堂
27、电视机荧屏曲线的拟合函数的分析
28、用计算机软件编制数学游戏
29、制作一个数学的练习与检查反馈软件
30、制作较为复杂的数据统计表格与分析软件
31、制作一个中学生数学网站
32、如何计算一份试卷的难度与区分度
33、多媒体辅助教学在数学教学中的作用调查
34、零件供应站(最省问题)
35、拍照取景角最大问题
36、当地耕地而积的变化情况，预测今后的耕地而积
37、衣服的价格、质地、品牌，左右消费者观念多少？
38、如何提高数学课堂效率
39、数学的发展历史
40、“开放型题”及其思维对策
篇二：高中数学研究性学习
浅谈高中数学研究性学习
摘 要:数学研究性学习方式作为一种新型的体现素质教育思想和要求的学习方式,应该贯穿在整个数学教育的所有活动中,在现行的数学教学过程中可以将数学研究性学习作为一种学习方式加以引入,以培养学生对数学的探究性学习能力、实践能力、创造能力和创新精神。
关键词:研究性学习 生活 数学问题 社会实践
如何在高中数学课中开展数学研究性学习呢?
一、在日常的课堂教学中渗透研究性学习
求知欲是人们思考研究问题的内在动力,学生的求知欲越高,他的主动探索精神越强,就能主动积极进行思维,去寻找问题的答案。我们教师在教学中可采用引趣、激疑、悬念、讨论等多种途径,活跃课堂气氛,调动学生的学习热情和求知欲望,以帮助学生走出思维低谷。在讲授新课时,我们可根据课题创设问题情境,让学生产生悬念,急于要了解问题的结果,而使学生求知欲望大增。在遵循教学规律的基础上,采用生动活泼,富有启发、探索、创新的教学方法,充分激发学生的求知欲,培养学生的学习兴趣,为开展数学研究性学习的活动铺垫了基础。
数学研究性学习的过程是围绕着一个需要解决的数学问题而展开,经过学生直接参与研究,并最终实现问题解决而结束。学生学习数学的过程本身就是一个问题解决的过程。当学生学习一章新的知识、乃至一个新的定理和公式时,对学生来说,就是面临一个新问
篇三：整理的19个高中数学研究性学习教案
函数模型在现实生活中的应用
1．抽象概括：研究实际问题中量，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量； 2．建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；
3．求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.
这些步骤用框图表示是：
例1. 如图所示，在矩形ABCD中，已知AB=a，BC=b（b＜a）,在AB，AD，CD，CB上分别截取AE，AH，
CG
，
CF都等于x，当x为何值时，四边形EFGH的面积最大？并求出最大面积. 解： 设四边形EFGH的面积为S， 12
则S△AEH=S△CFG=2x,
1a?b11(a?b)2
x),22282224S△BEF=S△DGH=（a-x）（b-x），∴S=ab-2［+（a-x）（b-x）］=-2x+（a+b）x=-2（x-+ a?ba?b
由图形知函数的定义域为{x|0＜x≤b}.又0＜b＜a,∴0＜b＜2,若4≤b,即a≤3b时， a?ba?b(a?b)2
8则当x=4时，S有最大值;若4＞b,即a＞3b时，
a?b(a?b)2
228S（x）在（0,b］上是增函数，此时当x=b时，S有最大值为-2(b-4)+=ab-b, a?b(a?b)2
8综上可知，当a≤3b时，x=4时，四边形面积Smax=,
当a＞3b时，x=b时，四边形面积Smax=ab-b.
变式训练1：某商人将进货单价为8元的某种商品按10元一个销售时，每天可卖出100个，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价每个定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值.
解：设每个提价为x元（x≥0），利润为y元，每天销售总额为（10+x）（100-10x）元， 进货总额为8（100-10x）元， 显然100-10x＞0,即x＜10,
则y=（10+x）（100-10x）-8(100-10x)=(2+x)(100-10x)=-10(x-4)+360 (0≤x＜10). 当x=4时，y取得最大值，此时销售单价应为14元，最大利润为360元.
例2. 据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度 v（km/h）与时间t（h）的函数图象如图所示，过线段OC上一点T（t，0）作横轴
的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t（h）内沙尘暴所经过的路程s（km）.（1）当t=4时，求s的值； （2）将s随t变化的规律用数学关系式表示出来； （3）若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这 场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将
2
2
侵袭到N城？如果不会，请说明理由.
1
解：（1）由图象可知：当t=4时，v=3×4=12,∴s=2×4×12=24.
131
2
（2）当0≤t≤10时，s=2·t·3t=2t，当10＜t≤20时，s=2×10×30+30（t-10）=30t-150； 11
2
当20＜t≤35时，s=2×10×30+10×30+(t-20)×30-2×(t-20)×2(t-20)=-t+70t-550.
?32
t??0,10?,?2t,
??
t??10,20?,?30t?150,
??t2?70t?550,t??20,35?.
3?
?2
综上可知s=?(3)∵t∈［0，10］时，smax=2×10=150＜650.t∈（10，20］时，smax=30×20-150=450
＜650.∴当t∈（20，35］时，令-t+70t-550=650.解得t1=30,t2=40,∵20＜t≤35,∴t=30，所以沙尘暴发生30 h后将侵袭到N城.
变式训练2：某工厂生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产100台，
x2
需要加可变成本（即另增加投入）0.25万元.市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为R（x）=5x-2（万元）
2
(0≤x≤5)，其中x是产品售出的数量（单位：百台）. （1）把利润表示为年产量的函数； （2）年产量是多少时，工厂所得利润最大？ （3）年产量是多少时，工厂才不亏本？
解：（1）当x≤5时，产品能售出x百台；当x＞5时，只能售出5百台，故利润函数为L（x）=R（x）-C（x）
x2?
(5x?)?(0.5?0.25x)??2?2
?(5?5?5)?(0.5?0.25x)?2=?
(0?x?5)(x?5)
x2?
?4.75x??0.5??2?12?0.25x?
(0?x?5),(x?5).
x2
(2)当0≤x≤5时，L（x）=4.75x-2-0.5，当x=4.75时，L(x)max=10.781 25万元.当x＞5时，L（x）=12-0.25x为
减函数，此时L（x）＜10.75(万元）.∴生产475台时利润最大.
?0?x?5,
?x?5，?
或??x2
?4.75x?2?0.5?0,?12?0.25x?0.21.5625
（3）由?得x≥4.75-=0.1(百台）或x＜48(百台).
∴产品年产量在10台至4 800台时，工厂不亏本.
例3. 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x，3x吨.（1）求y关于x的函数；（2）若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.
解：（1）当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4，乙的用水量也不超过4吨，y=（5x+3x）×1.8=14.4x;
当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨时，即3x≤4且5x＞4,y=4×1.8+3x×1.8+3×(5x-4)=20.4x-4.8.当乙的用水量超过4吨时，
?
?14.4x??
?20.4x?4.8??
?24x?9.6
即3x＞4,y=8×1.8+3(8x-8)=24x-9.6，所以y=?4
(0?x?)
544(?x?).53
4(x?)
3
44444
(2)由于y=f(x)在各段区间上均为单调递增，当x∈［0，5］时,y≤f（5）＜26.4;当x∈（5，3］时，y≤f（3）4
＜26.4;当x∈（3,+∞）时，令24x-9.6=26.4,解得x=1.5,所以甲户用水量为5x=7.5吨，付费S1=4×1.8+3.5×3=17.70
（元);乙户用水量为3x=4.5吨，付费S2=4×1.8+0.5×3=8.70（元).
变式训练3：1999年10月12日“世界60亿人口日”，提出了“人类对生育的选择将决定世界未来”的主题，控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前.
（1）世界人口在过去40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？
（2）我国人口在1998年底达到12.48亿，若将人口平均增长率控制在1%以内，我国人口在2008年底至多有多少亿？ 以下数据供计算时使用：
数N 对数lgN 数N 对数lgN
1.010 0.004 3 3.000 0.477 1
1.015 0.006 5 5.000 0.699 0
1.017 0.007 3 12.48 1.096 2
1.310 0.117 3 13.11 1.117 6
n
2.000 0.301 0 13.78 1.139 2
解：（1）设每年人口平均增长率为x，n年前的人口数为y，则y·(1+x)=60，则当n=40时，y=30，
lg2
4040
即30(1+x)=60，∴(1+x)=2，两边取对数，则40lg(1+x)=lg2，则lg（1+x）=40=0.007 525，∴1+x≈1.017，
得x=1.7%. （2）依题意，y≤12.48（1+1%），
得lgy≤lg12.48+10×lg1.01=1.139 2,∴y≤13.78，故人口至多有13.78亿. 答 每年人口平均增长率为1.7%，2008年人口至多有13.78亿.
解决函数应用问题应着重注意以下几点：
1．阅读理解、整理数据：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；
2．建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，不要忘记考察函数的定义域；
3．求解函数模型：主要是计算函数的特殊值，研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小)值等，注意发挥函数图象的作用.
4．还原评价：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科又要符合实际背景，因于解出的结果要代入原问题进行检验、评判最后作出结论，作出回答.
10
研究方程的近似解法——二分法
教学目的：（1）通过用”二分法”求方程的近似解,使学生体会函数的零点与方程根之间的联系,初步形成函数观点处理问题
的意识；
（2）通过”二分法”的学习使学生初步接触算法的思想；
教学重点：用”二分法”求方程的近似解．
教学难点：”二分法”求方程的近似解的思想和步骤． 教学过程： 新课教学
（一）用二分法求方程的近似解 1．用二分法求方程Inx+2x-6=0的近似解
想法:如果能够将零点所在的范围尽量缩小,那么在一定精确度的要求下,我们可以得到零点的近似值.
x?
一般地,我们把
a?b
2 称为区间(a,b)的中点.
2．二分法概念
对于在区间[a,b]上连续不断、且f(a)*f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断把函数f(x)的零点所在区间一分为二，使区
间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法 思考:
为什么由|a-b|< ε,便可判断零点的的似值为a(或b)?
3、用二分法求方程的近似解的步骤
①、确定区间[a,b]，验证f(a)*f(b)<0，给定精确度ε
②、求区间(a,b)的中点x1 ③、计算f(x1);
若f(x1)=0,则x1就是函数的零点
若f(x1)<0,则令b= x1(此时零点x0∈(a,x1)) 若f(x1)>0,则令a= x1(此时零点x0∈(x1,b))
④、判断是否达到精确度ε，即若|a-b|< ε,则得到零点的近似值a(或b)；否则得复2～4 （二）典型例题
例2、借助电子计算器或计算机用二分法求方程2+3x=7的近似解（精确到0.1）
解：原方程即2+3x=7,令 f(x)=2+3x-7 ,用计算器或计算机作出函数f(x)=2+3x-7 对应值表与图象（如下):
x
x
x
x
由于|1.375-1.4375|=0.0625<0.1
此时区间(1.375,1.4375)的两个端点精确到0.1的近似值都是1.4，所以原方程精确到0.1的近似解为1.4。 巩固练习：（教材P106练习1）
归纳小结，强化思想
二分法是求方程近似解的一种常用方法，它是利用方程的根与对应的函数零点的关系，将求解方程转化为求解函数的零点的近似解。
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