解析几何第四版答案

篇一：解析几何第四版吕林根课后习题答案第三章

第三章平面与空间直线

3.1平面的方程

1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程：

（1）通过点M1(3,1,?1)和点M2(1,?1,0)且平行于矢量{?1,0,2}的平面（2）通过点

M1(1,?5,1)和M2(3,2,?2)且垂直于xoy坐标面的平面；

（3）已知四点A(5,1,3)，B(1,6,2)，C(5,0,4)D(4,0,6)。求通过直线AB且平行于直线CD的平面，并求通过直线AB且与?ABC平面垂直的平面。

解： （1）? M1M2?{?2,?2,1}，又矢量{?1,0,2}平行于所求平面， 故所求的平面方程为：

?x?3?2u?v

?

?y?1?2u

?z??1?u?2v?

一般方程为：4x?3y?2z?7?0

（2）由于平面垂直于xoy面，所以它平行于z轴，即{0,0,1}与所求的平面平行，又

M1M2?{2,7,?3}，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为：

?x?1?2u?

?y??5?7u ?z?1?3u?v?

一般方程为：7(x?1)?2(y?5)?0，即7x?2y?17?0。 （3）（ⅰ）设平面?通过直线AB，且平行于直线CD： ?{?4,5,?1}，?{?1,0,2} 从而?的参数方程为：

?x?5?4u?v

?

?y?1?5u

?z?3?u?2v?

一般方程为：10x?9y?5z?74?0。

（ⅱ）设平面??通过直线AB，且垂直于?ABC所在的平面

? ?{?4,5,?1}， ??{?4,5,?1}?{0,?1,1}?{4,4,4}?4{1,1,1}

均与??平行，所以??的参数式方程为：

?x?5?4u?v?

?y?1?5u?v ?z?3?u?v?

一般方程为：2x?y?3z?2?0.

2.化一般方程为截距式与参数式： ?:x?2y?z?4?0. 解：

?与三个坐标轴的交点为：(?4,0,0),(0?2,0),(0,0,4)，

xyz???1. ?4?24

所以，它的截距式方程为：

又与所给平面方程平行的矢量为：{4,?2,0},{4,0,4}，

? 所求平面的参数式方程为：

?x??4?2u?v?

?y??u

?z?v?

3.证明矢量v?{X,Y,Z}平行与平面Ax?By?Cz?D?0的充要条件为：

AX?BY?CZ?0. 证明： 不妨设A?0，

则平面Ax?By?Cz?D?0的参数式方程为：

DBC?x???u?v?AAA?

?y?u

?z?v??

BC

故其方位矢量为：{?,1,0},{?,0,1}，

AA

从而平行于平面Ax?By?Cz?D?0的充要条件为：

v，{?

BC

,1,0},{?,0,1}共面? AA

XYB?1AC?0A

? AX?BY?CZ?0.

Z0?0 1

4. 已知连接两点A(3,10,?5),B(0,12,z)的线段平行于平面7x?4y?z?1?0，求B点的z坐标.

解： ??{?3,2,5?z} 而AB平行于7x?4y?z?1?0 由题3知：(?3)?7?2?4?(z?5)?0 从而z?18.

5. 求下列平面的一般方程.

⑴通过点?1?2,?1,1?和?2?3,?2,1?且分别平行于三坐标轴的三个平面; ⑵过点??3,2,?4?且在x轴和y轴上截距分别为?2和?3的平面; ⑶与平面5x?y?2z?3?0垂直且分别通过三个坐标轴的三个平面; ⑷已知两点?1?3,?1,2?,?2?4,?2,?1?,求通过?1且垂直于?1,?2的平面; ⑸原点?在所求平面上的正射影为??2,9,?6?;

⑹求过点?1?3,?5,1?和?2?4,1,2?且垂直于平面x?8y?3z?1?0的平面.

x?2

解:平行于x轴的平面方程为

y?1z?1?10

00

?0.即z?1?0.

11

同理可知平行于y轴,z轴的平面的方程分别为z?1?0,x?y?1?0. ⑵设该平面的截距式方程为

xyz24???1,把点??3,2,?4?代入得c?? ?2?3c19

故一般方程为12x?8y?19z?24?0.

⑶若所求平面经过x轴，则?0,0,0?为平面内一个点,

?5,1,?2?和?1,0,0?为所求平面的方位矢量,

x?0

∴点法式方程为

y?0z?010

?2?0 0

51

∴一般方程为2y?z?0.

同理经过y轴,z轴的平面的一般方程分别为2x?5z?0,x?5y?0.

1,?1,?3?.?1?2垂直于平面?, ⑷?1?2??

1,?1,?3?,平面?通过点?1?3,?1,2?, ∴该平面的法向量n??

因此平面?的点位式方程为?x?3???y?1??3?z?2??0. 化简得x?y?3z?2?0.

?

?

. (5) op??2,9,?6?

p?op?

?

?

?

4?81?36?11.

op?p?n0?11?cos?,cos?,cos????2,9,?6?. 296,cos??,cos???. 111111

296

y?z?11?0. 则该平面的法式方程为:x?

111111

∴ cos??

既 2x?9y?6z?121?0.

1,?8,3?，M1M2??（6）平面x?8y?3z?1?0的法向量为n??1,6,1?，点从?4,1,2?

?

x?4

写出平面的点位式方程为

y?1z?2?8

6

31

11

?83

?0，则A???26,

61

B?

313

?2,C??14,D??26?4?2?28??74， 111

则一般方程Ax?By?Cz?D?0,即：13x?y?7z?37?0. 6．将下列平面的一般方程化为法式方程。

?1?.x?2y?5z?3?0.?2?x?y?1?0.?3?x?2?0.?4?4x?4y?7z?0.

解：?D??3.

???

1A?B?C

2

2

2

?

1

?将已知的一般方程乘上??

1.得法式方程

x?

2y?

5z?1

3?0.

?2??D?1.????

?12x?

12y?

12

12

.?将已知的一般方程乘上???

2

.得法式方程

?0.

?3?.?D?2.????1.?将已知的一般方程乘上???1.得法式方程?x?2?0. ?4?.?D?0.????1.即??1或???1

9

9

9

将已知的一般方程乘上??

11447

或???.得法式方程为x?y?z?0或99999

?

447

x?y?z?0. 999

7．求自坐标原点自以下各平面所引垂线的长和指向平面的单位法矢量的方向余弦。

?1?.2x?3y?6z?35?0.?2?.x?2y?2z?21?0.

解：?1?.D??35.??

1236

.化为法式方程为x?y?z?5?0原点指向平面?的单位法7777

236

,cos??,cos??.原点o到平面?777

矢量为u??,,?,它的方向余弦为cos??的距离为P???D?5.

?236?

?777?

?2?.D?21.???1.化为法式方程为-?1x?2y?2z?7?0原点指向平面?的单位法

3

3

3

3

矢量为n???

122?122?

,,??,它的方向余弦为cos???,cos??,cos???.原点o到

333?333?

平面?的距离p???D?7.第20页

8．已知三角形顶点A?0,?7,0?,B?2,?1,1?,C?2,2,2?.求平行于?ABC所在的平面且与她相距为2各单位的平面方程。

????????????

解：设AB?a,AC?b.点A?0,?7,0?.则a??2,6,1?,b??2,9,2?写出平面的点位式方程

篇二：解析几何第四版吕林根课后习题答案第四章

第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面

4.1柱面

1、已知柱面的准线为：

?(x?1)2?(y?3)2?(z?2)2?25 ??x?y?z?2?0

且（1）母线平行于x轴；（2）母线平行于直线x?y,z?c，试求这些柱面的方程。 解：（1）从方程

?(x?1)2?(y?3)2?(z?2)2?25 ??x?y?z?2?0

中消去x，得到：(z?y?3)2?(y?3)2?(z?2)2?25 22即：y?z?yz?6y?5z?3?0 2

此即为要求的柱面方程。

?x?y（2）取准线上一点M0(x0,y0,z0)，过M0且平行于直线?的直线方程为： z?c?

?x?x0?t??y?y0?t

?z?z0?

而M0在准线上，所以 ??x0?x?t??y0?y?t ?z?z?0

?(x?t?1)2?(y?t?3)2?(z?2)2?25 ??x?y?z?2t?2?0

上式中消去t后得到：x2?y2?3z2?2xy?8x?8y?8z?26?0

此即为要求的柱面方程。

?x?y2?z2

2、设柱面的准线为?，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。 x?2z?

1,0,?2? 解：由题意知：母线平行于矢量?

任取准线上一点M0(x0,y0,z0)，过M0的母线方程为：

?x?x0?t??y?y0?z?z?2t0???x0?x?t? ?y0?y?z?z?2t?0

而M0在准线上，所以：

?x?t?y2?(z?2t)2

??x?t?2(z?2t)

消去t，得到：4x2?25y2?z2?4xz?20x?10z?0

此即为所求的方程。

3、求过三条平行直线x?y?z,x?1?y?z?1,与x?1?y?1?z?2的圆柱面方程。 解：过原点且垂直于已知三直线的平面为x?y?z?0：它与已知直线的交点为?0,0,0?,(?1,0,1),(1,?1,4)，这三点所定的在平面x?y?z?0上的圆的圆心为333

M0(?21113,?,)，圆的方程为： 151515

2211213298??(x?)?(y?)?(z?)?15151575 ???x?y?z?0

此即为欲求的圆柱面的准线。

1,1,1?的直线方程为： 又过准线上一点M1(x1,y1,z1)，且方向为?

?x?x1?t??y?y1?t

?z?z?t1?

将此式代入准线方程，并消去t得到： ??x1?x?t??y1?y?t ?z?z?t?1

5(x2?y2?z2?xy?yz?zx)?2x?11y?13z?0

此即为所求的圆柱面的方程。

4、已知柱面的准线为(u??x(u),y(u),z(u)?，母线的方向平行于矢量??X,Y,Z?，试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为：

x?Y(u)?vS

与

?x?x(u)?Xv??y?y(u)?Yv

?z?z(u)?Zv?

式中的u,v为参数。

证明：对柱面上任一点M(x,y,z)，过M的母线与准线交于点M?(x(u),y(u),z(u))，则，

M?M?vS 即?OM?v 亦即Y?Y(u)?vS，Y?Y(u)?vS

此即为柱面的矢量式参数方程。

又若将上述方程用分量表达，即：

?x,y,z???x(u),y(u),z(u)??v?X,Y,Z?

?x?x(u)?Xv???y?y(u)?Yv

?z?z(u)?Zv?

此即为柱面的坐标式参数方程。

4.2锥面

1、求顶点在原点，准线为x2?2z?1?0,y?z?1?0的锥面方程。

解：设为锥面上任一点M(x,y,z)，过M与O的直线为：

XYZ?? xyz

设其与准线交于(X0,Y0,Z0)，即存在t，使X0?xt,Y0?yt,Z0?zt，将它们代入准线方程，并消去参数t，得：

x2?2z(z?y)?(z?y)2?0

即：x2?y2?z2?0

此为所要求的锥面方程。

2、已知锥面的顶点为(3,?1,?2)，准线为x2?y2?z2?1,x?y?z?0，试求它的方程。 解：设M(x,y,z)为要求的锥面上任一点，它与顶点的连线为：

X?3Y?1Z?2?? x?3y?1z?2

令它与准线交于(X0,Y0,Z0)，即存在t，使

?X0?3?(x?3)t??Y0??1?(y?!)t

?Z??2?(z?2)t?0

将它们代入准线方程，并消去t得：

3x2?5y2?7z2?6xy?2yz?10xz?4x?4y?4z?4?0

此为要求的锥面方程。

4、求以三坐标轴为母线的圆锥面的方程。

解：（这里仅求Ⅰ、Ⅶ卦限内的圆锥面，其余类推）

?圆锥的轴l与i,j,k等角，故l的方向数为1:1:1

?与l垂直的平面之一令为x?y?z?1

平面x?y?z?1在所求的锥面的交线为一圆，该圆上已知三点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)，该圆的圆心为(,111,)，故该圆的方程为： 333

12121222??(x?)?(y?)?(z?)?()3333 ???x?y?z?1

它即为要求圆锥面的准线。

对锥面上任一点M(x,y,z)，过M与顶点O的母线为：

XYZ?? xyz

令它与准线的交点为(X0,Y0,Z0)，即存在t，使X0?xt,Y0?yt,Z0?zt，将它们代入准线方程，并消去t得：

xy?yz?zx?0

此即为要求的圆锥面的方程。

5、求顶点为(1,2,4)，轴与平面2x?2y?z?0垂直，且经过点(3,2,1)的圆锥面的方程。 解：轴线的方程为：x?1y?2z?4?? 221

过点(3,2,1)且垂直于轴的平面为：

2(x?3)?2(y?2)?(z?1)?0

即： 2x?2y?z?11?0

该平面与轴的交点为(112037,,)，它与(3,2,1)的距离为： 999

112037 d?(?3)2?(?2)2?(?1)2?9993

?要求圆锥面的准线为：

112202372116?(x?)?(y?)?(z?)??9999 ???2x?2y?z?11?0

对锥面上任一点M(x,y,z)，过该点与顶点的母线为：

X?1Y?2Z?4?? x?1y?2z?4

令它与准线的交点为(X0,Y0,Z0)，即存在t，使X0?1?(x?1)t,Y0?2?(y?2)t, Z0?4?(z?4)t

将它们代入准线方程，并消去t得：

51x2?51y?12z2?104xy?52yz?52zx?518x?516y?252z?1299?0

6、已知锥面的准线为(u??x(u),y(u),z(u)?，顶点A决定的径矢为0??x0,y0,z0?，试证明锥面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为：

??????????v?(u)?(1?v)?0

与 ?

?x?vx(u)?(1?v)x0??y?vy(u)?(1?v)y0

?z?vz(u)?(1?v)z0?

式中，u,v为参数。

??????证明：对锥面上任一点M(x,y,z)，令OM??，它与顶点A的连线交准线于

??????????，即M??(x(u),y(u),z(u)OM???(u)。

??????????????????AM//AM?，且AM??0（顶点不在准线上）

????????????AM?vAM?

????????????即???0?v(?(u)??0)

????????亦即??v?(u)?(1?v)?0 ?

篇三：解析几何第四版吕林根课后习题答案第一章

第一章 矢量与坐标

1.1 矢量的概念

1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？

（1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；

（2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点；

（3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；

（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点.

[解]：（1）单位球面；（2）单位圆

（3）直线； （4）相距为2的两点 2. 设点O是正六边形ABCDEF的中心， 在矢量、、 、、、

、、、、 、 和中，哪些矢量是相等的？

[解]：如图1-1，在正六边形ABCDEF中，

相等的矢量对是： C 图 1-1

和和和和.

3. 设在平面上给了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、

ＤＡ的中点，求证：KL＝. 当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？

[证明]：如图1-2，连结AC, 则在?BAC中，

中，

1AC. KL与方向相同；在?DAC21AC. 与方向相同，从而2

KL＝NM且KL与方向相同，所以KL＝

.

4. 如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面

体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互

为相反矢量的矢量：

; (2) 、; (3) 、(1) 、

;

(4)

、; (5) 、.

[解]：相等的矢量对是（2）、（3）和（5）；

互为反矢量的矢量对是（1）和（4）。

1.2矢量的加法

1.要使下列各式成立，矢量,应满足什么条件？

（1??? （2???

（3??? （4???

（5

?

[解]：（1）,

???；

（2）,

???

（3

?且,

???

（4）,

???

（5）,

?

???

1.3数量乘矢量

1 试解下列各题．

⑴ 化简(x?y)?(a?b)?(x?y)?(a?b)．

⑵ 已知a?e1?2e2?e3，b?3e1?2e2?2e3，求a?b，a?b和3a?2b．

???????3x?4y?a⑶ 从矢量方程组??，解出矢量x，y． ????2x?3y?b??????????????????

解 ⑴

(x?y)?(a?b)?(x?y)?(a?b)?xa?xb?ya?yb?xa?xb?ya?yb?2xb?2ya⑵ a?b?e1?2e2?e3?3e1?2e2?2e3?4e1?e3，

a?b?e1?2e2?e3?(3e1?2e2?2e3)??2e1?4e2?3e3，

3a?2b?3(e1?2e2?e3)?2(3e1?2e2?2e3)??3e1?10e2?7e3．

2 已知四边形ABCD中，AB?a?2c，CD?5a?6b?8c，对角线AC、BD的中点分别为E、F，求EF．

???1?1?1???1??

解 EF?CD?AB?(5a?6b?8c)?(a?2c)?3a?3b?5c． 2222?????????????????????????????????????????????????????????

3 设AB?a?5b，BC??2a?8b，CD?3(a?b)，证明：A、B、D三点共线．证明 ∵BD?BC?CD??2a?8b?3(a?b)?a?5b?AB

∴AB与BD共线，又∵B为公共点，从而A、B、D三点共线．

4 在四边形ABCD中，AB?a?2b，BC??4a?b，CD??5a?3b，证明ABCD为梯形． ??????????????????????????????

证明∵AD?AB?BC?CD?(a?2b)?(?4a?b)?(5a?3b)?2(?4a?b)?2BC ∴AD∥BC，∴ABCD为梯形．

6. 设L、M、N分别是ΔABC的三边BC、CA、AB的中点，证明：三中线矢量, , ???????????????可 以构成一个三角形.

[证明]：??1(?) 2

1 ?(?) 2

1 ?(?) 2

1????(?????)?0 2

从而三中线矢量,,构成一个三角形。

OA?OB+OC=OL++. 7. 设L、M、N是△ABC的三边的中点，O是任意一点，证明

[证明] ???

??

??

???????(??)

=???(??

由上题结论知：???0

??????

8. 如图1-5，设M是平行四边形ABCD的中心，O是任意一点，证明

OA+OB+OC+＝4.

[证明]：因为＝1(OA+OC), ＝2

1(OB+), 2所以 2＝

1(OA+OB++) 2所以

OA+OB+OC+＝4.

9 在平行六面体ABCDEFG（参看第一节第4题图）中，证明图1-5 AC?AF?AH?2AG．

证明 AC?AF?AH?AC?AF?AD?DH?AC?AF?FG?CG?2AG．

????????????????

10. 用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半．证明 已知梯形ABCD，两腰中点分别为M、N，连接AN、BN．

MN?MA?AN?MA?AD?DN，

MN?MB?BN?MB?BC?CN，∴ MN?AD?BC，即 ???1?1?

MN?(AD?BC) ，故MN平行且等于(AD?BC)． 22????????????????

11. 用矢量法证明，平行四边行的对角线互相平分.

[证明]：如图1-4，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点

?????但 ?

???

????由于(?)∥,(?)∥,而不平行于，

?????0，

从而OA=OC，OB=OD。

12. 设点O是平面上正多边形A1A2…An的中心，证明:

[证明]：因为 ?OA1+OA2+…+OAn＝0.

OA1＋OA3＝?OA2,

OA2＋OA4＝?OA3,

……

n?1+1＝?n,

n＋2＝?1,

所以2(OA1+OA2+…+OAn)

＝?(OA1+OA2+…+OAn), ?所以(?－2)(OA1+OA2+…+OAn)＝0.

显然 ?≠2, 即 ?－2≠0. ?所以 1+2+…+n＝0.

13．在12题的条件下，设P是任意点，证明：PA1?PA2???PAn?n

证明：?OA1?OA2???OAn?

?1??PA2????PAn?? ???

即 PA1?PA2???PAn?n

1.4 矢量的线性关系与矢量的分解

1．在平行四边形ABCD中，

（1）设对角线?,?,求,,,. 解：??1111?,??,??,???．设边BC和CD的????2222

（2）中点M和N，且AM?P,AN?q求BC,CD。 解：?1

2??,?2?2??1?

?2???????3

?2?2???2???11?

?2??2????

2．在平行六面体ABCD-EFGH中，设?e1,?e2,?e3,三个 面上对角线矢量设为?,?,?,试把矢量??????写成的线性组合。 证明：??e2?e1,??e3?e2，

??e3?e1，

??????

??????e1?????e2?????e3

3. 设一直线上三点A, B, P满足AP＝?(??－1),O是空间任意一点，求证：

OP＝??1??

[证明]：如图1-7，因为

＝－OA,

＝OB－,

所以 －OA＝? (OB－),

(1+?)＝+?, 从而 OP＝??OB

1??.

4. 在?ABC中,设AB?e1,AC?

e2. e1,e2,e3

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