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初中数学思想

来源:免费论文网 | 时间:2016-12-28 07:35:40 | 移动端:初中数学思想

篇一:初中数学包含哪些数学思想?

解读初中数学数学思想

《数学课程标准》在课程目标中明确指出:“通过义务教育阶段的数学学习,学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必须的重要数学知识以及基本的数学思想方法和必要的应用技能”.由此可知,《数学课程标准》已把基本的数学思想方法作为学生必须掌握的基础知识来要求.数学思想方法是数学的灵魂,数学思想指导着数学问题的解决,并具体地体现在解决问题的不同方法中,掌握一定的数学思想和方法远比掌握一般的数学知识有用的多.通过七年级下册数学的学习,同学们应进一步理解和感受以下几种数学思想方法:

一、方程思想

所谓方程思想就是从分析问题的数量关系入手,适当设定未知数,把已知量与未知量

之间的数量关系转化为方程(组)模型,从而使问题得到解决的思维方法.方程知识是初中数学的核心内容,理解方程思想并应用于解题当中十分重要.课本中第6章、第7章列一次方程(组)解应用题就是方程思想的具体应用.

例1.一个多边形的外角和是内角和的

2

,求这个多边形的边数. 7

?

分析:根据“n边形的内角和等于(n?2)?180?”与“多边形的外角和等于360”和已知条件,列方程可求解.

解答:设多边形的边数为n,则根据题意得方程: (n?2)?180?

?

2

?360? 解得n?9 7

所以,这个多边形的边数为9

评注:对方程思想的考查主要有两个方面:一是列方程(组)解应用题;二是列方程(组)解决代数问题或几何问题.

二、数形结合思想

数学是研究数量关系和空间形式的一门科学,每个几何图形中都要蕴藏着一定的数量关系,而数量关系常常又可以通过图形的直观性作出形象的描述.数形结合思想即是把代数、几何知识相互转化、相互利用的一种解题思想. 在一元一次不等式(组)中,用数轴表示不等式的解集就是数形结合的具体体现.

例2.求不等式组?

?2x?5?5?2x

的自然数解.

?4x?6≥7x?15

分析:欲求不等式组的自然数解,一般思路是先求出不等式组的解集,再在数轴上表示出其解集,从而进一步求出问题的答案.

解答:解不等式2x?5?5?2x得x?

5 2

解不等式4x?6?7x?15得x?3所以,原不等式组的解集是x?

5

,其解集在数轴上表示如图1所示

2

图1

所以,其自然数解为0、1、2.

评注:自然数也就是非负整数,在这里易漏掉0. 三、分类讨论思想

分类讨论思想就是要针对数学对象的共性与差异性,将其区分为不同种类,从而克服思维的片面性,有效地考查学生思维的全面性与严谨性.要做到成功分类,需注意两点:一是要有分类意识,善于从问题的情境中抓住分类对象;二是找出科学合理的分类标准,满足不重不漏的原则.

例3.等腰三角形的周长为16,其中一条边的长是6,求另两条边的长.

分析:由于已知的“一条边的长是6”,未告之是腰长,还是底边长,所以应分类讨论求解.

解答:(1)当周长为16,腰长为6时,该等腰三角形的另两边:一条边为腰,长为6,另一条边为底边,长为16-6-6=4,即另两边分别为6和4;

(2)当周长为16,底边长为6时,该等腰三角形的另两边都是腰,其长为(16-6)÷2=5,即另两边长为5、5.

评注:求解有关等腰三角形的边、角问题时,在题中未附图形且未指名已知的边、角是该等腰三角形的底或腰(底角或顶角)的情况下,均需用分类讨论思想求解.

四、转化思想

转化是解数学问题的一种重要的思维方法.转化思想是分析问题和解决问题的一个重要的基本思想,就解题的本质而言,解题就意味着转化,即是把“新知识”转化为“旧知识”,把“未知”转化为“已知”,把“复杂”转化为“简单”,把“陌生”转化为“熟悉”,把“抽象”转化为“具体”,把“一般”转化为“特殊”,把“高次”转化为“低次”,把一个综合问题转化为几个基本问题,把顺向思维转化为逆向思维等等.

例4.在一个多边形中,它的内角最多可以有几个是锐角?

分析:由于任意一个多边形的内角与其相邻的外角的和等于180,所以若内角为锐角,则其外角为钝角,将该问题转化为求多边形的外角中最多有几个钝角就十分简捷。 解答:因为 多边形的外角和为360

所以 多边形的外角中最多有3个钝角,

?

?

所以 多边形的内角中最多有3个锐角。 评注:此题充分体现了结论与结论之间的相互转化.

五、整体思想

研究某些数学问题时,往往不是以问题的某个组成部分为着眼点,而是有意识放大考查问题的视角,将要解决的问题看作一个整体,通过研究问题的整体形式、整体结构或作整体处理后,达到顺利而又简捷地解决问题的目的,这就是整体思想.

例5.已知某个三角形的周长为18㎝,其中两条边的长度和等于第三条边长度的2倍,而它们的差等于第三条边长度的

1

,求这个三角形的三边长. 3

分析:三角形有三条边,题目中有三个条件,此题需设三角形的三边为未知数,列方程 组解答.

解答:设三角形的三边长分别为a、b、c,(a?b)则依题意得:

(1)?a?b?c?18

?

?a?b?2c (2) ?a?b?c/3(3)?

将(2)整体代入(1),得2c?c?18,解得c?6 再将c?6代入(2)、(3)得:

?a?b?12?a?7

解这个方程组得 ??

?a?b?2?b?5

因此,所求三角形的三边长为7、5、6.

评注:所列方程组为三元一次方程组,在求解这个方程组时,将(2)整体代入(1),

立即可求出C的大小,使得求解a、b就变得十分简单.这种整体代入、整体加减的整体数学思想在整式、方程(组)、不等式(组)和有关几何图形的计算中经常用到。

六、对称思想

数学家赫尔曼?外尔曾经说过:对称是一种思想,通过它,人们毕生追求并创造次序、

美丽和完善??”.利用对称思想,同学们可较简单地进行图案设计并能解决一些有关对称的数学问题。

例6.用四块如图2所示的瓷砖拼成一个正方形,形成轴对称的图案,和你的同伴比一比,看谁的拼法多.

分析:抓住轴对称图形的定义即沿着某条直线对折,两旁的部分能够完全重合进行图案设计.此题的答案不唯一.

解答:如图3所示.

图2 图3

评注:(1)在图3中,黑、白颜色可互换;(2)生活中存在着大量的对称现象,大到宇宙空间的星体,小到微观世界的原子,精致的艺术珍宝,尖端科学中的基因工程,都可以找到图形对称的素材.

热身练习

1、(2007年吉林省) .某商店在一次促销活动中规定:消费者消费满200元或超过200元就可享受打折优惠.一名同学为班级买奖品,准备买6本影集和若干支钢笔.已知影集每本15元,钢笔每支8元,问他至少买多少支钢笔才能打折?

2、(2006吉林省)如图4.在3?3的方格内,填写了一些代数式和数.

(1)在图4(1

)中各行、各列和对角线上三个数之和都相等,请你求出x,y的值;

(1)图4(2)

(2)把满足图4(1)的其他6个数填入图4(2)中的方格内.

?x?3

?3≥x?1,?

3、(2007年成都市)解不等式组?2并写出该不等式组的整数解

??1?3(x?1)?8?x,

4、(2007年杭州市).一个等腰三角形的一个外角等于110°,则这个三角形的三个角应该为5、(2007年重庆市)已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:4,则这个等腰三角形顶角的度数为( ) A.20

?

B.120

?

C.20或120

??

D.36

?

6、(2006年天津市)如图5,P、Q是?ABC的边BC上的两点,且BP=PQ=QC=AP=AQ,则?BAC的大小等于________.

QP

l

图5

7、(2007年山西省)如图6,直线l是一条河,P,Q两地相距8千米,P,Q两地到l的距离分别为

2千米,5千米,欲在l上的某点M处修建一个水泵站,向P,Q两地供水.现有如下四种铺设方案,图中实线表示铺设的管道,则铺设的管道最短的是( )

C.

8、(2007年山西省)若?

Q

M

A.

M

D.

M

?x?2y?6,

则x?y?

2x?y?9,?

9、(2007年青海省)已知二元一次方程组?A.1

B.0

C.?2

?m?2n?4,

则m?n的值是( )

?2m?n?3,

D.?1

10、(2007年资阳市)如图7,已知△ABC为直角三角形,∠C=90°,若沿图中虚线剪去∠C,则∠1+∠2等于( ) A. 90° C. 270°

B. 135° D. 315°

7

11、(2007年乐山市)认真观察图8的4个图中阴影部分构成的图案,回答下列问题:

图8

篇二:专题讲座(数学思想方法与初中数学教学)

专题讲座

数学思想方法与初中数学教学

嵇文红 北京市芳星园中学

一、数学思想方法在初中数学教学中的重要性

在《初中数学课程标准》的总体目标中,明确地提出了:“通过义务教育阶段的数学学习,学生应能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法和必要的应用技能”。新课程把基本的数学思想方法作为基础知识的重要组成部分,在数学课程标准中明确地提出来,这不仅是课程标准体现义务教育性质的重要表现,也是对学生实施创新教育、培养创新思维的重要保证。

什么是数学思想方法?数学思想是对数学知识和方法本质的认识,是解决数学问题的根本策略,它直接支配着数学的实践活动;数学方法是解决问题的手段和工具,是解决数学问题时的程序、途径,它是实施数学思想的技术手段。数学思想带有理论性特征,而数学方法具有实践性的特点,数学问题的解决离不开以数学思想为指导,以数学方法为手段。数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学学科的精髓,是数学素养的重要内容之一,数学思想方法揭示了概念、原理、规律的本质,是沟通基础与能力的桥梁。

在初中数学教学中,常见的数学思想有:转化思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等等;常见的数学方法有:待定系数法、配方法、换元法、分析法、综合法、类比法等等。

在初中数学教学中,渗透数学思想方法,可以克服就题论题,死套模式,数学思想方法可以帮助我们加强思路分析,寻求已知和未知的联系,提高分析解决问题的能力,从而使思维品质和能力有所提高。提高学生的数学素质、必须紧紧抓住数学思想方法这一重要环节,因为数学思想方法是提高学生的数学思维能力和数学素养的重要保障。

在初中数学教材中集中了大量的优秀例题和习题,它们所体现的数学知识和数学方法固然重要,但其蕴涵的数学思想却更显重要,作为初中数学教师,要善于挖掘例题、习题的潜在功能。在初中数学教学中,教师应向学生提供充分从事数学活动的机会,帮助学生在自主探索和合作交流的过程中,真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法,获得广泛的数学活动经验。学生是数学学习的主人,教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。学生只有领会了数学思想方法,才能有效地应用知识,形成能力,从而为解决数学问题、

进行数学思维起到很好的促进作用。因此,在初中数学教学中,教师必须重视对学生进行数学思想方法的渗透与培养。

二、几种常见的数学思想方法在初中数学教学中的应用

(一)渗透转化思想,提高学生分析解决问题的能力

所谓“转化思想”是指把待解决或未解决的问题,通过转化,归结到已经解决或比较容易解决的问题中去,最终使问题得到解决的一种思想方法。转化思想是初中数学中常见的一种数学思想,它的应用十分广泛,我们在数学学习过程中,常常把复杂的问题转化为简单的问题,把生疏的问题转化为熟悉的问题。数学问题的解决过程就是一系列转化的过程,转化是化繁为简,化难为易,化未知为已知的有力手段,是解决问题的一种最基本的思想,对提高学生分析解决问题的能力有积极的促进作用。

我们对转化思想并不陌生,中学数学中常用的化高次为低次、化多元为一元,都是转化思想的体现。在具体内容上,有加减法的转化、乘除法的转化、乘方与开方的转化、数形转化等等。例如:初中数学“有理数的减法”和“有理数的除法”这两节教学内容中,教材是通过“议一议”的形式,使学生在自主探究和合作交流的过程中,经历把有理数的减法转化为加法、把有理数的除法转化为乘法的过程,“减去一个数等于加上这个数的相反数”,“除以一个数等于乘以这个数的倒数”,这个地方虽然很简单,但却充分体现了把“没有学过的知识”转化为“已经学过的知识”来加以解决,学生一旦掌握了这种解决问题的策略,今后无论遇到多么难、多么复杂的问题,都会自然而然地想到把“不会的”转化为“会的”、“已经掌握的”知识来加以解决,这符合学生原有认知规律,作为教师,我们不能因为简单而忽视它的教学,实践告诉我们,往往是越简单、越浅显的例子,越能引起学生的认同,所以我们不能错过这一绝佳的提高学生的思维品质的机会。

再如北京市义务教育课程改革实验教材数学第13册第4章中《对图形的认识》,它实际上是“空间与图形”的最基本部分。教材在编排设计上是围绕认识基本几何体、发展学生空间观念展开的,在过程上是让学生经历图形的变化、展开与折叠等数学活动过程的,在活动中引导学生认识常见的几何体以及点、线、面和一些简单的平面图形,通过对某些几何体的主视图、俯视图、左视图的认识,在平面图形与立体图形的转化中发展学生的空间观念。在授课过程中要特别注意图形的转化思想的渗透,在实际操作中,因为大部分学生在小学时就积累一定的感性处理方法,我们要注意的就是在学生原有知识结构的基础上,将其上升为理论高度,引导学生归纳概括得出一般性的结论:在初中阶段,绝大部分立体图形的问题都可以转化为平面图形的问题,从而使学生真正体会到立体与平面的相互转化思想。

又如在解方程组时,通过消元这个手段,把二元一次方程组转化为一元一次方程去解;在解多边形问题时,又是通过添加辅助线这个手段,把多边形的问题转化为三角形的问题加

以解决等等。数学中的有理数和无理数、整式和分式、已知和未知、特殊

和一般、常量和变量、整体和局部等处处都蕴涵着转化这一辩证思想。因

此,在初中数学教学中,应有意识地渗透转化思想。如在学习分式方程时,

不能只简单介绍分式方程的概念和解法,教学时,应让学生充分经历整式

方程与分式方程的观察、比较、分析、探索过程,启发学生说出分式方程

的解题基本思想,学生在经历了充分的探索后,自然认识到:通过把分式方程两边都乘以最简公分母,去掉分母,就可以把分式方程转化为整式方程,学生感悟到分式方程与整式方程概念和解法的实质后,会收到一种居高临下,深入浅出的教学效果。因此,在初中数学教学中,要注重渗透转化思想,可以说转化思想是科学世界观在数学中的体现,是最重要的数学思想之一,不仅可以培养学生的科学意识,而且可以提高学生的观察能力、探索能力和分析解决问题的能力。

(二)渗透数形结合的思想方法,提高学生的数形转化能力和迁移思维的能力

恩格斯曾说过:“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系”。而“数”和“形”是数学中两个最基本的概念。“数”是数量关系的体现,而“形”则是空间形式的体现。它们两者既有对立的一面,又有统一的一面。我们在研究数量关系时,有时要借助于图形直观地去研究,而在研究图形时,又常常借助于线段或角的数量关系去探求。数形结合思想是指将数与图形结合起来解决问题的一种思维方式。数和式是问题的抽象和概括、图形和图像是问题的具体和直观的反映。因此,数和形是研究数学的两个侧面,利用数形结合,常常可以使所要研究的问题化难为易,使复杂问题简单化、抽象问题具体化。正如著名数学家华罗庚所说的那样:“数无形,少直观,形无数,难入微”,这句话阐明了数形结合思想的重要意义。

在初中代数列方程解应用题教学中,很多例题都采用了图示法进行分析,在教学过程中要充分利用图形的直观性和具体性,引导学生从图形上发现数量关系,找出解决问题的突破口,学生掌握了数形结合这一思想要比掌握一个公式或一种具体方法更有价值,对解决问题更具有指导意义。

又如,计算:1+3=?1+3+5=?1+3+5+7=?1+3+5+7+9=?并根据计算结果,探索规律。 在这道题的教学中,首先应让学生思考:从上面这些算式中你能发现什么?让学生经历观察(每个算式和结果的特点)、比较(不同算式之间的异同),归纳(可能具有的规律)、提出猜想的过程。在探索过程中鼓励学生进行相互合作交流,提供如下的帮助:列出一个点阵,用图形的直观来帮助学生进行猜想。这就是典型的把数量关系问题转化到图形中来完成的题型,充分体现了数形结合思想。

再如在讲“圆与圆的位置关系”时,可自制圆形纸板,进行运动实验,让学生首先从形的角度认识圆与圆的位置关系,然后可激发学生积极主动探索:两圆的位置关系反映到数上有何特征?这种借助于形通过数的运算推理研究问题的数形结合思想,在教学中要不失时机地渗透,这样不仅可以提高学生的迁移思维能力,还可以培养学生的数形转换能力和多角度思考问题的习惯。

此外,数学教学中,我们正是借助数形结合的载体——数轴,学习研究了数与点的对应关系,相反数、绝对值的定义,有理数大小比较的法则等,利用数形结合思想大大减少了引进这些概念的难度。数形结合思想的渗透不能简单的通过解题来实现和灌输,应该落实在课堂教学的学习探索过程中,我在讲“相反数”这节课时,首先提出问题:“在上体育课时,体育李老师请小明和小强分别站在李老师的左右两边(三人在同一条直线上),并与李老师相距1米。你能说出小明、小强与李老师的位置关系有什么相同点和不同点吗?如果李老师所站的位置是数轴的原点,你能把小明、小强所站的位置用数轴上的点A、B表示出来吗?它们在数轴上的位置有什么关系?”

让学生动手实践,在数轴上分别确定表示这些数的点。 观察并思考:这些点在位置上有怎样的特征。引导学生归纳总结,形成相反数的概念,在此基础上继续提出问题:若两个数互为相反数,从“数、形”的角度看,它们有什么相同点和不同点呢?学生思考得到:从“数”的角度看:若两个数互为相反数,则只有符号不同。教师强调:只有、两个、互为。从“形”的角度看:相同点是它们到原点的距离相等;不同点是两个点分别在数轴原点的两侧。之后,进一步引导学生观察数轴,是否所有的相反数都成对出现?有特殊的吗?学生通过讨论得出:除0以外,相反数是成对出现的。本节课借助数轴,帮助学生理解相反数的概念,进一步渗透数形结合的思想。教学中,从学生身边的生活实例入手,先从互为相反数的两数在数轴上的特征,即它们分别位于原点的两旁,且与原点距离相等的实例出发,让学生带着问题观察数轴上的点,鼓励学生用自己的语言说出猜想,揭示这两数的几何形象。充分利用计算机课件的直观性帮助学生验证猜想,增强对相反数概念的感性认识,充分利用数轴帮助思考,把一个抽象的相反数的概念,化为直观的几何形象。在这种情况下给出互为相反数的定义:只有符号不同的两个数称互为相反数。特别地规定:0的相反数是0。学生从“数”和“形”两个方面认识相反数概念的本质特征,体会数形结合的思想,显得自然亲切,水到渠成,同时也让学生在数形结合的思想方法的引领下感受到了成功,初步领略和尝试了它的功用,是一个非常好的渗透背景。

在初中学习函数知识的时候,更是借助于函数的图象来探讨函数的知识,这是数形结合思想的最生动的应用。下面以北京市义务教育课程改革实验教材数学第16册第15章第6节“一次函数的性质”的教学为例,谈谈教学中的一些设计与感受。

1.教学背景分析

本节课在学生学习了一次函数的概念、一次函数的解析式、一次函数的图象等知识的基础上,重点研究一次函数的性质。一次函数的学习,给出了研究函数的基本模式,对今后研究反比例函数、二次函数等具有重要的示范作用。一次函数的性质是本章知识的核心内容,尤其是探究一次函数性质的过程,对培养学生的观察力、抽象概括能力以及“数形结合”的意识具有促进作用。因此,我确定了本节课的教学重点是:一次函数的性质。

我所任教的初二年级学生对合作探究学习非常感兴趣,敢于大胆发表自己的见解和看法,

通过完成课前布置的作业,学生已掌握一次函数图象的画法,初步感受到一次函数y=kx+b(k≠0)中k、b对函数图象具有一定的影响,这对于本节课的学习很有帮助,但由于学生识图能力、数形结合意识和抽象归纳能力较弱,因此,我确定了本节课的教学难点是:一次函数性质的探索与应用。

根据数学课程标准中关于“一次函数的性质”的教学要求,和对教材、学生的分析,结合我班学生已有的经验和知识基础,我确定了本节课的教学目标:

(1)理解一次函数y=kx+b(k≠0)的性质(增减性),会用一次函数性质解决简单问题;

(2)经历观察、归纳、探索一次函数性质的过程,体会数形结合的思想方法,提高观察、识图能力;

(3)在合作交流活动中,享受探究发现知识的乐趣,培养学生勇于探索和勤于思考的精神。

2.教学过程的设计

⑴创设情境,导入新课

我用多媒体出示曾经探究过的以地铁5号线为背景的实际问题,得到了路程s(公里)与行驶时间t(小时)之间的函数关系式为:。观察地铁行驶的过程,并结合这个函数的图象,学生很容易发现:距离宋家庄的路程s(公里)随着行驶时

篇三:初中数学思想方法主要有哪些

一、用字母表示数的思想,这是基本的数学思想之一

在代数第一册第一章“代数初步知识”中,主要体现了这种思想。例如: 设甲数为a,乙数为b,用代数式表示:(1)甲乙两数的和的2倍:2(a+b)

(2)甲数的1/3与乙数的1/2差:1/3a-1/2b

二、数形结合的思想

“数形结合”是数学中最重要的,也是最基本的思想方法之一,是解决许多数学问题的有效思想。实中数学教材中下列内容体现了这种思想。

1、数轴上的点与实数的一一对应的关系。

2、平面上的点与有序实数对的一一对应的关系。

3、函数式与图像之间的关系。

4、线段(角)的和、差、倍、分等问题,充分利用数来反映形。

5、解三角形,求角度和边长,引入了三角函数,这是用代数方法解决何问题。

6、“圆”这一章中,贺的定义,点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系等都是化为数量关系来处理的。

7、统计初步中统计的第二种方法是绘制统计图表,用这些图表的反映数据的分情况,发展趋势等。实际上就是通过“形”来反映数据扮布情况,发展趋势等。实际上就是通过“形”来反映数的特征,这是数形结合思想在实际中的直接应用。

三、转化思想

在整个初中数学中,转化(化归)思想一直贯穿其中。转化思想是把一个未知(待解决)的问题化为已解决的或易于解决的问题来解决,它是数学基本思想方法之一。下列内容体现了这种思想:

1、分式方程的求解是分式方程转化为前面学过的一元二次方程求解,这里把待解决的新问题化为已解决的问题来求解,体现了转化思想。

2、解直角三角形;把非直角三形问题化为直角三角形问题;把实际问题转化为数学问题。

3、“圆”这一章中,证明圆周角定理进所做的分析:证明弦切角定理的思路:求两圆的切线长的问题。这些转化都是通过辅助线来完成的。

4、把三角形或多边形中的某种线段或面积问题化为相似比问题来解决。

四、分类思想

集合的分类,有理数的分类、整式的分类、实数的分类、角的分类,三角形的分类、四边形的分类、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系,圆与圆的位置关生活经验等都是通过分类讨论的。

五、特殊与一般化思想

1.“圆”这一章中,证明圆周角定理和弦切角定理时用的是特殊到一般的方法,而相交弦定理及其推论则是一般到特殊的思想运用。

2.“整式乘除”这一章,首先人数和的运算特例中,抽象概括出幂的一般运算性质。乘法公式的推导则是采用一般到特殊的推导过程。

六、类比思想

1. 不等式的性质,一元一次不等式的解法等内容时多采取与等式的性质,一无一次方和的解法等做类比。

2.在二次根式加减的运算中,指出“合并同类二次根式与合并同类项”类似。因此,二次根式的加减可以对比整式的加减进行。

3. “角的度量、角的比较大小、角的和、差及平他线”,可与线段的相关知识进行类比;度、分、秒的运算可与时、分、秒的运算进行类比。

4. 相似多边形的性质和相似三角形的性质类比。

七、数式通性

用数的运算所具有的性质,去控索式的同类运算是否也具有这样的性质,如具有,叫数式通性,整式的乘除这一章中,是由数的性质推知式的性质的;由数的加减推知式的加减的。

八、同类合并思想

这一思想在“整式的加减”这一章中的具体体现是合并同类项。“根式”这一章中的合并同类根式。

九、无限逼近思想

在无限不循环小数以及用有理数逼近表示无理数时,体现了无限逼近的思想。

十、对称变换思想

在 根式乘法、根式除法、√a2 =a(a=0)等内容中,多次运用等价转化、对称变化,反用公式的

初中主要的数学思想方法

初中数学中蕴含的数学思想方法很多,最基本最主要的有:转化的思想方法,数形结合的思想方法,分类讨论的思想方法,函数与方程的思想方法等。

1.对应的思想和方法

在初一代数入门教学中,有代数式求值的计算题,通过计算发现:代数式的值是由代数式里字母的取值所决定的,字母的不同取值可得不同的计算结果。这里字母的取值与代数式的值之间就建立了一种对应关系,再如实数与数轴上的点,有序实数对与坐标平面内的点都存在对应关系……在进行此类教学设计时,应注意渗透对应的思想,这样既有助于培养学生用变化的观点看问题,又助于培养学生的函数观念。

2.数形结合的思想和方法

数形结合思想是指将数(量)与(图)形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思维策略。著名数学家华罗庚先生说:“数与形本是相倚依,怎能分作两边飞,数缺形时少直觉,形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休。”这充分说明了数形结合思想在数学研究和数学应用中的重要性。

3.整体的思想和方法

整体思想就是考虑数学问题时,不是着眼于它的局部特征,而是把注意和和着眼点放在问题的整体结构上,通过对其全面深刻的观察,从宏观整体上认识问题的实质,把一些彼此独立但实质上又相互紧密联系着的量作为整体来处理的思想方法。整体思想在处理数学问题时,有广泛的应用。

4.分类的思想和方法

教材中进行分类的实例比较多,如有理数、实数、三角形、四边形等分类的教学不仅可以使学生明确分类的重要性:一是使有关的概念系统化、完整化;二是使被分概念的外延更清楚、更深刻、更具体,并且还能使学生掌握分数的要点方法:(1)分类是按一定的标准进行的,分类的标准不同,分类的结果也不相同;

(2)要注意分类的结果既无遗漏,也不能交叉重复;

(3)分类要逐级逐次地进行,不能越级化分。

5.类比联想的思想和方法

数学教学设计在考虑某些问题时常根据事物间的相似点提出假设和猜想,从而把已知事物的属性类比推广到类似的新事物中去,促进发现新结论。教学中由于提供了思维发生的背景材料,既活跃了课堂气氛,又有利于在和谐、轻松的氛围中完成新知识的学习。

6.逆向思维的方法

所谓逆向思维就是把问题倒过来或从问题的反面思考或逆用某些数学公式、法则解决问题。加强逆向思维的训练,可以培养学生思维的灵活性和发散性,使学生掌握的数学知识得到有效的迁移。

7.化归与转化的思想和方法

化归意识是指在解决问题的过程中,对问题进行转化,使之成为简单、熟知问题的基本解题模式,它是使一种数学对象在一定条件下转化为另一种数学对象的思想和方法。其核心就是将有等解决的问题转化为已有明确解决程序的问题,以便利用已有的理论、技术来加以处理,从而培养学生用联系的、发展的、运动变化的观点观察事物、认识问题。

所谓数学思想方法是对数学知识的本质认识,是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点,他在认识活动中被反复运用,带有普遍的指导意义,是建立数学和用数学解决问题的指导思想;是在数学地提出问题、解决问题(包括数学内部问题和实际问题)过程中,所采用的各种方式、手段、途径等。初中数学中常用的数学思想方法有:化归思想方法、分类思想方法、数形结合的思想方法、函数思想方法、方程思想方法、模型思想方法、

统计思想方法、用字母代替数的思想方法、运动变换的思想方法等。

初中数学思想方法主要有哪些

根据“大纲??精神,初中数学的基本思想主要指转化、分类、数形结合等,基本方法主要指待定系数法、消儿法、配方法、换元法、图象法等由于数学方法在教材中大都有具体陈述,而数学思想却是隐含在知识系统之中.这为强化数学思想方法带来了一定困难_为此.下面谈谈转化、分类讨论、数形结合等在初中数学中的表现「〕1.转化思想所谓转化思想是指一种研究对象在一定条件下转化为另一种研究对象的思维方式转化思想是数学思想方法的核心,其它数学思想方法都是转化的手段或策略)初中数学中运用转化思想具体表现在以下三个方面:(l)把新问题转化为原来研究过的问题如有理数减法转化为加法,除法转化为乘法等(助把复杂的问题转化为简单的问题(,新问题用已有的方法不能或难以解决时,建立新的研究方式如引进负数,建立数轴;变利用逆运算的性质解方程为利用等式的性质解方程,等等。?2.分类讨论思想所谓分类讨论是指对于复杂的对象,为了研究的需要.根据对象本质属性的相同点和差异性,将对象区分为不同种类,通过研究各类对象的性质,从而认识整体的性质的思想方式。在分类讨论中要注意标准的同一性.即划分始终是同一个标准、这个标准必须是科学合理的;分域的互斥性.即所分成的各类既要互不包含.义要使各类总和等于讨论的全集;分域的逐级性,有的问题分类后还可在每,类中丙继续分类。运用分类讨论思想指导数学教学,有利于学生归纳、总结所学的数学知识,使之系统化、条理化.并逐步形成一个完整的知识结构网络,这有利于学生严密、清晰、合理地探索解题思路,提高数学思维能力。在初中数学中需要分类讨沦的问题主要表现个方

而:(扮有的数学概念、定理的论证包含多种情况.这类问题需要分类讨论。如平面儿何中二角形的分类、四边形的分类、角的分类、圆周角定理、圆幂定理、弦切角定理等的证明,都涉及到分类i寸论(约解含字毋参数或绝对值符号的为一程、不等式、讨论算术根、正比例和反比例的数中二次项系数、,与图象的开l:]方向等,由于这些参数的取位不同或要去掉绝对值符号就有不同的结果.这类问题需要分类讨论

(3)有的数学问题.虽结论惟一但导致这结论的前提不尽相同.这类问题也要分类讨论3一效形结合思想所谓数形结合是指抽象的数学语言与形象直观的图形结合起来.从而实现由抽象向具体转化的一种思维方式。著名数学家华罗庚说过:“数缺形时不直观,形少数时难人微”有些数最关系.借助于图形的性质,可以使许多抽象的概念和复杂的关系直观化、形象化、简单化,而图形的一些性质.借助于数量的计算和分析.得以严谨化。在初中阶段,数形结合的“形”可以是数轴、函数的图象和几何图形等等.它们都具有形象化的特点数形结合思想在初中数学中主要表现在以下两个方面;(l)以形助数,帮助学生深刻理解数学概念如教师可以用数轴上点和实数之间的对应关系来讲清相反数、绝对值的概念以及比较两个数大小的方法;运用函数图象的性质讨沦一元三次方程的根以及讨论一7乙一次小等式等等(2)以数助形,帮助学生简化解题方法。初中数学中还渗透了类比、归纳、联想等数学思想方法这些思想力一法之间,是相互渗透、互相促进的,在数

黄石)


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