篇一：层次分析法具体案例
层次分析法实例与步骤
结合一个具体例子，说明层次分析法的基本步骤和要点。
【案例分析】市政工程项目建设决策：层次分析法问题提出
市政部门管理人员需要对修建一项市政工程项目进行决策，可选择的方案是修建通往旅游区的高速路（简称建高速路）或修建城区地铁（简称建地铁）。除了考虑经济效益外，还要考虑社会效益、环境效益等因素，即是多准则决策问题，考虑运用层次分析法解决。
1. 建立递阶层次结构
应用AHP解决实际问题，首先明确要分析决策的问题，并把它条理化、层次化，理出递阶层次结构。
AHP要求的递阶层次结构一般由以下三个层次组成：
? 目标层（最高层）：指问题的预定目标；
? 准则层（中间层）：指影响目标实现的准则；
? 措施层（最低层）：指促使目标实现的措施；
通过对复杂问题的分析，首先明确决策的目标，将该目标作为目标层（最高层）的元素，这个目标要求是唯一的，即目标层只有一个元素。
然后找出影响目标实现的准则，作为目标层下的准则层因素，在复杂问题中，影响目标实现的准则可能有很多，这时要详细分析各准则因素间的相互关系，即有些是主要的准则，有些是隶属于主要准则的次准则，然后根据这些关系将准则元素分成不同的层次和组，不同层次元素间一般存在隶属关系，即上一层元素由下一层元素构成并对下一层元素起支配作用，同一层元素形成若干组，同组元素性质相近，一般隶属于同一个上一层元素（受上一层元素支配），不同组元素性质不同，一般隶属于不同的上一层元素。
在关系复杂的递阶层次结构中，有时组的关系不明显，即上一层的若干元素同时对下一层的若干元素起支配作用，形成相互交叉的层次关系，但无论怎样，上下层的隶属关系应该是明显的。
最后分析为了解决决策问题（实现决策目标）、在上述准则下，有哪些最终解决方案（措施），并将它们作为措施层因素，放在递阶层次结构的最下面（最低层）。
明确各个层次的因素及其位置，并将它们之间的关系用连线连接起来，就构成了递阶层次结构。
【案例分析】市政工程项目进行决策：建立递阶层次结构
在市政工程项目决策问题中，市政管理人员希望通过选择不同的市政工程项目，使综合效益最高，即决策目标是“合理建设市政工程，使综合效益最高”。 为了实现这一目标，需要考虑的主要准则有三个，即经济效益、社会效益和环境效益。但问题绝不这么简单。通过深入思考，决策人员认为还必须考虑直接经济效益、间接经济效益、方便日常出行、方便假日出行、减少环境污染、改善城市面貌等因素（准则），从相互关系上分析，这些因素隶属于主要准则，因此放在下一层次考虑，并且分属于不同准则。
假设本问题只考虑这些准则，接下来需要明确为了实现决策目标、在上述准则下可以有哪些方案。根据题中所述，本问题有两个解决方案，即建高速路或建地铁，这两个因素作为措施层元素放在递阶层次结构的最下层。很明显，这两个方案于所有准则都相关。
将各个层次的因素按其上下关系摆放好位置，并将它们之间的关系用连线连接起来。同时，为了方便后面的定量表示，一般从上到下用A、B、C、D。。。代表不同层次，同一层次从左到右用1、2、3、4。。。代表不同因素。这样构成的递阶层次结构如下图。
目标层A
准则层B
准则层C
措施层D
图1 递阶层次结构示意图
2. 构造判断矩阵并赋值
根据递阶层次结构就能很容易地构造判断矩阵。
构造判断矩阵的方法是：每一个具有向下隶属关系的元素（被称作准则）作为判断矩阵的第一个元素（位于左上角），隶属于它的各个元素依次排列在其后的第一行和第一列。
重要的是填写判断矩阵。填写判断矩阵的方法有：
大多采取的方法是：向填写人（专家）反复询问：针对判断矩阵的准则，其中两个元素两两比较哪个重要，重要多少，对重要性程度按1-9赋值（重要性标度值见下表）。
设填写后的判断矩阵为A=(aij)n×n，判断矩阵具有如下性质：
(1) aij〉0
(2) aji=1/ aji
(3) aii=1
根据上面性质，判断矩阵具有对称性，因此在填写时，通常先填写aii=1部分，然后再仅需判断及填写上三角形或下三角形的n(n-1)/2个元素就可以了。
在特殊情况下，判断矩阵可以具有传递性，即满足等式：
aij*ajk=aik
当上式对判断矩阵所有元素都成立时，则称该判断矩阵为一致性矩阵。
【案例分析】市政工程项目建设决策：构造判断矩阵并请专家填写
接前例，征求专家意见，填写后的判断矩阵如下：
表2 判断矩阵表
3. 层次单排序（计算权向量）与检验
对于专家填写后的判断矩阵，利用一定数学方法进行层次排序。
层次单排序是指每一个判断矩阵各因素针对其准则的相对权重，所以本质上是计算权向量。计算权向量有特征根法、和法、根法、幂法等，这里简要介绍和法。
和法的原理是，对于一致性判断矩阵，每一列归一化后就是相应的权重。对于非一致性判断矩阵，每一列归一化后近似其相应的权重，在对这n个列向量求取算术平均值作为最后的
1naij权重。具体的公式是：W
i=n nj=1a∑
k=1kl
需要注意的是，在层层排序中，要对判断矩阵进行一致性检验。
在特殊情况下，判断矩阵可以具有传递性和一致性。一般情况下，并不要求判断矩阵严格满足这一性质。但从人类认识规律看，一个正确的判断矩阵重要性排序是有一定逻辑规律的，例如若A比B重要，B又比C重要，则从逻辑上讲，A应该比C明显重要，若两两比较时出现A比C重要的结果，则该判断矩阵违反了一致性准则，在逻辑上是不合理的。
因此在实际中要求判断矩阵满足大体上的一致性，需进行一致性检验。只有通过检验，才能说明判断矩阵在逻辑上是合理的，才能继续对结果进行分析。
一致性检验的步骤如下。
第一步，计算一致性指标C.I.（consistency index）
C.I.??max?n
n?1
第二步，查表确定相应的平均随机一致性指标R.I.（random index）
据判断矩阵不同阶数查下表，得到平均随机一致性指标R.I.。例如，对于5阶的判断矩阵，查表得到R.I.=1.12
第三步，计算一致性比例C.R.（consistency ratio）并进行判断
C.R.?C.I. R.I.
当C.R.<0.1时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的，C.R.>0.1时，认为判断矩阵不符合一致性要求，需要对该判断矩阵进行重新修正。
【案例分析】市政工程项目建设决策：计算权向量及检验
上例计算所得的权向量及检验结果见下：
表4 层次计算权向量及检验结果表
4. 层次总排序与检验
总排序是指每一个判断矩阵各因素针对目标层（最上层）的相对权重。这一权重的计算采用从上而下的方法，逐层合成。
很明显，第二层的单排序结果就是总排序结果。假定已经算出第k-1层m个元素相对于
(k-1)(k-1)(k-1)(k-1)T总目标的权重w=(w1,w2,…,wm)，第k层n个元素对于上一层（第k层）第j个元素
(k)(k)(k)(k)T的单排序权重是pj=(p1j,p2j,…,pnj)，其中不受j支配的元素的权重为零。令
(k)(k)(k)(k)P=(p1,p2,…,pn),表示第k层元素对第k-1层个元素的排序，则第k层元素对于总目标的总排序为：
(k)(k)(k)(k)T(k)(k-1) w=(w1,w2,…,wn)= p w
或wi?(k)(k)(k?1) I=1,2,…,n pijwj?m
j?1
同样，也需要对总排序结果进行一致性检验。
(k)(k)(k)假定已经算出针对第k-1层第j个元素为准则的C.I.j、R.I.j和C.R.j, j=1,2,…,m,
则第k层的综合检验指标
(k)(k)(k)(k)(k-1)C.I.j=（C.I.1 ,C.I.2 ,…, C.I.m）w
(k)(k)(k)(k)(k-1)R.I.j=（R.I.1 ,R.I.2 ,…, R.I.m）w
(k)C.R.C.I.(k)
? (k)R.I.
(k)当C.R.<0.1时，认为判断矩阵的整体一致性是可以接受的。
【案例分析】市政工程项目建设决策：层次总排序及检验
上例层次总排序及检验结果见下：
表5 C层次总排序(CR = 0.0000)表
6 D层次总排序(CR = 0.0000)
5. 结果分析
通过对排序结果的分析，得出最后的决策方案。
【案例分析】市政工程项目建设决策：结果分析
从方案层总排序的结果看，建地铁（D2）的权重（0.6592）远远大于建高速路（D1）的权重（0.3408），因此，最终的决策方案是建地铁。
根据层次排序过程分析决策思路。
对于准则层B的3个因子，直接经济效益（B1）的权重最低（0.1429），社会效益（B2）和环境效益（B3）的权重都比较高（皆为0.4286），说明在决策中比较看重社会效益和环境效益。
对于不看重的经济效益，其影响的两个因子直接经济效益（C1）、间接带动效益（C2）单排序权重都是建高速路远远大于建地铁，对于比较看重的社会效益和环境效益，其影响的四个因子中有三个因子的单排序权重都是建地铁远远大于建高速路，由此可以推出，建地铁方案由于社会效益和环境效益较为突出，权重也会相对突出。
从准则层C总排序结果也可以看出，方便日常出行（C3）、减少环境污染（C5）是权重值较大的，而如果单独考虑这两个因素，方案排序都是建地铁远远大于建高速路。
由此我们可以分析出决策思路，即决策比较看重的是社会效益和环境效益，不太看重经济效益，因此对于具体因子，方便日常出行和减少环境污染成为主要考虑因素，对于这两个因素，都是建地铁方案更佳，由此，最终的方案选择建地铁也就顺理成章了。
篇二：层次分析法例题
专题：层次分析法
一般情况下，物流系统的评价属于多目标、多判据的系统综合评价。如果仅仅依靠评价者的定性分析和逻辑判断，缺乏定量分析依据来评价系统方案的优劣，显然是十分困难的。尤其是物流系统的社会经济评价很难作出精确的定量分析。
层次分析法（Analytical Hierarchy Process）由美国著名运筹学家萨蒂（T．L．Saaty）于1982年提出，它综合了人们主观判断，是一种简明、实用的定性分析与定量分析相结合的系统分析与评价的方法。目前，该方法在国内已得到广泛的推广应用，广泛应用于能源问题分析、科技成果评比、地区经济发展方案比较，尤其是投入产出分析、资源分配、方案选择及评比等方面。它既是一种系统分析的好方法，也是一种新的、简洁的、实用的决策方法。
◆ 层次分析法的基本原理
人们在日常生活中经常要从一堆同样大小的物品中挑选出最重的物品。这时，一般是利用两两比较的方法来达到目的。假设有n个物品，其真实重量用w1，w2，…wn表示。要想知道w1，w2，…wn的值，最简单的就是用秤称出它们的重量，但如果没有秤，可以将几个物品两两比较，得到它们的重量比矩阵A。
如果用物品重量向量W=[w1，w2，…wn]右乘矩阵A，则有：
T
由上式可知，n是A的特征值，W是A的特征向量。根据矩阵理论，n是矩阵A的唯一非零解，也是最大的特征值。这就提示我们，可以利用求物品重量比判断矩阵的特征向量的方法来求得物品真实的重量向量W。从而确
定最重的物品。
将上述n个物品代表n个指标（要素），物品的重量向量就表示各指标（要素）的相对重要性向量，即权重向量；可以通过两两因素的比较，建立判断矩阵，再求出其特征向量就可确定哪个因素最重要。依此类推，如果n个物品代表n个方案，按照这种方法，就可以确定哪个方案最有价值。
◆ 应用层次分析法进行系统评价的主要步骤如下：
（1）将复杂问题所涉及的因素分成若干层次，建立多级递阶的层次结构模型（目标层、判断层、方案层）。
（2）标度及描述。同一层次任意两因素进行重要性比较时，对它们的重要性之比做出判断，给予量化。
（3）对同属一层次的各要素以上一级的要素为准则进行两两比较，根据评价尺度确定其相对重要度，据此构建判断矩阵A。
（4）计算判断矩阵的特征向量，以此确定各层要素的相对重要度（权重）。
（5）最后通过综合重要度（权重）的计算，按照最大权重原则，确定最优方案。
★例题：
某物流企业需要采购一台设备，在采购设备时需要从功能、价格与可维护性三个角度进行评价，考虑应用层次分析法对3个不同品牌的设备进行综合分析评价和排序，从中选出能实现物流规划总目标的最优设备，其层次结构如下图所示。以A表示系统的总目标，判断层中B1表示功能，B2表示价格，B3表示可维护性。C1，C2，C3表示备选的3种品牌的设备。
目标层
判断层
方案层
图 设备采购层次结构图
解题步骤：
1、标度及描述
人们定性区分事物的能力习惯用5个属性来表示，即同样重要、稍微重要、较强重要、强烈重要、绝对重要，当需要较高精度时，可以取两个相邻属性之间的值，这样就得到9个数值，即9个标度。
为了便于将比较判断定量化，引入1～9比率标度方法，规定用1、3、5、7、9分别表示根据经验判断，要素i与要素j相比：同样重要、稍微重要、较强重要、强烈重要、绝对重要，而2、4、6、8表示上述两判断级之间的折衷值。
注：aij表示要素i与要素j相对重要度之比，且有下述关系：
aij=1/aji ；aii=1； i，j=1，2，…，n
显然，比值越大，则要素i的重要度就越高。
2、构建判断矩阵A
判断矩阵是层次分析法的基本信息，也是进行权重计算的重要依据。 根据结构模型，将图中各因素两两进行判断与比较，构造判断矩阵：
●判断矩阵A?B(即相对于物流系统总目标，判断层各因素相对重要性比较)如表1所示；
●判断矩阵B1?C(相对功能，各方案的相对重要性比较)如表2所示； ●判断矩阵B2?C(相对价格，各方案的相对重要性比较)如表3所示； ●判断矩阵B3?C(相对可维护性，各方案的相对重要性比较)如表4所 示。
1A?BB?C1
2
4B3
?C
3、计算各判断矩阵的特征值、特征向量及一致性检验指标
一般来讲，在AHP法中计算判断矩阵的最大特征值与特征向量，必不需要较高的精度，用求和法或求根法可以计算特征值的近似值。
●求和法
1）将判断矩阵A按列归一化（即列元素之和为1）：bij= aij /Σaij； 2）将归一化的矩阵按行求和：ci=Σbij （i=1，2，3….n）；
3）将ci归一化：得到特征向量W=（w1，w2，…wn ）T，wi=ci /Σci ， W即为A的特征向量的近似值；
4）求特征向量W
对应的最大特征值：
●求根法
1）计算判断矩阵A每行元素乘积的n次方根；wi?2, …, n）
2）将wi归一化，得到wi?
wi
?a
j?1
n
ij
（i =1,
?w
i?1
n
；W=（w1，w2，…wn ）T即为A的特
i
征向量的近似值；
3）求特征向量W对应的最大特征值：
(1)判断矩阵A?B的特征根、特征向量与一致性检验 ①计算矩阵A?B的特征向量。
计算判断矩阵A?B各行元素的乘积Mi，并求其n次方根，如
12
M1?1??2?，1?M1?0.874，类似地有，2?M2?2.466，
33
3?M3?0.464。对向量?[1,2,?,n]T规范化，有 W1?
1
?i?1
n
?
i
0.874
?0.230
0.874?2.466?0.464
类似地有W2?0.684，W3?0.122。所求得的特征向量即为：
W?[0.230,0.648,0.122]T
②计算矩阵A?B的特征根
?11/32?
?[0.230,0.648,0.122]T
AW??315 ??
??1/21/51??
1
AW1?1?0.230??0.648?2?0.122?0.69
3
类似地可以得到AW2?1.948，AW3?0.3666。
按照公式计算判断矩阵最大特征根：
n
(AW)i0.691.9480.3666
?max??????3.004
3?0.2303?0.6483?0.122i?1nWi
③一致性检验。
实际评价中评价者只能对A进行粗略判断，这样有时会犯不一致的错误。如，已判断C1比C2重要，C2比C3较重要，那么，C1应该比C3更重要。如果又判断C1比C3较重要或同等重要，这就犯了逻辑错误。这就需要进行一致性检验。
根据层次法原理，利用A的理论最大特征值λmax与n之差检验一致性。 一致性指标：
CI3.004?3
?0.003?0.1，查同阶平均?0.002<0.1，CR?RIn?13?1
随机一致性指标（表5所示）知RI?0.58，（一般认为CI<0.1、 CR<0.1时，
计算CI?
?max?n
?
判断矩阵的一致性可以接受，否则重新两两进行比较）。
5
(2)判断矩阵B1?C的特征根、特征向量与一致性检验
类似于第(1)步的计算过程，可以得到矩阵B1?C的特征根、特征向量与一致性检验如下：
W?[0.105,0.258,0.637]T，?max?3.039，CR?0.033?0.1 (3)判断矩阵B2?C的特征根、特征向量与一致性检验
类似于第(1)步的计算过程，可以得到矩阵刀：—C的特征根、特征向量
篇三：层次分析法实例
层次分析法应用实例
问题描述：通讯交流在当今社会显得尤其重要，手机便是一个例子，现在每个人手里都有至少一部手机。但如今生产手机的厂家越来越多，品种五花八门，如何选购一款适合自己的手机这个问题困扰了许多人。
目标：选购一款合适的手机
准则：选择手机的标准大体可以分成四个：实用性，功能性，外观，价格。 1欧美（iphone）2亚方案：由于手机厂家有几十家，我们不妨可以将其归类：○；○
3国产（华为）. 洲（索爱）；○
解决步骤：
1.建立递阶层次结构模型
图1 选购手机层次结构图
2.设置标度
人们定性区分事物的能力习惯用5个属性来表示，即同样重要、稍微重要、较强重要、强烈重要、绝对重要，当需要较高精度时，可以取两个相邻属性之间的值，这样就得到9个数值，即9个标度。
为了便于将比较判断定量化，引入1～9比率标度方法，规定用1、3、5、7、9分别表示根据经验判断，要素i与要素j相比：同样重要、稍微重要、较强重要、强烈重要、绝对重要，而2、4、6、8表示上述两判断级之间的折衷值。
注：aij表示要素i与要素j相对重要度之比，且有下述关系： aij=1/aji ；aii=1； i，j=1，2，…，n 显然，比值越大，则要素i的重要度就越高。
3.构造判断矩阵
A B1 B2 B3 B4
B1 1 1/3 1/5 1
B2 3 1 1/3 3
表1 判断矩阵A—B
B3 5 3 1 5
B4 1 1/3 1/5 1
B1 C1 C2 C3
C1 1 3 5
C2 1/3 1 3
C3 1/5 1/3 1
表2 判断矩阵B1—C
B2 C1 C2 C3
C1
1 1/3 1/3
C2
311
C3
311
表3 判断矩阵B2—C
B3 C1 C2 C3
C1 C2 1 1/3 1/6
C3 31 1/4
641
表4 判断矩阵B3—C
B4 C1 C2 C3
C1 C2 146
1/4
C3
1/6 1/3
1
13
表5 判断矩阵B4—C
4.计算各判断矩阵的特征值，特征向量和一致性检验 用求和发计算特征值：
○1将判断矩阵A按列归一化（即列元素之和为1）：bij= aij /Σaij； ○2将归一化的矩阵按行求和：ci=Σbij （i=1，2，3….n）；
○3将ci归一化：得到特征向量W=（w1
，w2，…wn ）T，wi=ci /Σci ， W即为A的特征向量的近似值； ○4求特征向量W对应的最大特征值：
1
31133
5315
1351
0.153
38922322122922
0.389
53515395383381538
1).A?
51
，按列归一化后为
53833838
0.069
2).按行求和并归一化后得W??0.389?T
13113
5315
13151
3).计算特征根：AW?
51
?0.389
0.1530.0690.389
?T
AW1?1*0.389?3*0.153?5*0.069?1*0.389?1.582，同理有 AW2?0.619，AW
3
?0.275，AW
4
?1.582
4).计算最大特征根：
n
?max?
?
i?1
?AW?i
nWi
?
1.5824*0.389
?
0.6194*0.153
?
0.2754*0.069
?
1.5824*0.389
?4.044
5).进行一致性检验： C.I.?
?max?nn?1
?
4.044?44?1
?0.015
查同阶平均随机一致性指针（表6所示）知R.I=0.89，（一般认为CI<0.1、 CR<0.1时，判断矩阵的一致性可以接受，否则重新两两进行比较）。
表6 平均随机一致性指针
C.R.?
C.I.R.I.
?0.0150.89
?0.016<0.1,满足一致性要求。
同理可得剩余判断矩阵的特征根，特征向量，一致性检验。 判断矩阵B1—C W??0..106判断矩阵B2---C 判断矩阵B3---C 判断矩阵B4---C
5.层次总排序
W??0.6W??0.639W??0.087
0.260
0.633
T
?T，?max
?3.039，C.R.?0.033?0.1
0.2
0.2?
，
?max?3
，C.R.?0
?3.054?3.054
0.2740.274
0.0870.639
?T，?max
?max?T，
，C.R.?0.047?0.1
C.R.?0.047?0.1。，
获得同一层次各要素之间的相对重要度后，就可以自上而下地计算各级要素对总
体的综合重要度。设二级共有m个要素c1, c2,…,cm，它们对总值的重要度为w1, w2,…, wm；她的下一层次三级有p1, p2,…,pn共n个要素，令要素pi对cj的重要度（权重）为vij，则三级要素pi的综合重要度为：
Wi?
?w
j
j
vij
层次 C1 C2 C3
B1
0.389 0.106 0.26 0.633
B2
0.153 0.6 0.2 0.2
B3
0.069 0.639 0.274 0.087
B4
0.389 0.087 0.274 0.639
总排序权重
0.211 0.257 0.531
表7 层次总排序表
6.结论
由表7可以看出，三个方案的优劣排序是C3>C2>C1,因此，对于大部分人来说，选购使用且价格便宜的国产华为手机是比较实惠的。
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