篇一：正余弦函数的图像
1.4.1正弦函数,余弦函数的图象
【教材分析】
《正弦函数,余弦函数的图象》是高中新教材人教A版必修四的内容，作为函数，它是已学过的一次函数、二次函数、指数函数与对数函数的后继内容，是在已有三角函数线知识的基础上，来研究正余弦函数的图象与性质的，它是学习三角函数图象与性质的入门课，是
今后研究余弦函数、正切函数的图象与性质、正弦型函数
的图象的知识
基础和方法准备。因此，本节的学习在全章中乃至整个函数的学习中具有极其重要的地位与作用。
本节共分两个课时，本课为第一课时，主要是利用正弦线画出
的
图象，考察图象的特点，用“五点作图法”画简图，并掌握与正弦函数有关的简单的图象平移变换和对称变换；再利用图象研究正余弦函数的部分性质（定义域、值域等） 【教学目标】
1.学会用单位圆中的正弦线画出正余弦函数的图象，通过对正弦线的复习，来发现几何作图与描点作图之间的本质区别，以培养运用已有数学知识解决新问题的能力。
2. 掌握正余弦函数图象的“五点作图法”；
3. 渗透由抽象到具体的思想，使学生理解动与静的辩证关系，培养辩证唯物主义观点。 【教学重点难点】
教学重点：“五点法”画长度为一个周期的闭区间上的正弦函数图象 教学难点：运用几何法画正弦函数图象。 【学情分析】
本课的学习对象为高一上学期的学生，他们在初中已经学习过三步作图法，而且经过近两个半月的高中学习，已具有一定的学习基础和分析问题、解决问题的能力，思维活跃、想象力丰富、乐于尝试、勇于探索，学习欲望强的学习特点。 【教学方法】
1．学案导学：见后面的学案。
2．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习
【课前准备】
1．学生的学习准备：预习课本这一节的内容，完成课前导学案。 2．教师的教学准备：课前预习学案，课内探究学案，课后巩固学案。 3.教学手段：利用高拍仪和计算机多媒体辅助教学. 【课时安排】1课时 【教学过程】
一、预习检查、总结疑惑
检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。 二、复 习导入、展示目标。 1.创设情境：
问题1：三角函数的定义及实质？三角函数线的作法和作用？ 设置意图：把问题作为教学的出发点，引起学生的好奇，用操作性活动激发学生求知欲，为发现新知识创设一个最佳的心理和认识环境，关注学生动手能力培养，使教学目标与实验
的意图相一致。
学生活动：教师提问，学生回答，教师对学生作答进行点评
多媒体使用：PPT
问题2：根据以往学习函数的经验，你准备采取什么方法作出正弦函数的图象？作图过程中有什么困难？
设置意图：为学生提供一个轻松、开放的学习环境，有助于有效地组织课堂学习，有助于带动和提高全体学习的积极性、主动性，更有助于培养学生的集体荣誉感，以及他们的竞争意识
学生活动：给每位同学发一张纸，组织他们完成下面的步骤：描点、连线。 加入竞争机制看谁画得又快又好！
2.探究新知：根据学生的认知水平,正弦曲线的形成分了三个层次：
引导学生画出点C(
?
,sin) 33
?
问题一：你是如何得到
的呢？如何精确描出这个点呢？ 2
问题二：请大家回忆一下三角函数线，看看你是否能有所启发？什么是正弦线？如何作出点C(
?
,sin)展示幻灯片
33
?
设置意图：由浅入深、由易到难,帮助学生体会从三角函数线出发，“以已知探求未知”
的数学思想方法,培养学生的思维能力。通过对正弦线的复习，来发现几何作图与描点作图之间的本质区别，以培养运用已有数学知识解决新问题的能力。 数形结合，扫清了学生的思维障碍，更好地突破了教学的重难点
学生活动：引导学生由单位圆的正弦线知识，只要已知角x的大小，就可以由几何法作出相应的正弦值
来。
（教师在引导学生分析问题过程中，积极观察学生的反映，适时进行激励性评价） 多媒体使用：几何画板；PPT 问题三：能否借用点C(
课件演示：正弦函数图象的几何作图法
设置意图：使学生掌握探究问题的方法，发展他们分析问题和解决问题的能力，老师的点拨，学生探究实践，进一步加深学生对几何法作正弦函数图象的理解。 通过课件演示让学生直观感受正弦函数图象的形成过程。并让学生亲自动手实践，体会数与形的完美结合。
学生活动：一方面分组合作探究，展示动手结果，上台板演，同时回答同学们提出的问题。
利用尺规作出
问题四：如何得到
图象，后用课件演示
的图象？
?
,sin)的方法，作出33
?
的图像呢？
展示幻灯片
设置意图：引导学生想到正弦函数
是周期函数，且最小正周期是
问题五：这个方法作图象，虽然比较精确，但不太实用，如何快捷地画出正弦函数的图象呢？
学生活动：请同学们观察，边口答在点有几个？引导学生自然得到下面五个：
的图象上，起关键作用的
组织学生描出这五个点，并用光滑的曲线连接起来，很自然得到函数的简图，称为“五点法”作图。
“五点法”作图可由师生共同完成
设置意图：积极的师生互动能帮助学生看到知识点之间的联系，有助于知识的重组和迁移。
把学生推向问题的中心，让学生动手操作，直观感受波形曲线的流畅美，对称美，使学生体会事物不断变化的奥秘。
通过讲解使学生明白“五点法”如何列表，怎样画图象。 小结作图步骤：1、列表2、描点3、连线 思考：如何快速做出余弦函数图像？
根据诱导公式cosx?sin(x?
?
2
),还可以把正弦函数x=sinx的图象向左平移
?
单位即2
得余弦函数y=cosx的图象.
三、例题分析
例1、画出下列函数的简图：y＝1＋sinx ，ｘ∈〔0，２π〕
解析：利用五点作图法按照如下步骤处理1、列表2、描点3、连线 解：（1） 按五个关键点列表：
描点、连线，画出简图。
变式训练：ｙ＝－cosx ，ｘ∈〔0，２π〕
评：目的有
二：(1)巩
固新知；
(2)从层次上逐层深化、拾级而上，为往后学习三角函数图像的变换打下一定的基础。
四、反思总结与当堂检测： 1、五点（画图）法
（1）作法 先作出五个关键点，再用平滑的曲线将它们顺次连结起来。 （2）用途只有在精确度要求不高时，才能使用“五点法”作图。 （3）关键点 横坐标：0 π/2 π 3π/2 2π 2、图形变换 平移、翻转等
设置意图：进一步提升学生对本节课重点知识的理解和认识，并体会其应用。 学生活动：学生分组讨论完成
3、画出下列函数的简图：(1) y=|sinx|，（2）y=sin|x| 五、发导学案、布置预习 思考：若从函数 1.
的图像变换分析的图象可由
的图象怎样得到？
2.可用什么方法得到六、板书设计
的图像？ 1、“五点法”2、翻折变换 正弦函数和余弦函数的图像
一、正弦函数的图像 例1 二、作图步骤 1、列表2、描点3、连线练习： 三、余弦函数教学反思
学生的学习是一个积极主动的建构过程，而不是被动地接受知识的过程。由于学生已具备初等函数、三角函数线知识，为研究正弦函数图象提供了知识上的积累；因此本教学设计理念是：通过问题的提出，引起学生的好奇，用操作性活动激发学生求知欲，为发现新知识
创设一个最佳的心理和认识环境，引导学生关注正弦函数的图象及其作法；并借助电脑多媒体使教师的设计问题与活动的引导密切结合，强调学生“活动”的内化，以此达到使学生有效地对当前所学知识的意义建构的目的，感觉效果很好。
学生们大多数都能完成得很好，但学生对自己的评价还比较保守，表现不太自信，另外我应肯定一下普遍完成任务的所有同学，不只是肯定那几个高手。
但有些同学还是忽视理论探讨，急于动手做，因此总会出现这样或那样的问题，如何让学生少走弯路，对知识理解透彻，在正确的理论引导下顺利完成任务，这是个值得研究的问题。
九、学案设计(见下页)
篇二：正弦、余弦函数图像
1.4.1 正弦函数、余弦函数的图像 （一）
给定任意一个角，其正弦值、余弦值均存在，且满足唯一性，即角与正弦、余弦值之间可以建立一一对应关系，符合函数的要求。形如y=Asin(ωx+φ)（ω≠0）的函数称为正弦函数；
形如y=Acos ωx+φ （ω≠0）的函数称为余弦函数；
（二）
在诱导公式的帮助下，我们可以将任意一个角的三角函数值转化为求某一个锐角的三角函数，再以有序实数对（角，三角函数）的形式在坐标系内描点，从而得到三角函数的图象；除了基础的描点法，我们也可以利用三角函数线，得到函数的图象。
（三）
0到2π，是任意角的冰山一角；0到2π一段上的函数图象，也仅仅是三角函数图象的一部分.另一方面，当角的终边旋转一周后继续旋转，角的大小在逐渐变化的同时，角的正弦线“玩接力”样依次重复出现，可以预见，2π到4π，4π到6π，6π到8π，…，是0到2π一段上函数图象的“复制”与“粘贴”，每一段的首尾相接，便是函数图象的“真身”。
其中y=sinx、y=cosx是正弦函数与余弦函的基本形式：所有的正弦函数、余弦函数，通过“换元”思想，都可以转化为y=sinx与 y=cosx 的形式，故二者是研究正弦函数与余弦函数的基石。
（四）
正弦函数、余弦函数的图象告诉我们： ①从自变量x的角度看，函数图象可沿着xx轴上任何一个故正弦函数、R；
②从因变量y的角度看，正弦函数、余弦y=1与y=?1两条互相[?1，1]，好比正弦函数、余弦函数为一个“加工厂”，投入的角多大多小，产成品----“函数值”只能在[?1，1]； ③正弦函数、余弦函数的图象可以看作某一部分（如图中的阴影部分）的重复拼接，故画函数图象时，可以以此为单元。
（五）
基于正弦函数、余弦函数图象的特征，有了重复单元，就有了整个正弦函数、余弦函数的图象；在画函数图象时，重复单元的绘
制显得尤为重要。我们往往选择区间[0，2π]上的图象，作为正弦函数、余弦函数图象的重复单元。观察图象，发现函数 y=sinx 或y=cosx在区间[0，2π]上的图，起关键作用的点有五个，为：①（0，0），（2，1）,（π，0），（
π
π
3π2
【类题突破1】用“五点法”作出函数 y=2sin?(2x?) 的简图.
3π
，1），（2π,1）；
3π2
②（0,1），（ 2，0 ， π，?1 ，
，0）
（2π,1） ；
这种由五个关键点画正弦、余弦函数图象的方法，称为“五点法”。五点法所涉及的五个点并不是一成不变的，其横、纵坐标均可能改变；五点法的实质是选取了五个特殊角，即0，，π，
2π
3π2
，2π，由此衍生出x
【
例1】利用“五点法”画出函数y=sin?(2x+6在长度为一个周期的闭区间的简图.
解析 五点法是以角为基础确定的，区分角与自变量，列表描点连线得函数的图象。 (1)角1
π
【例2】已知函数f x = sin 2x?4 +1，画出函数在区间[?2，2]上的图象. 解析 根据自变量x的取值范围确定角的取值范围，并选择特殊性质的角；注意必须包含左右端点对应的角。 ∵?
π2
π
π
π
≤x≤2∴?
π5π4
≤2x?
5π4
π4
≤
3π4
其中的特殊性质的角依次为：??2，0，2，π
π
3π4
，?π
自变量因变量(2)在坐标系中描出点 ?3，0 ， 3，1 ， 3，0 ， 3，?1 ，(
11π3π
2π
5π
8π
，0)
(2)描点：在坐标系中标注点(?
5π4
，2)
π
?π，1 ， ?，1? ，(0，1)
π3π
（，2) ，1+ ，
24
(3)连线得函数图象：
【类题突破
2】函数y=sin?(2x
?3在区间[
?，π]
上的简图是下列选项中的()
2π
π
[??，????]的图象及直线??=
??
??
O ????
????????????????????
??
????????
????????
在区间[??，????]上有：??????=??????
??
????
????????
=
满足????????≥??x的取值为：≤??≤
????
??????
??
随着图象的无限延伸，[??，????]上函数图象的重复拼接，满足上述不等式的解有：
????????????
，
????????
，
??????????
????????
，
????????
，…
【例3】写出不等式????????≥??的解集. 解析 利用数形结合的思想，分别画出??=????????与??=??的图象，通过图象写出不等式的解；注意，函数??=????????的图象具有重复性，画出一个重复单元即可. 在同一坐标系中，作函数??=????????，??∈
??
??
符合[+??????，+??????]
故不等式????????≥的解集为： ??+??????，??∈??
【类题突破3】写出????????≥
的解集. ??
??
??????
+??????
利用三角函数的单调性；图象；
②三角函数图象具有重复性，单元即可.
1、， ??∈[??，????]的图象时，下列哪个点不是关键点（ ）
A.(??，??） B.(??，??)
??
??
??
C.(??，??） D.(????，??） 2、在同一平面直角坐标系中，函数??=???????? ??∈[??，????] 与??=????????，??∈[????，????]的图象（ ）
A.重合 B.形状相同，位置不同 C.关于y轴对称 D.形状不同，位置不同 3、函数??=?????? ??? ，??∈[??，????]的简图是（）
围是
________________.
5、函数??=????????，??∈[??，????]的图象与直线??=???
??__________个.
6、函数，????]的大致图象为（ ）
CD 7、在(??，????)内，使????????>????????成立的x的取值范围为（） A.(??
??
????
??
??，??）∪（??，??
B.(??，??） C.(??
??????，
??）D. ??
????
??????，?? ∪(??，
??
8、利用余弦函数图象，写出满足????????>0，??∈[??，????]的x的区间为______________. 9、函数??= ????????????????的定义域为
??
______________________. 10、已知函数?? ?? =?????????(????+??
?? (1)画出函数在区间[???
????????，
????
]上的图象；
(2)若方程?? ?? =??+??在区间[???
，????????????
上有两解，求a的取值范围.
11、已知函数?? ?? =???????(????+??
??
.画出函数
??=??(??)在区间[??，??]上的图象.
篇三：正弦函数、余弦函数的图像
高中课程标准?数学必修4
1.4.1正弦函数、余弦函数的图像
一、教学内容及其解析
1、内容：
本次课主要内容是教学生画出正弦函数、余弦函数的图像形状，采用类比，突出两种曲线的相同与不同之处。
2、解析：
本节课是高中数学教材必修4 1.4《正弦函数、余弦函数的图像和性质》的第一节，是学生在已掌握了一些基本函数的图像及其画法的基础上，进一步研究三角函数的画法。其中要了解利用正弦线画出函数y?sinx，x?[0，2?]的图像，并利用正弦曲线和诱导公式画出余弦曲线。会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的简图。为今后学习正弦型函数y?Asin(?x??）的图像及运用数形结合的思想研究正、余弦函数的性质打下基础。
二、教学目标及解析
1、目标：
《课程标准》对本模块、本章和本节的内容要求是：
（1）了解如何利用正弦线画出正弦函数的图像，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图像。
（2）掌握“五点法”画出正弦函数、余弦函数的简图。
（3）体会探究利用“五点法”画与正弦函数、余弦函数有关的某些简单函数在[0，2?]的简图。
（4）体验利用图像变换作图的方法，体会整体划归的思想。
2、目标解析：
根据《课程标准》对本模块、本章和本节的内容提出要求，结合教科书对当前内容和后续内容的分析，这两节课的教学目标定位应该是：
（1）利用诱导公式，由正弦函数的图像通过平移法得到余弦函数图像，培养学生应用分析、探索、化归、类比、数形结合等数形思想方法在解决问题中的应用能力。
2.体会“五点法”作图给我们学习带来的好处，并会熟练地画出一些简单的函数图像，进一步了解从特殊到一般，从一般到特殊的辩证思想方法。
3.通过实验、作图，使学生感受波形曲线的流畅美、对称美，使学生体会事物周期变化的奥秘，培养学生自主探索和学习的能力。
三、教学问题诊断分析
这节课学生可能遇到的困难是：利用正弦线画出函数y?sinx，x?[0，2?]的图像，掌握“五点法”画出正弦函数、余弦函数的简图。在这里，几何描点法中，单位圆中的三角函数线是一些有向线段，它们可以用来表示单位圆中的三角函数值，这种思路是学生不容易想到的，需要适当引导。画正弦函数图像的“五点法”中的五点选取可以是不一样的，根据各自的取值区间，只要都是一个周期内的图像均可。在观察正弦函数图像向左或向右平移时，学生不容易想到相关的诱导公式，这就要求教师的引导， 也要求充分复习正弦线、函数图
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像的变换等知识，体现了知识间的联系。在作图时，认真梳理好讲解的顺序，采用类比，突出两种曲线的相同与不同之处，并让学生充分参与。
四、教学支持条件
收集“简谐运动”的实验装置。利用多媒体、实物教具等手段可帮助学生更直观地认识正弦、余弦函数曲线，以及它们之间图像变换。
五、教学过程设计
（一）教学基本流程
（二）教学情境
1.探索这些函数图像的画法
问题1：（1）我们可以用单位圆中的三角函数线来刻画三角函数，那是否可以用它来帮助作正弦函数图像呢？如何画出函数y?sinx，x?[0，2?]的图像呢?
设计意图：体会用学过的粗略描点法作正弦函数图像的麻烦和不准确。建立单位圆的三角函数线与三角函数图像之间的联系，引出用正弦线作正弦函数图像的方法。进一步明确如何利用单位圆中的正弦线画正弦函数图像。
师生活动：注意引导学生分析图像上的点与单位圆中的圆心角及其所对应的正弦线之间的关系。按照教科书叙述的步骤，指导学生动手操作，描出12个点，做出y?sinx，x?[0，2?]的图像。形成对正弦函数图像的感知。
作图过程：
（1）在直角坐标系x轴上任意取一点O1,以为圆心作单位圆；
（2）从圆O1与x轴的交点起A把圆分成12等份（份数宜取6的倍数，份数越多，画出的图像越准确）；
（3）再把x轴上从0到2?这一段（?6,28）分成12等份；
(4)把圆O1上的各分点作x轴的垂线,可以得到对应于0，?,2?,3?
666,??,等角的正
弦线；
（5）把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合；
（6）再用光滑的曲线把这些正弦线的终点连接起来，就得到函数y?sinx，x
?[0，
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2?]的图像。
问题2：如何作出函数y?sinx，x?[2k?，2(k?1)?),k?Z且k?0的图像。 设计意图：引导学生利用诱导公式（一），只要将函数y?sinx，x?[0，2?]的图像左、右平移（每次2?个单位长度）就可以得到y?sinx，x?R的图像。
师生活动：因为终边相同的角有相同的三角函数值，三角函数值有周而复始的变化规律。所以函数y?sinx在x?[2k?，2(k?1)?),k?Z且k?0的图像与函数y?sinx，x?[0，2?]的图像的形状完全一样，只是位置不同，于是只要将函数y?sinx，x?[0，2?]的图像左、右平移（每次2?个单位长度）就可以得到y?sinx，x?R的图像，即正弦曲线
2余弦函数图像
问题3：以正弦函数的图像为基础，怎样通过适当的图形变换得到余弦函数的图像吗？ 设计意图：使学生从函数解析式之间的关系思考函数图像之间的关系，进而学习通过图像变换画余弦函数图像的方法，让学生感受有了一个函数图像作为基础时，可以通过函数图像变换得到另一个函数的图像，降低作图的难度。
师生活动：由诱导公式cosx??
2?x)知，把正弦函数的图像向左平移?
2个单位即
得余弦函数y?cosx,x?R的图像，叫做余弦曲线
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3.五点画图法
问题4：在作出正弦函数的图像时，应抓住哪些关键点？
设计意图：从对图像的整体观察入手，引出“五点法”。
师生活动：观察正弦函数y?sinx，x?[0，2?]的图像，起关键作用的点有以下五个：(0,0),(?
2,1),(?,0),(3?
2,?1),(2?,0) 。在精确度要求不高的情况下，我们常常线找
出这五个关键点，正弦函数y?sinx，x?[0，2?]的图像形状就基本上确定了。这种近似的“五点画图法”是非常实用的。
探究：类似于正弦函数图像的五个关键点，你能找出余弦函数图像的五个关键点吗？请将它们的坐标写出来，然后作出函数y?cosx,x?[0,2?]的简图。
4.例题讲解
例1：画出下列函数的简图
（1）y?1?sinx，x?[0，2?]；
（2）y??cosx,x?[0,2?]。
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解：
（1）y?1?sinx，x?[0，2?
]；
（2）y
??cosx,x?[0,2?]
思考：你能否从函数图像变换的角度出发，利用函数y?sinx，x?[0，2?]的图像来得到y?1?sinx，x?[0，2?]的图像？同样的，你能否从函数y?cosx,x?[0,2?]图像得到函数y??cosx,x?[0,2?]的图像？
设计意图：使学生从图像变换的角度认识函数之间的关系。
师生活动：教师提出问题，学生独立完成，回答问题。
补充例题： 画出函数y?sin(2x??
3)，x?R.的简图
5.课内目标检测
课本P34页第1题；
6.课堂小结
问题6：通过这次课的学习，我们是怎么研究正弦函数、余弦函数图像的画法？
设计意图：反思学习过程，对研究正弦函数、余弦函数图像的方法进行概括，深化认识。 师生活动：引导学生作如下的小结：
1.代数描点法（误差大）；2.几何描点法（精确但步骤繁）；3.五点法（重点掌握）-----简图；4平移（正弦函数图像-----余弦函数图像）。
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