概率论答案

篇一：《概率论与数理统计》第三版__课后习题答案._

习题一：

1.1 写出下列随机试验的样本空间：

(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数;

解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故?1??5,6,7,??；

(2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和;

解：?2??2,3,4,?11,12?；

(3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;

解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以?3??0,1,2,?

(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ?4??i,j??i?j?5?;

(5) 检查两件产品是否合格;

解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则?5???0,0?,?0,1?,?1,0?,?1,1??；

(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ?6??x,y?1?x?y?T2?； ???；

(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离;

解：?7?x0?x?2?；

(8) 在长为l的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度.

解：?8??x,y?x?0,y?0,x?y?l?；

1.2

(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; AB；

(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;A(B?C)；

(3) A,B,C 中至少有一个发生; A?B?C；

??

(4) A,B,C 中恰有一个发生;A?B?；

(5) A,B,C 中至少有两个发生; AB?AC?BC；

(6) A,B,C 中至多有一个发生;??；

(7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC

(8) A,B,C 中恰有两个发生.BC?AC?AB ；

注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。

1.3 设样本空间??x0?x?2?, 事件A=x0.5?x?1?,B?x0.8?x?1.6?

具体写出下列各事件：

(1) AB; (2) A?B ; (3) A?B; (4) A?B

（1）AB?x0.8?x?1?；

(2) A?B=x0.5?x?0.8?；

(3) A?B=x0?x?0.5?0.8?x?2?;

(4) A?B=x0?x?0.5?1.6?x?2? ???????

1.6 按从小到大次序排列P(A),P(A?B),P(AB),P(A)?P(B), 并说明理由.

解：由于AB?A,A?(A?B),故P(AB)?P(A)?P(A?B)，而由加法公式，有：P(A?B)?P(A)?P(B)

1.7

解：(1) 昆虫出现残翅或退化性眼睛对应事件概率为：

P(W?E)?P(W)?P(E)?P(WE)?0.175

(2) 由于事件W可以分解为互斥事件WE,W，昆虫出现残翅, 但没有退化性眼睛对应事件 概率为：P(W)?P(W)?P(WE)?0.1

(3) 昆虫未出现残翅, 也无退化性眼睛的概率为：P()?1?P(W?E)?0.825.

1.8

解：(1) 由于AB?A,AB?B，故P(AB)?P(A),P(AB)?P(B),显然当A?B时P(AB)

取到最大值。 最大值是0.6.

(2) 由于P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)。显然当P(A?B)?1时P(AB) 取到最小值，最小值是0.4.

1.9

解：因为 P(AB) = 0，故 P(ABC) = 0.A,B,C至少有一个发生的概率为：

P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)?P(ABC)?0.7

1.10

解

（1）通过作图，可以知道，P(A)?P(A?B)?P(B)?0.3

（2）P(AB)?1?P(AB)?1?(P(A)?P(A?B))?0.6 (3)由于P(AB)?P()?1?P(A?B)?1?(P(A)?P(B)?P(AB))

?1?P(A)?P(B)?P(AB)

P(B)?1?P(A)?0.7

1.11

解：用Ai表示事件“杯中球的最大个数为i个” i=1,2,3。三只球放入四只杯中，放法有

4?4?4?64种，每种放法等可能。

对事件A1：必须三球放入三杯中，每杯只放一球。放法4×3×2种，故P(A1)?

(选排列：好比3个球在4个位置做排列)。 3 8

对事件A3：必须三球都放入一杯中。放法有4种。(只需从4个杯中选1个杯子，放入此3个球，选法有4种)，故P(A3)?

1.12

解：此题为典型的古典概型，掷一颗匀称的骰子两次基本事件总数为36。.出现点数和为“3”对应两个基本事件（1，2），（2，1）。故前后两次出现的点数之和为3的概率为1319。P(A2)?1??? 16816161。 18同理可以求得前后两次出现的点数之和为4，5 的概率各是

(1) 1.13 11,。 129

解：从10个数中任取三个数，共有C10?120种取法，亦即基本事件总数为120。

(1) 若要三个数中最小的一个是5，先要保证取得5，再从大于5的四个数里取两个，取法有2C4?6种，故所求概率为31。 20

1。 12(2) 若要三个数中最大的一个是5，先要保证取得5，再从小于5的五个数里取两个，取法有C5?10种，故所求概率为

1.14

解：分别用A1,A2,A3表示事件：

(1) 取到两只黄球; (2) 取到两只白球; (3) 取到一只白球, 一只黄球.则

2C822814C46116P(A1)?2??,P(A2)?2??,P(A3)?1?P(A1)?P(A2)?。 C126633C126611332

1.15

解：P((A?)B)?P((A?)?B)P((AB)?(B)) ?P(B)P(B)

P(AB)P(A)?P(A)??0.5 P(B)P(B)由于P(B)?0，故P((A?)B)?

1.16

(1) P(A?B);（2）P(?B);

解：（1）P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?1?P(B)P(AB)?1?0.4?0.5?0.8;

（2）P(?B)?P()?P(B)?P(B)?1?P(B)P(B)?1?0.4?0.5?0.6; 注意：因为P(AB)?0.5，所以P(B)?1?P(AB)?0.5。

1.17

解：用Ai表示事件“第i次取到的是正品”（i?1,2,3），则i表示事件“第i次取到的是次品”（i?1,2,3）。P(A1)?15331421 ?,P(A1A2)?P(A1)P(A2A1)???20441938

(1) 事件“在第一、第二次取到正品的条件下, 第三次取到次品”的概率为：

P(3A1A2)?5。

18

(2) 事件“第三次才取到次品”的概率为：

P(A1A23)?P(A1)P(A2A1)P(3A1A2)?

（3）事件“第三次取到次品”的概率为：1514535 ???2019182281 4

此题要注意区分事件（1）、(2）的区别，一个是求条件概率，一个是一般的概率。再例如，设有两个产品，一个为正品，一个为次品。用Ai表示事件“第i次取到的是正品”（i?1,2），

篇二：概率论答案

概率论答案

一、单项选择题

1、A 2、C 3、D 4、C 5、B

二、填空题

13

1、 0.30.7 2、 0.463、 0.384 0.4884、 0.3 5、 7 6、 5

7、 0.69 8、 0.8 9、

2 10、 611、 412、 -1 17 13、 414、 3.2

F(x)={λe-λx x?0 0,x≤0 1/λ 16、 3/25

三、计算题

1.设一批混合麦种中一、二、三等品分别占60%、30%、10%，，三个等级麦种的发芽率依次为0.98、0.90、0.85，计算：

1、这批麦种的发芽率；

2、若取一粒能发芽，它是二等品的概率。

解：1.发芽率：P1=60%×0.98+30%×0.9+10%×0.85

=0.588+0.27+0.085=0.943

2.二等品发芽率：P2=30%×0.9/0.943≈0.286

2.某工厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,每个车间的产量分别占全厂的30%,25%,45%,各车间产品的次品率分别为5%,4%,2%,

1、求全厂产品的次品率；

2、若任取一件产品发现是次品,此次品是丙车间生产的概率是多少？

解： 1、p1?30%?5%?25%?4%?45%?2%?3.4%

45%?2%9?3.4%34 2、p2?

3.已知随机变量X的分布律：

求:

2、X的分布函数F(x)；

3、X的数学期望E(X)；

解：1. a=1-0.2-0.3=0.5 1、常数a的值；

?0.2，x??1??0.3，x?0

?0.5，x?1F(x)2. =?

3. E(X)=(-1)×0.2+0×0.3+1×0.5=0.3

?cx2,0?x?1f(x)???0,其它 ，求：

4.已知随机变量X的概率密度函数为

1、常数c；

2、求X的分布函数F(x)；

1P{0?X?2 3、

解：1. 由?????f(x)dx?1，即有∫01CX2dx=1即(C/3)X3︱01=1, C/3=1,C=3,

从而在0≤X<1时，f(x)=3X2, F(x)= X3

2.F(x)= ?0，X?1?3?X，0?X?1? ?0，X?0 P{0?X?

3. 12=∫01/2 3X2dx=X3︱01/2=1/8

5.某种型号的电灯泡使用时间（单位：小时）X 的概率密度为

x??15000?,x?0f(x)??e

?0,x?0?

求3个这种中型号的电灯泡使用了1000小时后至少有2个仍可继续使用的概率。

x?1?5000e,x?0?f(x)??5000?0,x?0?解：因为“X 的概率密度为”，故可知为指数分布，

?1?e?x/5000,x?0?0,x?0 且-λ=-1/5000, 即λ=1/5000,从而 F(x)= ?

则某一个中型号的电灯泡使用了1000小时后仍可继续使用的概率为

P｛X>1000｝=1-P{X≤1000}=1-F(1000)=1-（1- e-1000/5000）= e-1/5，

进而题目所求“3个这种中型号的电灯泡使用了1000小时后至少有2个仍可继续使用的概率”，可等价为有2个仍可用或有3个仍可用，因3个灯泡独立，故由伯努利概型有所求为：

C32P2(1-P)3-2+ C33P3(1-P)3-3

=3P2(1-P)+P3=3P2-2P3

=P2(3-2P),

将P= e-1/5代入,最终为:e-2/5(3-2 e-1/5)

篇三：概率论试题及答案

概率论试题及答案

五、已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？ 解：A1={男人}，A2={女人}，B={色盲}，显然A1∪A2=S，A1 A2=φ

由已知条件知P(A1)?P(A2)?1?P(B|A1)?5%,P(B|A2)?0.25%

2由贝叶斯公式，有

P(AP(A1B)1)P(B|A1)?P(A1|B)?

P(AP(B)1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)

15?

20??

21???2100210000

四、 设随机变量X的分布函数为FX

0,x?1,??

(x)??lnx,1?x?e,，

?1,x?e.?

求（1）P (X<2), P {0<X≤3}, P (2<X<)；（2）求概率密度fX (x).

解：（1）P (X≤2)=FX (2)= ln2， P (0<X≤3)= FX (3)－FX (0)=1，

5555

?FX()?FX(2)?ln?ln2?ln

2224

1??

（2）f(x)?F'(x)??x,1?x?e,

?0,其它?

22?cxy,x?y?1?

四、设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f(x,y)??

?0,其它?P(2?X?

（1）试确定常数c。（2）求边缘概率密度。 解: l=

??

??

??????

f(x,y)dxdy?

?dy?

1?y?y

cxydx?c

2

?

10

22421ydy?c?c? 3214

5

212?1212

??2xydy?x(1?x4),?1?x?1

X~fX(x)??x4 8

?0,其它?

5

??y21272?0?y?1 Y~fY(y)????y4dydx?2y?0其它?

五、设二维随机变量（X，Y ）的概率密度为

??4.8y(2?x)

f(x,y)??

??0

0?x?1,0?y?x其它

求边缘概率密度.

解：fX(x)??

??

??

??

?x4.8y(2?x)dy?2.4x2(2?x)?

f(x,y)dy??0

??0

?

0?x?1其它

1

???4.8y(2?x)dx?2.4y(3?4y?y2)

fY(y)??f(x,y)dx??y

??

??0

四、设随机变量X的概率密度为

0?y?1其它

?e?x,x?0

f(x)?? 求（1）Y=2X （2）Y=e－2x的数学期望。

?0,x?0

解：（1）

E(y)?

?

?

e

??

??

2xf(x)dx?

?x

?

?

??

2xe

?x

dx

??2xe （2）E(Y)?

?2e

?x

??0

?2

?

??

?2x

??

f(x)dx?

?

??

e?2xe?xex

11?3x???e?

33 0

五、设随机变量X1，X2的概率密度分别为

?4e?4x,x?0

f2(x)??

x?00,x?0?

2

求（1）E (X1+X2)，E (2X1－3X2)；（2）又设X1，X2相互独立，求E (X1X2)

x?0

?2e?2x,

f1(x)??

?0

解：（1）E(X1?X2)?E(X1)?E(X2)?

?

?0

x?2e

?2x

dx?

?

?0

x?4e?4xdx

??xe?2x?1e?2x?????xe?4x?1e?4x???1?1?3

=? ??2444??0???02（2）

2E(2X1?3X2)

?2E(X1)

2

?3E(X2)

1

?2??3

2

?

?0

x2?4e?4xdx

x?4x1?4x??35?2?4x

?e?e?1?? =1?3??xe ?28880??（3）E(X1X2)?E(X1)?E(X2)?

111

??248

三、据以往经验某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现在

随机的抽取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件寿命总和大于1920小时的概率。 解：设第i只寿命为Xi，（1≤i≤16），故E (Xi )=100，D (Xi )=1002(l=1,2,?,16).依本章定理1知

P(

?

i?1

16

???

Xi?1920)?P?

???

16

?

????Xi?1600

?1920?1600?i?0

??P??

?100?100??

????

16

16

?

i?0

16

Xi?1600400

?

???0.8?

???

从而P(

i

??(0.8)?0.7881.

?X

i?1

?1920)?1?P(

?X

i?1

i

?1920)?1?0.7881?0.2119.

四、某种电子器件的寿命（小时）具有数学期望μ（未知），方差σ2=400 为了估计μ，随机地取几只这种器件，在时刻t=0投入测试（设测试是相互独立的）直到失败，测得其寿命X1，?，Xn，以?1

n

P{|?μ|}?0.95,问n至少为多少？

?X

i?1

n

i

作为μ的估计，为使

解：由中心极限定理知，当n很大时

?X

i?1

n

i

?nμ

2

nσ

?

n?nμ

nσ

2

~N(0,1) nnσ

2

???nn?nμ

P{|?μ|?1}?P???

22?nσ?nσ

???

????????

nnσ2

??

?????????

nnσ2

?

???

?n??n?

????2??1?0.95 =所以?20???0.975 ?20?

????

n

查标准正态分布表知 20?1.96

n?1536.64

即n至少取1537。

三、设X1，X1，?，Xn是来自参数为λ的泊松分布总体的一个样本，试求λ的极大似然估计量及矩估计量。 解：（1）矩估计 X ~ π (λ )，E (X )= λ，故λ?=为矩估计量。

n

（2）极大似然估计

n

L(λ)?

i

?

i?1

λi?1

P(xi;λ)?e?nλ，

x1!x2!?xn!

?xi

n

lnL(λ)?

?x

i?1

ni?1

lnλ?

i

?lnx!?nλ

i

i?1

n

dlnL(λ)

?

dλ

?x

λ

?n?0,解得λ??为极大似然估计量。

λxi?λ

（其中p(xi;λ)?P{X?xi}?x!e,xi?0,1,?)

i

四、设总体X

其中θ(0<θ<1)1x2=2，x3=1，试求θ的矩估计值和最大似然估计值。

解：（1）求θ的矩估计值

E(X)?1?θ

2

?2?2θ(1?θ)?3(1?θ)2

?[θ?3(1?θ)][θ?(1?θ)]?3?2θ

θ?令E(X)?3?2

??3?? 则得到θ的矩估计值为θ

2

3?

1?2?1

5?

26

（2）求θ的最大似然估计值

似然函数L(θ)??P{Xi?xi}?P{X1?1}P{X2?2}P{X3?1}

i?13

?θ2?2θ(1?θ)?θ2?2θ(1?θ)

5

ln L(θ )=ln2+5lnθ+ln(1－θ)

dlnL(θ)51

???0 61?得到唯一解为θ??5

6

求导

三、某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定为（%）3.25 3.27 3.24 3.26 3.24。设测定值总体服从正态分布，问在α = 0.01下能否接受假设：这批矿砂的含镍量的均值为3.25.

解：设测定值总体X～N（μ，σ 2），μ，σ 2均未知 步骤：（1）提出假设检验H0：μ=3.25; H1：μ≠3.25

（2）选取检验统计量为t??3.25~t(n?1)

n

（3）H0的拒绝域为| t |≥tα(n?1).

（4）n=5, α = 0.01，由计算知?3.252,S?

1n?1

?(X

i?1

5

i

?)2?0.01304

查表t0.005(4)=4.6041, |t|?3.252?3.25?0.343?tα(n?1)

0.（5）故在α = 0.01下，接受假设H0

四、要求一种元件使用寿命不得低于1000小时，今从一批这种元件中随机抽取25件，测得其寿命的平均值为950小时，已知这种元件寿命服从标准差为σ =100小时的正态分布。试在显著水平α = 0.05下确定这批元件是否合格？设总体均

值为μ。即需检验假设H0：μ≥1000，H1：μ<1000。

解：步骤：（1）H0:μ≥1000；H1：μ<1000；（σ =100已知）

（2）H0的拒绝域为?1000??zα

n

（3）n=25，α = 0.05，?950， 计算知?1000??2.5??z0.05?1.645

25

（4）故在α = 0.05下，拒绝H0，即认为这批元件不合格。

五、某种导线，要求其电阻的标准差不得超过0.005(欧姆)。今在生产的一批导线中取样品9根，测得s=0.007(欧姆)，设总体为正态分布。问在水平α = 0.05能否认为这批导线的标准差显著地偏大？

解：（1）提出H0：σ ≤0.005；H1：σ >0.005

2

(n?1)S（2）H0的拒绝域为

0.005

2

?χα(n?1)

2

（3）n=9，α = 0.05，S=0.007，由计算知

28?0.0072??15.68?χ(n?1) α0.00520.0052

2

查表χ0.05(8)?15.507

(n?1)S2

（4）故在α = 0.05下，拒绝H0，认为这批导线的标准差显著地偏大。 三、设A，B，C是三事件，且P(A)?P(B)?P(C)?1,P(AB)?P(BC)?0，P(AC)?1.

4

8

求A，B，C至少有一个发生的概率。

解：P (A，B，C至少有一个发生)=P (A+B+C)= P(A)+ P(B)+ P(C)－P(AB)－P(BC)－P(AC)+ P(ABC)= 3?1?0?5

4

8

8

四、 P(A)?1,P(B|A)?1,P(A|B)?1,求P(A?B)。

4

3

2

11

?

定义P(AB)P(A)P(B|A)由已知条件143?P(B)?1 ???????有?解：由P(A|B)

P(B)P(B)2P(B)6

由乘法公式，得P(AB)?P(A)P(B|A)?1

12

由加法公式，得P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?1?1?1?1

4

6

12

3

六、设有甲、乙二袋，甲袋中装有n只白球m只红球，乙袋中装有N只白球

M只红球，今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？（此为第三版19题(1)）

记A1，A2分别表“从甲袋中取得白球，红球放入乙袋” 再记B表“再从乙袋中取得白球”。 ∵

B=A1B+A2B且A1，A2互斥

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