篇一：量子力学答案完整版周世勋第三版
找了好久才找到的，希望能给大家带来帮助
量子力学习题及解答
第一章 量子理论基础
1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长?m与温度T成反比，
第一章绪论
即
?m T=b（常量）；
并近似计算b的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式
?vdv?
8?hvc
3
3
?
1
hv
dv， （1）
ekT?1
以及 ?v?c，（2）
?vdv???vd?， （3）
有
?????
dvd??c?d?????d?
???v(?)??
?v(?)?8?hc
?c
1
hc
?
5
?,
e?kT?1
这里的??的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+dλ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，??取得极大值，因此，就得要求?? 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作?m。但要注意的是，还需要验证??对λ的二阶导数在?m处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的?m就是要求的，具体如下：
???
'
8?hc
?
6
?e
1
hc
?kT
?
hc1?
?5??hc???kT??kT
?1?1?e
hc
?
?
?0 ???
??5?
?kT
?
hc
1
?hc
?0
1?e
?
?kT
?5(1?e
?kT
)?
hc
?kT
如果令x=
hc
?kT
，则上述方程为
5(1?e
?x
)?x
这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有
?mT?
hcxk
?3
把x以及三个物理常量代入到上式便知
?mT?2.9?10
m?K
这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知
E=hv，
P?
h
?p
2
2
如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（E动???ec），那么
E?
2?e
如果我们考察的是相对性的光子，那么
E=pc
注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即0.51?10eV，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有
??
hp
6
?
h2?eEhc2?ecE?
1.24?10
?66
2
?
m ?3
2?0.51?10?0.71?10?0.71nm
?9
m
在这里，利用了
hc?1.24?10
?6
eV?m
6
以及
?ec
2
?0.51?10eV
最后，对
??
hc2?ecE
2
作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
1．3 氦原子的动能是E?
解 根据
1k?K?10
?3
32
kT（k为玻耳兹曼常数），求T=1K时，氦原子的德布罗意波长。
eV，
?3
知本题的氦原子的动能为
E?
32kT?
32
k?K?1.5?10
eV,
显然远远小于?核c这样，便有
??
hc2?核cE
2
2
?6
?3
?
1.24?10
9
m
2?3.7?10?1.5?10?0.37?10?0.37nm
?9
m
这里，利用了
?核c
2
?4?931?10eV?3.7?10eV
69
最后，再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论，由某种粒子构成的温度为T的体系，
其中粒子的平均动能的数量级为kT，这样，其相庆的德布罗意波长就为
??
hc2?cE
2
?
hc2?kcT
2
据此可知，当体系的温度越低，相应的德布罗意波长就越长，这时这种粒子的波动性就越明显，特别是当波长长到比粒子间的平均距离还长时，粒子间的相干性就尤为明显，因此这时就能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布，而必须用量子的描述粒子的统计分布——玻色分布或费米公布。
1．4 利用玻尔——索末菲的量子化条件，求：
（1）一维谐振子的能量；
（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。 已知外磁场H=10T，玻尔磁子MB?9?10并与T=4K及T=100K的热运动能量相比较。
解 玻尔——索末菲的量子化条件为
?24
J?T
?1
，试计算运能的量子化间隔△E，
pdq?nh
其中q是微观粒子的一个广义坐标，p是与之相对应的广义动量，回路积分是沿运动轨道积一圈，n是正整数。
（1）设一维谐振子的劲度常数为k，谐振子质量为μ，于是有
E?
p
2
2?
?
12
kx
2
这样，便有
p??
2?(E?
12kx)
2
这里的正负号分别表示谐振子沿着正方向运动和沿着负方向运动，一正一负正好表示一个来回，运动了一圈。此外，根据
E?
12
kx
2
可解出x???
2Ek
这表示谐振子的正负方向的最大位移。这样，根据玻尔——索末菲的量子化条件，有
x?
?
2
x2
x2?(E?
1?
2kx)dx?
??
x(?)2?(E?
1?2
kx)dx?nh
?
x?
?
12
x2
)dx??
?
E12
x2?(E?
kx?
x2?(?2
kx)dx?nh
?
x?
?1kx2
)dx?n2
2
h
?
?
x2?(E?
为了积分上述方程的左边，作以下变量代换；
x?
2Eksin?
这样，便有
?
?2
?
2?Ecos
2
?d??
2E??2
?
k
sin???n??h
?
2?
2
2?Ecos??
2En????
2
kcos?d??
2
h
?
2
2E?
?cos
2
n2
h
??
??
2
k
?d??
这时，令上式左边的积分为A，此外再构造一个积分
?
B?
?
2
2E?
?2
?d?
?
?2
k
sin这样，便有
?
A?B?
?2
2E?
?
d??2E??
?
??
2
k
k
,
?
（1）
A?B?
?2
?
2E?
?
2?d?
?2
k
cos?
?
?2
E
?
??
2
k
cos2?d(2?)
?
?
?2
E
?
k
cos?d?,
??
2
这里? =2θ，这样，就有
A?B?
?
???
?
E
k
dsin??0 根据式（1）和（2），便有
A?E?
?k
这样，便有
（2）
E?
?k
?
n2
h
? E?nh
2?
?k
?nh
?
,k
其中h?
h2?
最后，对此解作一点讨论。首先，注意到谐振子的能量被量子化了；其次，这量子化的能量是等间隔分布的。
（2）当电子在均匀磁场中作圆周运动时，有
R
p????qBR
2?
?
?
2
?q?B
这时，玻尔——索末菲的量子化条件就为
?
?
? qBR
2
qBRd(R?)?nh
?2??nh
2
? qBR
?nh
又因为动能耐E?
p
2
2?
，所以，有
E??
(qBR)2?qBn?2?
B
2
?
qBR2?q?
222
?nB?,
2?
?nBN
其中，M
B
?
q?2?
是玻尔磁子，这样，发现量子化的能量也是等间隔的，而且
?E?BM
B
?23
具体到本题，有
?E?10?9?10
?24
J?9?10J
根据动能与温度的关系式
E?
32kT
以及
1k?K?10
?3
eV?1.6?10
?22
?22
J
?22
可知，当温度T=4K时，
E?1.5?4?1.6?10
J?9.6?10
J
当温度T=100K时，
E?1.5?100?1.6?10
?22
J?2.4?10
?20
J
显然，两种情况下的热运动所对应的能量要大于前面的量子化的能量的间隔。
1．5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现实种转化，光子的波长最大是多少？
篇二：量子力学课后习题答案
量子力学习题及解答
第一章 量子理论基础
1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长?m与温度T成反比，即
； ?m T=b（常量）
并近似计算b的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式
?vdv?
8?hvc
33
?
1
hv
dv
， （1）
ekT?1
以及 ?v?c，（2）
?vdv???vd?， （3）
有
?????
dvd??c?d?????d?
???v(?)??
?v(?)?
8?hc
?c
1
hc
?
5
?,
e?kT?1
这里的??的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+dλ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，??取得极大值，因此，就得要求?? 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作?m。但要注意的是，还需要验证??对λ的二阶导数在?m处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的?m就是要求的，具体如下：
???
'
8?hc
?
6
?
1
hc
e?kT
?
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?5??hc???kT??1?1?e?kT?
?
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?
hc
?kT
)?
hc
?kT
如果令x=
?kT
，则上述方程为
5(1?e
?x
)?x
这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有
?mT?
hcxk
把x以及三个物理常量代入到上式便知
?mT?2.9?10
?3
m?K
这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知
E=hv，
P?
h
?
如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（E动???ec2），那么
E?
p
2
2?e
如果我们考察的是相对性的光子，那么
E=pc
注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即0.51?106eV，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有
??
hp
?
h2?eEhc2?ecE
2
?
?
1.24?10
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m
2?0.51?10?3?0.71?10?0.71nm
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在这里，利用了
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eV?m
以及
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2
6
最后，对
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2
作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
1．3 氦原子的动能是E?布罗意波长。
解 根据
1k?K?10
?3
32
kT
（k为玻耳兹曼常数），求T=1K时，氦原子的德
eV
，
知本题的氦原子的动能为
E?
32kT?
32
k?K?1.5?10
?3
eV,
显然远远小于?核c2这样，便有
??
hc2?核cE
2
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1.24?10
9
?9
?6
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2?3.7?10?1.5?10?0.37?10?0.37nm
m
这里，利用了
269
?核c?4?931?10eV?3.7?10eV
最后，再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论，由某种粒子构成的温度为T的体系，其中粒子的平均动能的数量级为kT，这样，其相庆的德布罗意波长就为
??
hc2?cE
2
?
hc2?kcT
2
据此可知，当体系的温度越低，相应的德布罗意波长就越长，这时这种粒子的波动性就越明显，特别是当波长长到比粒子间的平均距离还长时，粒子间的相干性就尤为明显，因此这时就能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布，而必须用量子的描述粒子的统计分布——玻色分布或费米公布。
1．4 利用玻尔——索末菲的量子化条件，求：
（1）一维谐振子的能量；
（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。
已知外磁场H=10T，玻尔磁子M
B
?9?10
?24
J?T
?1
，试计算运能的量子化间
隔△E，并与T=4K及T=100K的热运动能量相比较。
解 玻尔——索末菲的量子化条件为
pdq
?nh
其中q是微观粒子的一个广义坐标，p是与之相对应的广义动量，回路积分是沿运动轨道积一圈，n是正整数。
（1）设一维谐振子的劲度常数为k，谐振子质量为μ，于是有
E?
p
2
2?
?
12
kx
2
这样，便有
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12kx)
2
这里的正负号分别表示谐振子沿着正方向运动和沿着负方向运动，一正一负正好表示一个来回，运动了一圈。此外，根据
E?
12kx
2
可解出x???
2Ek
这表示谐振子的正负方向的最大位移。这样，根据玻尔——索末菲的量子化条件，有
?
x?
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12
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为了积分上述方程的左边，作以下变量代换；
x?
2Eksin?
这样，便有
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这时，令上式左边的积分为A，此外再构造一个积分
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这样，便有
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（
篇三：量子力学答案完全版
⒈热辐射的峰值波长与辐射体温度之间的关系被维恩位移定律：
表示，其中
。求人体热辐射的峰值波长（设体温为）。
解：，由题意，人体辐射峰值波长为：。
⒉宇宙大爆炸遗留在宇宙空间的均匀各向同性的背景热辐射相当于波长是多少？在什么波段？
黑体辐射。此辐射的峰值
解：T=2.726K，由维恩位移定律，属于毫米波。
⒊波长为的X射线光子与静止的电子发生碰撞。在与入射方向垂直的方向上观察时，散射X
射线的波长为多大？碰撞后电子获得的能量是多少eV？
解：设碰撞后，光子、电子运动方向与入射方向夹角分别为θ,α
，由能量守恒，
，动量守恒:
;；整
理得:
;联立第一式：?1??0?
2hmechc
sin
2
?
2
;?0???0.01nm ;
则X射线的波长为：?1?
2hmec
sin
2
?
2
?0.01；电子能量：Ee?
?
?
hc
?1
⒋在一束电子束中，单电子的动能为，求此电子的德布罗意波长。
解：电子速度远小于光速，故：
;则：。
5.设归一化函数：
（x）=Aexp(-
2
x2)(-)a为常数，求归一化常数A。
解：由归一化条件
|dx=1 得
2
A=
2
=
A=
6.设归一化波函数=A(0n为整数，a为常数，求归一化常数A
解：由归一化条件
|2dx得A2=1
解得A=
7.自由粒子的波函数为
=Aexp()
其中和是粒子的动量和能量，和t是空间与时间变量，?是普朗克常数，A是归一化常数，试建立自由粒子波函数所满足的方程。
解：由=Aexp()，将其对时间求偏微商，得到
=-E,然后对其空间求偏微商，得到：=-
利用自由粒子的能量和动能的关系式：E=
就可以得到：i=---------自由粒子波函数所满足的方程
8．设一个微观粒子的哈密顿算符的本征方程为?=
该粒子的初始波函数为=+
设和是实数，求任意时刻的波函数及粒子的几率密度.
解：由=exp()
=dx=
=
= exp()+ exp()
粒子的几率密度==
=[ exp()+ exp()]
[ exp()+ exp()]
因
为
和是实数，利用欧拉公式：原=9.
宽
度
为
a
的
一
维
无
限
深
势
阱
中
粒
子
的
本
征
函
数
=
求证本征函数的正交性：
dx=0(m)
证：
=
=
式
为
=[]
=0()
10．原子核内的质子和中子可以粗略地当成处于无限深势阱中而不能逸出，它们在核中可以认为是自由的，按一维无限深势阱估算，质子从第一激发态（n=2）跃迁到基态（n=1）时，释放的能量是多少MeV?核的线
度按a=1.0m计算。
解：由能量n=1,2,3….
.
3J=6.2MeV
11.理想金属细杆中的电子可以当成处于一维无限深势阱中而不能逸出，它们在细杆中可以文本库是自由的，设细杆的长度为a，电子的初始波函数为
=f(x)=Ax(0<x<a,A为归一化常数)
试求任意t时刻电子的波函数
解：因为A是归一化常数，由
由波函数=exp()
其中
=dx=dx ==
=
exp()
12.
设一个微观粒子的哈密顿不含时间，其本征方程为，如果粒子的初态为
,求粒子在任意时刻的波函数及几率密度。
解：由波函数=exp(
)
=dx=dx=
=exp()= exp()
粒子的几率密度==
=
=
13．设谐振子处于基态（n=0）； 1.写出其波函数的表示式
2.由哈密顿符的本征方程及基态波函数计算基态能量
解：1.= ()
2.将1式代入 得：
+
得
=
14. 设想一个质量为m =1ｇ的小珠子悬挂在一个小弹簧下面做振幅为Ａ =1ｍｍ的简谐振动。已知弹簧的劲
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