篇一：数值分析试卷及答案
二
1 求A的LU分解，并利用分解结果求
解 由紧凑格式
故
从而
故
2 求证：非奇异矩阵不一定有LU分解 证明 设
非奇异，要说明A不一定能做LU分解，只需举出一个反例即可。现考
虑矩阵，显然A为非奇异矩阵。若A有LU分解，则
故
，而
，显然不能同时成立。这矛盾说明A不能做LU分解，故只假定
阶顺序主子式
A非奇异并不能保证A能做LU分解，只有在A的前
时才能保证A一定有LU分解。
3 用追赶法求解如下的三对角方程组
解 设有分解
由公式
其中
分别是系数矩阵的主对角线元素及其下边和上边的次对角线元素，故有
从而有
故 ，，，
故
，，，
4 设A是任一阶对称正定矩阵，证明是一种向量范数
证明 （1）因A正定对称，故当
（2）对任何实数
，有
时，，而当时，
（3）因A正定，故有分解
，则
故对任意向量
和
，总有
综上可知，是一种向量范数。
5 设
（1）计算条件数（2）若近似解
，
；
，已知方程组的精确解为
，计算剩余；
（3）利用事后误差估计式计算不等式右端，并与不等式左边比较，此结果说明了什么？
解 （1）
（2）
（3）由事后误差估计式，右端为
而左端
这表明当A为病态矩阵时，尽管剩余用
很小，误差估计仍然较大。因此，当A病态时，
大小作为检验解的准确度是不可靠的。
6 矩阵第一行乘以一数成为证明 设
，则
，证明当时，有最小值
又
故
从而当时，即时，有最小值，且
7 讨论用雅可比法和高斯-赛德尔法解方程组时的收敛性。如果收敛，比较哪一种方
法收敛较快，其中
解 对雅可比方法，迭代矩阵
故雅可比法收敛。
对高斯-赛德尔法，迭代矩阵
，
，故高斯-赛德尔法收敛。
因=故高斯-赛德尔法较雅可比法收敛快。
8 设，求解方程组，求雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法收敛
的充要条件。
解 雅可比法的迭代矩阵
，
故雅可比法收敛的充要条件是高斯-赛德尔法的迭代矩阵
。
，
篇二：数值分析试卷及其答案7
1. 为了使20的近似值的相对误差限小于0.1%，要取几位有效数字？（5分） 解、解：设20有n位有效数字，由
1
1
20?4.4?，知a1?4
*?(n?1)?(n?1)?(20)??10??10?0.1% 令 r
2a18,
*?3
取n?4, ?r(20)?0.125?10?0.1%
故 2 设方程
20?4.472
的迭代法为
证明对,均有,其中，对
为方程的根.（5分） 有
证明：迭代函数
，
100101
??span1,x,??spanx,x????，分别在?1、?2上求一元素，使其为123设
x2?C[0,1]的最佳平方逼近，并比较其结果。（10分）
**
(1)设?1*?a0?a1x
1
1因(?0,?0)??1dx?1,(?0,?1)??xdx?,
002111
(?1,?1)??x2dx?,(?1,?0)?,
0321111
(f,?0)??x2?1dx?,(f,?1)??x2?xdx?,
0034
?*1*1
1a0?a1??*
?a??1??23*????0??(x)???x61
6*?1a*?1a*?1?a?1?101
?34?2
12
?12?f
22
*
?a(f,?k)?0.00556?k2
k?0
1
5分
**100
(2)设?2(x)?b0x?b1*x101
111
,(?0,?1)?(?1,?0)??x100?x101dx?,
00201202111111
(?1,?1)??(x101)2dx?,(f,?0)??x102dx?,(f,?1)??x103dx?.
000203103104
1*1?1*
b?b?*??b0?375.24253?20102021103
????*
111*?b1??375.14825?b0?b1*??203104?202*
??2(x)?375.24253x100?375.14825x101.
(?0,?0)??(x100)2dx?
1
22?f（4分）
22
*4
?b(f,?)?x?kk?dx?[375.24253?2
k?0
1
1
11
?375.14825?]?0.16406103104
由结果知（1）比（2）好。（比较1分）
?1?11??x1???4?
4、用列主元素消元法求解方程组?5?43??x2????12?.（10）
????????211????x3????11???1?11?4??5?43?12?r?r1?2??1?11解：解：?5?43?12?????4?
???????21111???21111??
?5?1
r2?r1?5??????02
r3?r1?
?05
???5?1
r3?r2?13??????0
??0??
??12?
??5
128?r2?r3??????????0555??13179??0?
?555????4
3?413
5
?12?
?
179???55?55
??
? （8分） 1313?3
?
?12?
13179?
??555?128???555?? ?4
3
回代得 x3??1,x2?6,x1?3。（2分） 5、对线性代数方程组 （10）
?2x1?x2?x4?1?x?x?5x?6?134?
?x2?4x3?x4?8???x1?3x2?x3?3
设法导出使雅可比（Jacobi）迭代法和高斯－赛德尔（G-S）迭代法均收敛的迭
代格式，要求分别写出迭代格式，并说明收敛的理由。 解：
?2?101?10?15
[A|b]??
?014?1?
??13?10
1??19?7?11010?
??13?103?6?r2?r4
????????r1?10?r2
?014?18?8?
???3??10?156?
因其变换后为等价方程组，且严格对角占优，故雅可比和高斯－赛德尔迭代法均
收敛。（5分） 雅可比迭代格式为：
?(m?1)1(m)(m)m
?(7x2?x3?10x4?10)?x1
19
?
?x(m?1)?1(x(m)?x(m)?3)
13
?23
(m?0,1,2,?)?
?x(m?1)?1(?x(m)?x(m)?8)
24
?34?1(m?1)(m)?x4?(?x1(m)?x3?6)?5?（2分）
高斯－赛德尔代格式为：
?(m?1)1(m)(m)mx?(7x?x?10x234?10)?1
19
?
?x(m?1)?1(x(m?1)?x(m)?3)
13
?23
(m?0,1,2,?)?
?x(m?1)?1(?x(m?1)?x(m)?8)
24
?34?1(m?1)(m?1)?x4?(?x1(m?1)?x3?6)?5?（3分）
6、、取节点x0?0,x1?0.5,x2?1,求函数f(x)?e?x在区间[0,1]上的二次插值多项
式P2(x),并估计误差。（8分）
解：P?0
(x?0.5)(x?1)?0.5(x?0)(x?2(x)?e?
(0?0.5)(0?1)?e?1)
(0.5?0)(0.5?1)
?e?1?
(x?0)(x?0.5)
(1?0)(1?0.5)
?2(x?0.5)(x?1)?4e?0.5x(x?1)?2e?1x(x?0.5)
又 f(x)?e?x,f???(x)??e?x
,M3?x
max?[0,1]
|f???(x)|?1 5
分
故截断误差 |R|?|e?x
2(x)?P1
2(x)|?
3!
|x(x?0.5)(x?1)|。 3分
用幂法求矩阵A??9937、??
?330.9??
按模最大的特征值及相应的特征向量，x0?(1,1)T，精确至7位有效数字。（10） ??yk?Axk?1
解：幂法公式为?mk?maxy(?993??k)?xk
?y，A??330.9? k/mk??取x0=(1,1)T，列表如下：
因为|m4?m3|?
1
2
?10?5，所以 ?1?99.99900098,v1?(1,0.33300033)T
8、用欧拉方法求
y(x)??x?t2
e
dt
在点x?0.5,1.0,1.5,2.0处的近似值。 （8分）
取
解：y(x)?
?0e
x?t2
dt等价于
2
??y??e?x???y(0)?0 (x?0)（2分）
记f(x,y)?e
?x2
,取h?0.5,x0?0,x1?0.5,x2?1.0,x3?1.5,x4?2.0.
则由欧拉公式
?yn?1?yn?hf(xn,yn)? n?0,1,2,32分 y?0?0,
可得y(0.5)?y1?0.5,
y(1.0)?y2?0.8894, 0
y(1.5)?y3?1.07334,y(2.0)?y4?1.12604 4分
?400???
9、已知 A=?011?，求A1，?，||A||2 10分
?0?10???
解：||A||1?4,||A||??4， （4分）
?400??400??1600?ATA??01?1??011???021?
????????010????0?10????011??，
??
|ATA??E|?
00
2??1?(16??)(?2?3??1)?011??
得 ??
3?5
,16所以 ||A||2?4。（6分） 2，
1x
10、、n=3,用复合梯形公式求
?0e
（5dx的近似值（取四位小数）,并求误差估计。
分）
解：?edx?T3?
01x
1?00
[e?2(e3?e2)?e1]?1.73422?3
f(x)?ex,f??(x)?ex，0?x?1时，|f??(x)|?e 3分
|R|?|ex?T3|?
ee
??0.025??0.052
10812?3
篇三：数值分析试题及答案
一、单项选择题（每小题3分，共15分）
1. 3.142和3.141分别作为?的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A．4和3 B．3和2 C．3和4 D．4和4
?
2
dx
?
1
2. 已知求积公式
1
f
?x?6f?1??Af(21
3)?6f(2)，则A＝（ ）
1112
A． 6 B．3C．2 D．3
3. 通过点
?x0,y0?,?x1,y1?的拉格朗日插值基函数l0?x?,l1?x?满足（ ）
A．
l0?x0?
＝0，
l1?x1??0
B．
l0?x0?
＝0，
l1?x1??1
C．
l0?x0?
＝1，
l1?x1??1
D．
l0?x0?
＝1，
l1?x1??1
4. 设求方程
f?x??0
的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。
A．超线性 B．平方 C．线性 D．三次
?x?
1?2x2?x3?0
?2x1?2x2?3x3?35. 用列主元消元法解线性方程组???x1?3x2
?2
作第一次消元后得到的第3个方程（ A．
?x2?x3?2
B．
?2x2?1.5x3?3.5
C．
?2x2?x3?3
D．
x2?0.5x3??1.5
单项选择题答案
1.A 2.D 3.D 4.C 5.B
二、填空题（每小题3分，共15分）
.）
1. 设X?(2,3,?4), 则||X||1?，||X||2?2. 一阶均差
f?x0,x1??
T
C0
x
?3?
3. 已知n?3时，科茨系数4. 因为方程内有根。
?
18
,C1
?3?
?C2
?3?
?
38，那么
C3
?3?
?
f?x??0
f?x??x?4?2?0
在区间?
1,2?
上满足 ，所以在区间
5. 取步长h?0.1，用欧拉法解初值问题
y??y??y?2
x?
?y?1??1?
的计算公式 .
填空题答案
1
三、计算题（每题15分，共60分）
y?
1?x的一组数据：
2
1. 已知函数
求分
f?1.5?
段线性插值函数，并计算
的近似值.
计算题1.答案
所以分段线性插值函数为
??1?0.5xx??0,1?%L?x?????0.8?0.3xx??1,2?
%?1.5??0.8?0.3?1.5?0.35L
?10x1?x2?2x3?7.2?
??x1?10x2?2x3?8.3??x?x?5x?4.2
23
2. 已知线性方程组?1
（1） 写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；
X
?0?
（2） 对于初始值
式分别计算X
计算题2.答案
??0,0,0?
，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公
?1?
（保留小数点后五位数字）.
1.解 原方程组同解变形为
?x1?0.1x2?0.2x3?0.72?
?x2?0.1x1?0.2x3?0.83?x?0.2x?0.2x?0.84
12?3
雅可比迭代公式为
?m??m?
?x1?m?1??0.1x2?0.2x3?0.72???m?1??m??m?
?0.1x1?0.2x3?0.83?x2
??m?1??m??m?x?0.2x?0.2x?0.84(m?0,1...)12??3
高斯－塞德尔迭代法公式
?m??m?
?x1?m?1??0.1x2?0.2x3?0.72???m?1??m?1??m?
?0.1x1?0.2x3?0.83?x2
??m?1??m?1??m?1?x3?0.2x1?0.2x2?0.84(m?0,1...)??
用雅可比迭代公式得
X
?1?
??0.72000,0.83000,0.84000?X
?1?
用高斯－塞德尔迭代公式得
3
??0.72000,0.90200,1.16440?
?1,2?之间的近似根 3. 用牛顿法求方程x?3x?1?0在
（1）请指出为什么初值应取2？
（2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001.
计算题3.答案
4. 写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分
计算题4.答案
?
10
11?x
dx
.
四、证明题（本题10分）
确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有3次代数精确度
?
h?h
f?x?dx?A?1f??h??A0f?0??A1f?h?
证明题答案
一、 填空（共20分，每题2分）
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