篇一：数学选修4-1几何证明选讲总复习题(教师版)
数学选修4-1几何证明选讲总复习题
1.【北京市房山区2013届高三第二次模拟考试数学试题（理科）】如图，A,B,C,D是⊙O上的四个点，过点B的切线与DC的延长线交于点E.若?BCD?110?，则?DBE?( )
A. 75? B. 70? C. 60? D. 55?
2．一个圆的两弦相交,一条弦被分为12cm和18cm两段,另一弦被分为3:8,则另一弦的( ) 长为( )A．11cm B．33cm C．66cm D．99cm
【答案】B【解析】解：设另一弦长xcm；由于另一弦被分为3：8的两段，故两段的长分别为3 ?11 xcm，8? 11 xcm，有相交弦定理可得：3? 11 x?8? 11 x=12?18解得x=33
3．圆内接四边形ABCD中，?A、?B、?C的度数比是2:3:6，则?D?（ ）
A．67.5? B．135? C．112.5? D．110?
【答案】C． 【解析】由圆内接四边形对角互补可知，A?C?180，B?D?180，由已知可得A?45，???C?135?，则B?67.5?，所以D?112.5?.
4．已知三角形的3条中位线分别为3cm、4cm、6cm，则这个三角形的周长是()
A．3cmB．26cmC．24cmD．65cm
【答案】B【解析】解：∵D，E，F分别是△ABC的三边的中点，∴DE=1 /2 AC，DF=1 /2 BC，EF=1 /2 AB， ∴AC+BC+AB=2（DE+DF+EF）=2×（3+4+6）=26（cm）．故选B．
5．如图，已知AD//BE//CF，下列比例式成立的是( B )
D F
A
6．如图，?O是△ABC的外接圆，AD是?O的直径，连接CD，若?O的半径r?3，AC?2，则cosB2
的值是（）．A．32 B
C
D．
23
【答案】B． 【解析】解：∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°．Rt△ACD中，AD=2r=3，
AC=2．
根据勾股定理，得：故答案选：B
7．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则∠PCA=（）
A．30° B．45°
A C．60° D．67.5°
cosD=CD=．∵∠
B=∠D，∴cosB=cosD=． AD33
【解析】解：如图，∵PD切⊙O于点C，∴OC⊥PD，又∵OC=CD，∴∠COD=45°，∵AO=CO，∴∠ACO=22.5°， ∴∠PCA=90°-22.5°=67.5°．故选D．
8．如图所示，若
D是?AC的中点，则与∠ABD相等的角的个数是()
A．7B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】由同弧或等弧所对的圆周角相等知∠ABD＝∠CBD＝∠ACD＝∠DAC，故与∠ABD相等的角有3个．
?9．如图，AB是圆O的直径，C、D是圆上的点，?BAC?20，弧和弧的长相等，DE是圆O的切线，
则?EDC?(
)
A．70?B．40? C．20? D．35?
90??20?
?35? 【答案】D?EDC??DAC?2
10．如图所示，在△ABC中，M在BC上，N在AM上，CM＝CN，且AMBM＝，下列结论中正确的是 ( )
ANCN
A．△ABM∽△ACBB．△ANC∽△AMBC．△ANC∽△ACMD．△CMN∽△BCA
【答案】B【解析】由CM＝CN知∠CMN＝∠CNM，∴∠AMB＝∠ANC， 又AMBMAMAN＝，∴＝，故△ABM∽△ACN. ANBMNCCN11．【改编自2013年陕西高考题】如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF?DB，垂足为F，若AB?6，AE?1，则DF?DB? （ ）
A.3 B.5 C.52D.2
12.【改编自2013年湖北高考题】如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF?DB，垂足为F，若AB?6，AE?1，则DF?DB?( )
A. 4 B. 2C. 6
D. 5
13．如右图：已知AC=BD，过C点的圆的切线与BA的延长线E点，若?ACE=40，
则?BCD= .
?0【答案】40【解析】因为?ACE=40且CE与圆相切，所以
?ACE??CBA,?AC?BD,??CBA??BCD?40?.
14.如图，点M为?O的弦AB上的一点，连接MO.MN?OM，MN交圆于N，若MA?2，MB?4，则MN?
NO
A
MB
2222【答案】OC?AB，垂足为C;AB?6,AC?3,MC?1,?OC?OM?MC?OM?1
ON?OA,?ON2?OA2,即OM2?MN2?OC2?AC2?OC2?9?OM2?
8MN2?8,?MN?15.如图，已知Rt?ABC的两条直角边AC,BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径的圆
与AB交于点D，则BD＝ cm.【答案】16 5
【解析】因为AC=3,BC=4,所以AB=5，设BD=x,因为BC为圆O的切线，根据切割线定理可知BC2?BD?BA,?42?x?5,?x?16. 5
16．如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则BE＝________.
【答案】
AC＝4，AD＝12，∠ACD＝90°，∴CD＝AD－AC＝128，∴CD＝
222
又∵AE⊥BC，∠B＝∠D，∴△ABE∽△ADC，∴ABBEAB?CD6?＝，∴BE
＝＝
＝ADCDAD12
17.如图，AB、CD是圆的两条弦，且AB是线段CD的中垂线，已知AB=6，CD=2，则线段AC的长度为． DC
BC，设AB，CD相交于点E，AE=x，∵AB是线段CD的垂直平分线，∴AB是圆的直径，∠ACB=90°，则EB=6-x，
CE=AE?EB，即有x（6-x）=5，解得x=1（舍）2
或x=5，∴BC=BE?AB=1×6=6，即
. 2
18.如图，在△ABC中，AB?5，BC?3，?ABC?120?，以点B为圆心，线段BC的长为半径的半圆交AB所在直线于点E、F，交线段AC于点D，则线段AD的长为 . 【答案】16 7
19.如图4，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A,B。且PB?7，C是圆上一点使得
BC?5，?BAC??APB，则AB?.
: ?ACB??PAB,又?BAC??APB,
于是有?ACB??PAB,得ABCB?
所以AB?PBAB
20．如图，从圆O外一点P引圆O的切线PA和割线PBC
，已知PA?PC?4，圆心O到BC的距离
O的半径为_____.【答案】2
篇二：选修4-1 几何证明选讲 复习教案
第一节 相似三角形的判定及有关性质
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1．了解平行线截割定理．
2．会证明并应用直角三角形射影定理．
1．平行线的截割定理 (1)平行线等分线段定理
定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．
推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．
推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰． (2)平行线分线段成比例定理
定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例． 2．相似三角形的判定定理
(1)判定定理1，两三角形相似．
(2)判定定理2，两三角形相似． (3)判定定理3，两三角形相似．
3．相似三角形的性质定理 (1)性质定理：相似三角形对应高的比、相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．
(2)推论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．
4．直角三角形相似的判定定理
(1)判定定理1，那么它们相似． (2)判定定理2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似． (3)判定定理3直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
5．直角三角形射影定理
直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．
[例1] (2014·广东高考节选)如图，在平行四边形ABCD中，点E在
AB上且EB＝2AE，△CDF的面积AC与DE交于点F，求
△AEF的面积
△CDF的面积?CD?2?
AB2
[听前试做] 由CD∥AE，得△CDF∽△AEF，于是＝＝9.
△AEF的面积?AE??AE
方法规律
平行线截割定理的作用
平行线截割定理一方面可以判定线段成比例；另一方面，当不能直接证明要证的比例成立时，常用这个定理将两条线段的比转化为另外两条线段的比．
如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，E，
F分别为AD，BC上的点，且EF＝3，EF∥AB，求梯形ABFE与梯形EFCD的面积比．
1
解：由CD＝2，AB＝4，EF＝3，得EF＝(CD＋AB)，所以EF是梯形ABCD的中位线，
2
11
则梯形ABFE与梯形EFCD有相同的高，设为h，则S梯形ABFE∶S梯形EFCD＝3＋4)h∶＋3)h
22＝7∶5.
[例2] (2015·沈阳模拟)如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD
垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE.
证明：(1)∠FEB＝∠CEB； (2)EF2＝AD·BC.
[听前试做] (1)由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB. π由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF＝；
2π
又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝，
2从而∠FEB＝∠EAB. 故∠FEB＝∠CEB.
(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边， 得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF. 类似可证：Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF. 又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF， 所以EF2＝AD·BC.
方法规律
与相似三角形的定理和性质有关的问题的常见类型及解题策略
(1)证明线段成比例(或线段之积相等)．利用已知条件证明三角形相似，即可得出结论． (2)证明角相等．先确定两个角所在的三角形，然后证明三角形相似，进而得出角相等． (3)求线段长．可转化成(1)，再利用已知条件求线段长．
(2015·长春模拟)如图所示，在△ABC中，AB＝AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC的延长线于点D
.
PCPD(1)求证：
ACBD
(2)若AC＝3，求AP·AD的值．
证明：(1)因为∠CPD＝∠ABC，∠PDC＝∠PDC， 所以△DPC∽△DBA，所以
PCPD
. ABBD
PCPD
又AB＝AC，所以.
ACBD
(2)因为∠ABC＋∠APC＝180°，∠ACB＋∠ACD＝180°， ∠ABC＝∠ACB， 所以∠ACD＝∠APC.
APAC
又∠CAP＝∠DAC，所以△APC∽△ACD，所以＝，
ACAD2
[例3] (2015·太原模拟)如图所示，在△ABC中，
∠CAB＝90°，AD⊥BC于点D，BEDFAE是∠ABC的角平分线，交AD于点F，＝AFEC
[听前试做] ∵BE是∠ABC的角平分线， ∴
DFBD
① AFAB
AEAB＝.② ECBC
在Rt△ABC中，由射影定理知，
BDAB
AB2＝BD·BC，即＝.③
ABBCDFAB
由①③④
AFBCDFAE
由②④AFEC
方法规律
巧用射影定理解题
已知条件中含直角三角形，且涉及直角三角形斜边上的高时，应首先考虑射影定理，注意射影定理与斜边的对应法则，根据题目中的结论分析并选择射影定理中的等式，并分清比例中项．
如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F. 求证：AE·AB＝AF·AC
.
证明：∵AD⊥BC， ∴△ADB为直角三角形，
又∵DE⊥AB，由射影定理知，AD2＝AE·AB. 同理可得AD2＝AF·AC，
∴AE·AB＝AF·AC.
———————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————
2个注意点——运用平行线分线段成比例定理的注意点
(1)平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例，在运用平行线分线段成比例定理时要注意平行线的不同位置，以及在三角形与四边形中的灵活应用．
(2)证明线段成比例，若已知条件中没有平行线，但有三角形相似的条件(如角相等，有相等的比例式等)，常考虑相似三角形的性质构造比例或利用中间比求解．
篇三：选修4-1 几何证明选讲综合复习(全解析)
人教（A）版选修4-1《几何证明选讲》综合复习
钱耀周
（广东佛山市南海区南海中学，528211）
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.如图4所示,圆O的直径AB=6,C为圆周上一点,BC=3过C作
圆的切线l,过A作l的垂线AD,垂足为D,则∠DAC =( )
A.15?B.30?C.45?D.60?
【解析】由弦切角定理得?DCA??B?60?,又AD?l,故?DAC?30?,
第1题图
故选B.
2.在Rt?ABC中,CD、CE分别是斜边AB上的高和中线,是该图中共有x个三角形与?ABC相似,则x?()
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】2个:?ACD和?CBD,故选C.
3.一个圆的两弦相交,一条弦被分为12cm和18cm两段,另一弦被分为3:8,则另一弦的长为( )
A.11cm B.33cm C.66cm D.99cm
【解析】设另一弦被分的两段长分别为3k,8k(k?0),由相交弦定理得3k?8k?12?18,解得k?3,故所求弦长为3k?8k?11k?33cm.故选B. ABBCAC5???,若?ABC与 4.如图,在?ABC和?DBE中,DBBEDE3?DBE的周长之差为10cm,则?ABC的周长为( ) 2550E A.20cm B.D.25cm cm C.cm 第4题图 43
【解析】利用相似三角形的相似比等于周长比可得答案D.
225.O的割线PAB交O于A,B两点,割线PCD经过圆心,已知PA?6,PO?12,AB?,3
则O的半径为( )
A.4B
.6C
.6 D.8
22【解析】设O半径为r,由割线定理有6?(6?)?(12?r)(12?r),解得r?8.故选D. 3
6.如图,AB是半圆O的直径,点C在半圆上,CD?AB于点D,
且AD?3DB,设?COD??,则tan2
11A. B. 34?2＝( ) 第6题图 C
.4? D.3
【解析】设半径为r,则AD?
tan231?r,BD?r,由CD2?AD?
BD得CD?,从而??,故2232?1?,选A. 23
7.在?ABC中,D,E分别为AB,AC上的点,且DE//BC,?ADE的面积是2cm2,梯形DBCE
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的面积为6cm2,则DE:BC的值为( )
A. B
.1:2C.1:3
D.1:4
【解析】?ADE?ABC,利用面积比等于相似比的平方可得答案B.
8.半径分别为1和2的两圆外切,作半径为3的圆与这两圆均相切,一共可作( )个.
A.2 B.3C.4D.5
【解析】一共可作5个,其中均外切的2个,均内切的1个,一外切一内切的2个,故选D.
9.如图甲,四边形
ABCD是等腰梯形,AB//CD.由4个这样的
等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形,
则四边形ABCD中?A度数为 ( )
第9题图 A.30? B.45? C.60?D.75?
【解析】6?A?360?,从而?A?60?,选A.
10.如图,为测量金属材料的硬度,用一定压力把一个高强度钢珠
压向该种材料的表面,在材料表面留下一个凹坑,现测得凹坑
直径为10mm,若所用钢珠的直径为26 mm,则凹坑深度为( )
A.1mmB.2 mm C.3mm D.4 mm
【解析】依题意得OA2?AM2?OM2,从而OM?12mm,
故CM?13?12?1mm,选A. 第10题图
212111.如图,设P,Q为?ABC内的两点,且AP?AB?AC,AQ＝AB＋AC,则?ABP5534
的面积与?ABQ的面积之比为( )
1411A.B.C. D. 5543
21【解析】如图,设AM?AB,AN?AC,则AP?AM?AN. 55第11题图 由平行四边形法则知NP//AB,所以1?ABPAN?＝, 5?ABCAC
?ABQ1?ABP4?．故?,选B. 同理可得?ABC4?ABQ512.如图,用与底面成30?角的平面截圆柱得一椭圆截线,则该椭圆的
离心率为 ( )
1A． BCD．非上述结论 2第12题图
【解析】用平面截圆柱,截线椭圆的短轴长为圆柱截面圆的直径,弄清了这一概念,考虑椭
1圆所在平面与底面成30?角,则离心率e?sin30??.故选A. 2
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.
13.一平面截球面产生的截面形状是_______;它截圆柱面所产生的截面形状是________
【解析】圆;圆或椭圆.
第 2 页 共 6 页
14.如图,在△ABC中,AB＝AC,∠C＝720,⊙O过A、B两点且
与BC相切于点B,与AC交于点D,连结BD,若BC＝5?1,
则AC＝
【解析】由已知得BD?AD?BC,BC2?CD?AC?(AC?BC)AC,
解得AC?2.
15.如图,AB为O的直径,弦AC、BD交于点P, B O ?
D C 第 14 题图
若AB?3,CD?1,则sin?APD=
AD【解析】连结AD,则sin?APD?,又?CDP?BAP, APPDCD1??, 从而cos?APDPABA3所以sin?APD??. 16.如图为一物体的轴截面图,则图中R的值
是 第16题图
30【解析】由图可得R2?()2?(180?135?R)2,解得R?25. 2
三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
如图:EB,EC是O的两条切线,B,C是切点,A,D是
O上两点,如果?E?46?,?DCF?32?,试求?A的度数.
【解析】连结OB,OC,AC,根据弦切角定理,可得
1 ?A??BAC??CAD?(180???E)??DCF?67??32??99?. 第17题图 2
18.(本小题满分12分) E如图,⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P, F B E为⊙O上一点,AE?AC,DE交AB于点F,且AB?2BP?4, 求PF的长度.
第18题图 【解析】连结OC,OD,OE,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系
结合题中条件AE?AC可得?CDE??AOC,又?CDE??P??PFD, E PFPD?AOC??P??C,从而?PFD??C,故?PFD?PCO,∴?, F B PCPOPC?PD12??3. 由割线定理知PC?PD?PA?PB?12,故PF?PO4
19.(本小题满分12分) E
已知:如右图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC, D AB＝DC,过点D作AC的平行线DE,交BA的延长线于
点E．求证：(1)△ABC≌△DCB(2)DE·DC＝AE·BD．
【解析】证明：(1) ∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC＝DB
第19题图 ∵AB＝DC，BC＝CB，∴△ABC≌△BCD
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(2)∵△ABC≌△BCD，∴∠ACB＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB
∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∠EAD＝∠ABC
∵ED∥AC，∴∠EDA＝∠DAC∴∠EDA＝∠DBC，∠EAD＝∠DCB
∴△ADE∽△CBD ∴DE:BD＝AE:CD，∴DE·DC＝AE·BD.
20.(本小题满分12分)
如图,△ABC中,AB=AC,AD是中线,P为AD上一点,CF∥AB，BP延长线交AC、CF于E、F,求证: PB2=PE?PF．
【解析】连结PC,易证PC?PB,?ABP??ACP
∵CF//AB ∴?F??ABP,从而?F??ACP
又?EPC为?CPE与?FPC的公共角,
CPPE第20题图 解答用图 ?从而?CPE?FPC,∴ ∴PC2?PE?PF FPPC
又PC?PB, ∴PB2?PE?PF,命题得证. 21.(本小题满分12分)
如图,A是以BC为直径的O上一点,AD?BC过点B作O的切线,与CA的延长线相交于点E，G的中点,连结CG并延长与BE相交于点F,
C 延长AF与CB的延长线相交于点P. (1)求证:BF?EF；
(2)求证:PA是O的切线；
(3)若FG?BF,且O
的半径长为求BD和FG的长度. 第21题图
【解析】(1)证明：∵BC是O的直径，BE是O的切线， ∴EB?BC．又∵AD?BC，∴AD∥BE．
易证△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC．
BFCFEFCFBFEF∴???．∴． DGCGAGCGDGAG
∵G是AD的中点，∴DG?AG．∴BF?EF． C (2)证明：连结AO，AB．∵BC是O的直径，
在Rt△BAE中，由（1），知F是斜边BE∴AF?FB?EF．∴?FBA??FAB．又∵OA?∵BE是O的切线，∴?EBO?90°．
∵?EBO??FBA??ABO??FAB??BAO??FAO?90°，∴PA是O的切线．
(3)解：过点F作FH?AD于点H．∵BD?AD，FH?AD，∴FH∥BC．
由(1)，知?FBA??BAF，∴BF?AF．
由已知，有BF?FG，∴AF?FG，即△AFG是等腰三角形．
HG1∵FH?AD，∴AH?GH．∵DG?AG，∴DG?2HG，即?． DG2
∵FH∥BD，BF∥AD，?FBD?90°，∴四边形BDHF是矩形，BD?FH．
FHFGHGBDFGHG1∵FH∥BC，易证△HFG∽△DCG．∴?????． ，即CDCGDGCDCGDG2
BDBD1∵O的半径长为∴BC?．∴???． CDBC?BD2
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FGHG11??，∴FG?CG．∴CF?3FG． CGDG22
在Rt△FBC中，∵CF?3FG，BF?FG，由勾股定理，得CF2?BF2?BC2．
．∴FG?3． ∴(3FG)2?FG2?2．解得FG?3（负值舍去）
［或取CG的中点H，连结DH，则CG?2HG．易证△AFC≌△DHC，∴FG?HG，
CDCG2FG2CF?3FG．D∥FB∴???．故CG?2FG，由G，易知△CDG∽△CBF，
CBCF3FG3
2?
，解得BD?Rt△CFB中，由勾股定理，得
3解得BD?
∴BD?FH?∵．］ (3FG)2?FG2?2，∴FG?3（舍去负值）
22.(本小题满分14分)
ACBC?如图1,点C将线段AB分成两部分,如果,那么称点C为线段AB的黄金分．ABAC
割点.某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义:直线l将一个面积为S的图形分成两部分,这两部分的面积分别为S1,S2,SS如果1?2,那么称直线l为该图形的黄金分割线. SS1
(1)研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点(如图2),则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗?为什么?
(2)请你说明:三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？
(3)研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E,再过点D作直线DF∥CE,交AC于点F,连接EF(如图3),则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．
(4)如图4，点E是ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF∥AD，交DC于点F，显然直线EF是ABCD的黄金分割线.请你画一条ABCD的黄金分割线,使它不经过ABCD各边黄金分割点.
第22题图 【解析】(1)直线CD是△ABC的黄金分割线.理由如下:设△ABC的边AB上的高为h．
111SADS△BDCBD S△ADC?ADh,S△BDC?BDh,S△ABC?ABh,所以△ADC?， ?222S△ABCABS△ADCAD
ADBDSS?又因为点D为边AB的黄金分割点，所以有．因此△ADC?△BDC． ABADS△ABCS△ADC
所以，直线CD是△ABC的黄金分割线.
1ss (2)因为三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分,此时s1?s2?s,即1?2，所2ss1
以三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线.
(3)因为DF∥CE,∴△DEC和△FCE的公共边CE上的高也相等,所以有S△DEC?S△FCE 设直线EF与CD交于点G．所以S△DGE?S△FGC．所以S△ADC?S四边形AFGD?S△FGC
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