象数思潮对宋元数学发展的影响 本文关键词：宋元，思潮，数学，影响，发展
象数思潮对宋元数学发展的影响 本文简介：摘要： 经过数百年的沉寂,象数学因政治因素推动,内在“经世”思想之开发、“先天图”等新要素的发现,在宋元二代重又流行开来。其中,刘牧、邵雍、朱熹、朱震、蔡元定、吴澄等学者作出了重要贡献。对于中国古代数学而言,象数思潮的兴起使得人们对“数&r
象数思潮对宋元数学发展的影响 本文内容：
摘 要： 经过数百年的沉寂, 象数学因政治因素推动, 内在“经世”思想之开发、“先天图”等新要素的发现, 在宋元二代重又流行开来。其中, 刘牧、邵雍、朱熹、朱震、蔡元定、吴澄等学者作出了重要贡献。对于中国古代数学而言, 象数思潮的兴起使得人们对“数”的兴趣日益浓厚, 数学成为一门关乎天道人事的“大学问”。随之而来的是, 数学教育在民间迅速普及, 象数逻辑正式进入数学思维模式中。受社会力量的干预, 国家历法要求精确性高, 历数时常改变以及宋元数学内在特质等诸多因素的影响, 此次思潮最终没有步入数字神秘主义泥淖, 而是带来了中国古代数学发展新的高峰。
关键词： 象数学; 古代数学; 思潮; 神秘主义;
Abstract： After centuries of silence, image-numerology has risen due to political factors, the discovery of new " economies" and the discovery of new elements in the Song and Yuan dynasties. Among them, Liu Mu and other scholars made important contributions. For ancient mathematics, the rise of image-numerology has made people more interested in " numbers", and mathematics has become a " university question" about heaven and earth. Mathematics education has rapidly spread in the people, and image-number logic has formally entered the mathematical thinking mode. Under the influence of social forces, the national calendar requires high precision, frequent changes in history, and the inherent qualities of the Song and Yuan dynasties, the current trend of thought did not enter the digital mysticism, and it brought about the great development of ancient Chinese mathematics.
Keyword： image-numerology; ancient mathematics; thoughts; mysticism;
“象数学”源自《周易》, 是一门推测宇宙或人生变化的学说。所谓“象”, 指卦象或爻象, 即卦、爻所象之事物及其位置关系;“数”特指阴阳数和爻数。汉儒孟喜、京房以象数说《周易》, 用八卦与阴阳之数预言灾变, 并将天文、历法、乐律等知识带入学说之中。至北宋, 易学与道教思想相融, 一种更为复杂的象数推衍体系出现。它为人们勾勒出一个生动的世界构造图式, 宇宙间一切事物均以简单的等比级数的抽象概念表现出来。其被主观附会了从“象”以“顺观”物理, 从“数”以“逆推”变化的理论, 以此说明现实世界, 推测过去和未来。随着世人对其笃信的加深, 象数思潮兴起, 且持续流行于宋元二代。它对当时的自然科学, 尤其是中国古代数学的发展起到了重要的推动作用。
一、宋元象数思潮发生的背景及表现
赵宋王朝统一中国后, 为了彻底清除“异端”思想对国家意识的“损害”, 社会有识之士自觉地为重建儒学思想统治不懈努力。他们积极吸收佛老二教思想, 以建构符合时代精神的“新儒学”;重新诠释儒家经典, “返本开新”地创造儒学新的理论方法。其中, 被誉为“五经”第一经的《周易》, 得到了学界普遍关注, 其内含的卦象被赋予了新型样态解读, 直接引发了新时期人们对于象数思想的关注。
众所周知, 宋代之前象数学曾两次在社会中大兴。其一, 受汉代卦气说盛行的影响, 象数成为天人感应的媒介符号, 并成为推导阴阳二气运动规律, 四季、十二月、七十二侯等自然界气象、天象变化的实施工具。后来人们又借助卦象来架构“气说”的外在形式———六十四卦, 每卦六爻, 每爻对应特定事件, 进而整个世界的变化都可由象数来解释。卦、爻不仅关于天道, 更可推导人事, 因其由圣人所做, 故与之相关的象数亦具有了神圣意义。其二, 隋唐二代, 统治者因维护统治需要, 力促天人感应思想再兴。加之, 唐僧人一行的竭力推动, 象数学再获新生。易数与历数紧密相联, 象数成为天文历法重要组成。然而两次象数之兴, 皆因天人感应说在社会中的破产而走向衰落。直至宋代, 易学被重建时, 象数方重新进入人们的视野。
从传承体系上看, 宋易初创于华山道士陈抟。陈抟得“先天图”传于种放, 种放传穆修, 再传李之才, 直达邵雍。又有种放“发现”河图、洛书, 传李溉, 后传许坚, 再传范谔昌, 直达刘牧;穆修得太极图, 后传周敦颐, 直达二程。其中, 对于象数学重建贡献最大的两个人, 一为刘牧、一为邵雍。
与两汉、隋唐“观物取象说”不同, 刘牧根据河图、洛书, 论证出卦象的起源实建立于“数”的基础之上, 因为河图其实为“九宫数”, 洛书实为“五行生成数”。他说:“形由象生, 象由数设。舍其数, 则无以见四象所由之宗。”[1]11换言之, 是“数”而非“象”为卦象的基础。在其看来, 之前京房、马融等大儒对象数的解释皆是“采摭天地名数强配其义”。他举例, 京房曾说大衍之数五十, 因有十日十二辰十下八宿;马融亦言太极两仪日月四时五行十二月二十四气。这样的说法乃为“观物取象”的立物, 仅把数当作对客观事物的描写, 不知数的根据在于自身, 而非物。刘牧还说, 天地之数五十有五, 为何只用四十九?因“天一居尊而不动”, 天一虽不动, 但却是万物的根源, “天一者, 象之始也, 有关生之宗也, 为造化之主。”[1]49其内在之意, 即“数”的用与不用, 实以自身为根据。
在刘牧的倡导下, 卦象源于数, 数源于河图、洛书的说法, 风靡一时。不久后, 邵雍着《皇极经世书》, 将象数学发展推升至新的层次, 并有了“先天学”的称谓。邵氏融合《周易》与道教思想, 建立了一套“包括宇宙、始终今古”消长循环图式。该图式中不仅有整套的卦象形式, 而且还有完整的数字系统。在其看来, 宇宙间一切都有“数”, 万物均是按照象数法则变化发展的。凭借“数”, 邵雍推算出每129600年为一元, 每一元, 是天地万物从始到终的一个过程, 其中有12会, 360运, 4320世。一元终了, 另一元开始, 世界就是这样的循环往复。而且一元之中, 每一会, 每一运, 每一世, 都可以作为一个元, 依12*30*12*30的方法推算下去。邵氏还用天干地支“十”和“十二”两种数目的加减与相乘, 解释天的四象和地的四象变化, 称之为“天地万物之理”。
邵雍特别强调大衍之数的作用, “大衍之数, 其算法之源乎!是以算数之起, 不过乎方圆曲直也。乘数, 生数也;除数消数也。算法虽多, 不出乎此矣。”[2]52大衍之数合乎于天之数, 所有用于推算的算字和规则, 都来源于它。并且, 天地万物及人类社会的全部秩序也可由它推演出来, 生命的过去与未来皆可由此而得之。邵氏的说法大大提升了“数”的价值, 象数已非单纯的卦爻, 而成为世界发展的根据———“太极”是无体的“一”, “一分为二”有了天地, 如此不断分化万事万物。
南宋时期, 象数学得到进一步发展。朱震以象数学作为易学正统, 他在总结和整理汉易的卦气说、卦变说以及评述北宋刘牧河洛说、李之才卦变说, 周敦颐太极图, 邵雍先天学等基础上, 提出“有象而后有数”的主张, 成为具有唯物论倾向的“重象派”代表人物。不过, 由于其将八卦比附人身的生理器官, 把人事的吉凶悔吝, 地位的尊卑贵贱都归之卦变, 所以他的学说中却又融入了许多的神秘主义要素。与之相对, 蔡元定、蔡沉父子重奇偶之数, 以“数”为象数易学第一要义。蔡元定强调“河十洛九”说, 试图将邵雍象数学纳入河洛之学的系统。蔡沉则将易学中的“阴阳二道”, 归之为奇偶二数, 提出“河偶洛奇”说, 将“数”与“理”统一起来。他认为, “河洛”构成了世界存在和运动的模式, 河图主象, 洛书主数, 河图主静, 洛书主动。从根源上讲, 天地万事万物均来自于“数”。河偶之数显现为物之形象, 洛奇之数表现为生化之理, 奇偶之数虽独立于万物之上, 但却是事物变化的基础。蔡氏父子的贡献在于将象数学彻底地从筮法转变为世界图式的建构, 并彰显了“数”在天地万物联系间的作用。
大儒朱熹部分地继承了邵雍先天学思想, 并对《周易》进行了“三圣易”的区分。他强调伏羲先天易的重要性, 认为只有弄懂了“伏羲之画”, 才能明白易之根本。他指出, 河图、洛书中含有的伏羲画卦之数是易学建构世界图式的基石, 故理解“易”必须从理解“数”入手, 而理解“数”又必须从理气与象数的关系切入。他说:“气便是数。有是理, 便有是气;有是气, 便有是数, 物物皆然。”[3]1603“有如是之理, 便有如是之象;有如是之象, 便有如是之数;有理与象数, 便不能无辞。”[3]1645从先后次序上讲, “理在气先”。所以, 万事万物产生的逻辑顺序为“理”外显为“气”, “气”器化为“象”, “象”的内在规定为“数”。如此一来, 由数可知象, 由象可知气, 由气可知理, 数与理之间达成了本体论层面上的联系。
对于河图、洛书, 朱熹的认识是“河图常数, 洛书变数”[3]1603。河图五十五是不变的天地自然之数, 洛书四十五是动态变化中的天地自然之数。天地万物的形成, 即是在此“不变”与“变”中形成。对于伏羲画卦, 朱熹指出“一每生二”是其内在的原则, 理论核心是“易有太极, 是生两仪”, 而从根本上讲, 两仪、四象、六十四卦的生成均是太极之理的表现。对于大衍之数, 朱熹肯定了其出自河图, “大衍五十, 是圣人去这河图里面取那天五地十衍出, 这个数不知他是如何, 大概河图是自然底, 大衍是用以揲蓍求卦者。”[3]1603此结论进一步证明, 河图乃是一切数的根源。而由数, 可推出天地之间的一切。归底结底, 河图中的数, 乃是卦象之源, 因而是全部《周易》之源。
在朱熹的完善与推动下, 象数学与生生之理达成了本体论意义上的联系, 并将象数之太极阴阳之妙的意蕴融入到儒家道统思想体系的建造中。象数学有了更为“合法”的身份, 世人在研习理学的同时, 对于“数”的兴趣更加浓重, 最终形成思潮。并且, 这股思潮一直延续至元代, 对其时自然科学与社会科学的发展均带来了深刻影响。
元代象数学研究成果丰富, 包括雷思齐《易图通变》、俞琰《易外别传》、张理《易象图说》、萧汉中《读易考源》、张行成《述衍》和《皇极经世索隐》等。而集象数学研究之大成者为吴澄。吴澄着有《原理》、《易纂言》、《易纂言外翼》等象数学专着, 并校订了《皇极经世书》, 开辟出一种理学视野下的独特易学天人之学。他推崇邵雍, 以“太一 (极) ”为宇宙逻辑的起点, 还将“气”引入“太一”内部, 使之成为同“道”具有同等地位的构成要素。
吴澄认为, 象数是“太一之气”的一种量的规定, 是气本体自身长期发展和演化的必然结果。天地间一切“可状”的事物皆可称之为“象”, 具体可分为羲皇八卦的“卦画之象”, 文王重卦的“卦名之象”及象辞爻辞所肖之物象。圣人作易即是一个“观象立卦”的过程, 故惟有“以象为本”、由辞测象, 方能找到大易之旨。“数”是一类特殊类别的“象”, “一阴一阳之谓道, 寓于蓍数者也……数者, 变之已成;变者数之未定。”[4]149只有当客观事物成为一个相对稳定的运动系统时, 主体方可通过逻辑思维或直觉思维把握住“数”这一特殊的“象”。“数”可分为蓍数、卦数、运数、气数等, 对其进行逻辑推演即是一个寻道的过程。
吴澄还主张“象在数先”, 认为数只是描绘事物的象的尺度, 象才是伏羲画卦的根据。“以其气之着见而可状者谓之象, 以其气之有次第而可数者谓之数”[5], 象是数的根本。基于此种观点, 吴澄提出了自己的象数观, 以抽象的八卦图出发, 演绎和阐释宇宙万物之无穷变化, 强调世界是卦画之象“交泰”配置的结果。所谓“一数属良坎, 二数属离兑, 三数属坎震, 四数属巽离, 五数属乾坤, 六数属巽, 七数属震乾, 八数属兑坤, 九数属灵, 十数属坤”, 八卦中每一卦均有二数, “艮九、一, 坎一、三, 震三、七, 乾七、五, 巽六、四, 离四、二, 兑二、八, 坤八、十”[6]47。气本体正是根据上述的规律进行阴阳变化聚散, 而形成了客观世界。本于“两仪”的“四象”, 也是每次取二爻, 按照奇偶排列组合而产生的。沿着这一思路, 吴澄还发明出卦统、卦对、变卦、纳甲之说, 进一步丰富了元代象数学理论。
元代, 还有两位学者的象数学思想值得一提。一是胡一桂, 他创造性地发挥了朱熹的象数学思想, 提出有理而后有数, 认为“理”与“象”和“数”相比, 所具有的超越性和逻辑在先性。“理”实为“太极”, 是“象”、“数”变化的最终依据。并主张“易有理而后有数, 有数而后有卦, 有卦而后有象”, 而“辞变统于象占, 象又统于占”, “占”是“象”的最终体现。[7]二是王申子, 他创造了象数义理融通的诠释方式。他从“图”、“书”之学入手, 寻求象数的发生学根据, 重新界定了“伏羲圆图”和“伏羲横图”, 在元代象数学体系中独树一帜。
在宋元二代数百年的发展历程中, 曾为前代“抛弃”的象数学重又焕发了青春, 成为一种主流思想在社会中广泛流传开来。原因何在?首先, 政治因素的推动。北宋初年为了适应全国统一的形式, 强化封建的中央集权, 统治者们着力复兴儒学。因象数易学既可“通天道”, 又可“为人事”而倍受重视。虽说“天人感应”学说在宋初因社会整体自然科学的进步而失去了诸多市场, 但执政者为了给自身权力赋予“神授”的合法性依据, 还是主动地引导舆论强化“祥瑞”、“灾异”之说。如宋太祖、太宗、真宗曾围绕乾德五年的“五星聚奎”, 大做文章。同一次天象, 被三朝皇帝分别附会于身。又如宋真宗为“封禅”制造“天瑞”而伪造“天书”, 并编出与星冠绛袍的神人相见的故事等。南宋时期, 饱受少数民族欺凌的汉人们需要寻求精神力量的慰藉, 皇帝也要找到安抚民心, 激扬臣子士气的根据。故从天人之学中找信心, 从天变、灾异中找失败的原因旋即成为时尚。所以社会中出现了坚决反对取缔对灾变神学的声音, “使君天下者, 视天灾时变, 不务德以禳之, 但委其数而已”[8]80;无神论思想受到质疑的现象, “经书星陨、日蚀、水灾、螟伤稼, 皆偶然也?”[9]243因时人相信, 象数是天人间沟通的语言, 为了更好地理解“天”, 需要更多的人投入到卦爻变化的研究之中。
元代的情况与宋代不同, 少数民族执政后迫切需要学习汉民族先进文化。他们一方面采取中国传统的统治方式, 建立中央集权的政权, 另一方面, 在意识形态上采用儒家的理学作为统治思想。不过, 他们所熟知的理学, 大多来自赵复北上时传播的知识。其中, 邵雍的先天学带来的影响最大。故其成为元朝统治区域内, 世人学习儒学的必修内容。
其次, 象数学内“经世”思想的开发使然。宋元象数学的特点在于, 它是人们构造世界模式、推衍社会历史的工具。换言之, 象数学的任务除了让君权神圣化外, 更多的焦点集中于解决日常生活问题, 即“经世致用”。北宋邵雍最早以“经世”为旨归开发象数, 他着述的《皇极经世书》表面上看是一部“推步之书”, 实则关注于“本诸天地, 质于人事”。邵氏对象数推演的根基在于“道论”, 其中包含了许多他对社会政治生活的理解。另外, 他不断强调“人灵于万物”, 以卦爻推论出“人之为人本于天”的结论。他还将宇宙的循环周期类比为春夏秋冬四时之序, 将社会历史看作是阳气由盛渐衰, 并最终化阴气的过程, 暗含着其想要改变社会生活质量的渴望。如此一来, 象数学不再虚无缥缈, 而逐渐成为一门说明整个世界与人类历史的学问。
受国家由盛转衰的客观条件影响, 南宋的象数学发展兼具了政治革新与文化复兴的双重指向。以高宗为首的南宋统治阶层, 大力发挥象数学中的占筮之术, 将之视为“圣人之道”, 作为辅政的重要工具。在“推崇筮占, 弥纶天地”的思想指导下, 象数学甚至成为谋划政事的必备“术数”。在南宋濒发的“党同伐异”运动中, 象数学又成为社会有识之士, 针砭时弊、抒发忧愤的武器, 如郑刚中“厄于桧”, 于贬谪中“在封川, 将玩诸易, 以图其不终穷”[10]400;张浚抗金被贬后, 着易曰:“小人用事于时, 而纲纪慢于上, 政事暴于下, 人心积怨, 敌国轻视, 寇安得不至邪?”[11]126象数易的“经世”意蕴, 由此得到彰显。
元代的象数学成为了蒙古贵族的“治术数”, 并且获得了官学地位。统治者期待以象数的神性特质, 为自己的决策与行动获得“合法性”。蒙元王朝积极地以汉人象数构建国家文化制度模式, 卦爻推理被大量应用于天文历法中。延佑年间, 以象数知识为基础的阴阳学者选拔与科举拥有了相同的地位, 从而进一步加深了象数学的实用性。
最后, 象数学自身学术新发现的激励作用。宋元易学的重要创新在于, 出现了“图书”之学。其以“河图”与“洛书”解释《周易》原理, 以象数阐发大易之旨, 为易学的发展提供了多元的理论样式与广阔的诠释空间。陈抟“发现”了“先天太极图”、“龙图”与“无极图”;刘牧以图九书十说、太极说、象由数定等建构出河洛之学;李之才以卦变图, 创新卦变说;邵雍设计出“先天八卦图”, 将象数学提升为可以构造世界图式的“先天学”。这些新元素的注入, 为传统易学提供了源源不断的生命活力。南宋时期, 大批义理易学学者转向象数易学研究, 他们本着调和两派的基点重释象数学说, 并引发“象”、“数”“先后之辨”, 客观上促成象数学的进一步发展。元代象数理论虽未有实质性突破, 但在长达百年的“河洛之辨”、“象数之辨”、“象理之辨”中, 学界乃至社会中关注象数问题的热情不断被激发, 象数学的发展随之步入纵深。当一门学问不断面对批判、创新的情况, 社会关注度不断上升时, 其学说之兴也就不难想象了。
二、象数思潮对宋元数学发展的影响
象数学在宋元时期的流行, 直接带来了古代数学的发展。越来越多的人将“数”的运用视为“大学问”, 他们想用数来算出历史、算出人类的命运。在官办的“算学”科学生的必修课中, “三式” (以象数为基础的占卜术数) 即成为最重要的一门学问。一时间, 象数学家们精心研究数学, 以使证明自己结论的算法更准确;数学家们也潜心研究象数, 因为他们要让自己“不足道”的方程术、天元术等获得高深的诠释。在此背景下, 宋元数学成为中国古代数学史上光辉的一页, 不仅成果众多, 而且数学的社会地位也极大提升。
象数学家推动数学发展的代表人物是邵雍, 他从对“先天图”结构的探索中, 以数字二元符号系统推导出阴阳卦爻的一系列旋转、反射、反演等操作规则。其对象数位置变化的讨论, 启发后人注意到数的排列问题, 并将研究数学的意义与天地万物的运行达成了联系。虽然, 以今日视角观之, 邵氏的数学体系只涵盖正整数、四则混合运算等初级数学知识, 但其对数学发展的贡献力量却是巨大的。正是他的讨述使人相信, 数学是一门可以解决社会发展一切大问题的学问。之后的数学家们, 如秦九韶、李治等持有的就是这样的数学观, 象数从此与古代数学缠绕在一起, 数百年内没有分开。
蔡元定也是个象数学家, 他倡导“因数明理”说。其相信, 通过象数的推导, “天理”可以自明。为此, 蔡氏以河图、洛书中的奇偶之数构建数学模型。所谓河图中十个数, 一六居北, 三八居东, 二七居南, 四九居西, 十五居中。其中, 偶数为三十, 奇数为二十五, 故“偶赢而奇乏”;洛书中九个数, 奇数之位为五, 偶数之位为四, 奇数和是二十五, 偶数和是二十, 故“皆奇赢而偶乏”, 所以“河图之虚五与十者, 太极也。奇数二十, 偶数二十者, 两仪也。以一二三四为六七八九者四象也。……洛书而虚其中, 则太极也。奇偶各居二十, 则亦两仪也。一二三四而含九八七六, 纵横十五而互为七八九六, 则亦四象也。”[12]63由此, 太极生两仪, 两仪生四象的道理, 便易于理解了。“太极者象数未形, 而其理已具之称”, 太极即是河洛中五之数, 其内具两仪四象之理, “太极之判, 始生一奇一偶, 而为一画者二, 是为两仪。其数则阳一而阴二, 在河图洛书则奇偶是也。”[12]63显然, 在数学算法上蔡元定较邵雍未有大的突破, 不过他的象数模型设计却为数学研究者打开了一扇窗。
期待象数学家为数学发展带来重大发明, 有些不切实际。宋元伟大成就的缔造者, 还是那些真正的数学家。北宋算术奇才刘羲叟曾是象学家, “ (刘) 精算术, 兼通大衍诸历, 及修唐史, 令专修律历、天文、五行志。”[13]1309发明“开方作法本源”的贾宪, 他的老师楚衍, 也是个象数学家, “衍于《九章》、《缉古》、《缀术》、《海岛》诸算经尤得其妙。明相法及《聿斯经》, 善推步、阴阳、星历之数, 间语休咎无不中。”[13]1481贾宪许多数学思想, 直接来源其师。根据《数学九章·序》, 创造高次方程解法和“大衍求一术”的秦九韶同样笃信“象数”。他说:“昆仑旁礴, 道本虚一, 圣有大衍, 微寓于易, 奇余取策, 群数皆捐, 衍而究之”, “今数术之书, 尚三十余家, 天象历度谓之缀术, 太乙、壬、甲谓之三式, 皆曰内算, 言其秘也。《九章》所载, 即周官九数, 系于方圆者为专术, 皆为外算, 对内而言也。其用相通, 不可歧二。”[14]2
在秦氏看来, “数”的作用分为两种, “通神明、顺性命”与“经世务、类万物”。前者的开始, 即是河图、洛书。数的奥秘多来源于此, 由此衍生八卦、九畴发展最终形成了“大衍之数”。“物莫不有数”, “数”既是物的数量规定, 又是物自有的性命和命运。数的算法研究终究只是“次一等”的工作, “一等”的工作乃是象数之学。秦九韶将“蓍卦发微”列为《数书九章》的第一题, 充分可见象数学对其的影响。所谓“蓍卦发微”来自《周易·系辞上》的记述:“大衍之数五十, 其用四十有九。分而为二以象两, 挂一以象三, 揲之以四以象四时;归奇于仂以象闰, 五岁再闰, 故再仂而后挂。”[15]79这段文字说明的是如何用蓍草筮占, 即把50根蓍草去掉一根, 分成两堆, 然后四个一组地数, 以最后的剩余决定如何画卦。秦氏将其天才地转化为一道数学题, 并创造出着名的“秦氏揲法”, 后被称为“中国剩余定理”, 其通式为“N≡Ri (modai) (i=1, 2, 3……n) ”。我们估且不去追究其内在的算法推理, 只需知道其结果是一个求“乘率”的过程, 而求蓍草的结果不外乎9、8、7、6等4个象数而已。
金元着名数学家李治, 通过对《周易》中“象”的剖析, 发明出“天元术”。在中国传统数学思维中, 易之“象”在日常生产和生活中可具体表现为圆、方等, 故方程理论基本上就是以几何形状的变换来表达其运算程序及数学内涵。李治对此认知深信不疑, 并对“圆”的算法产生浓厚兴趣。其“天元术”实为求圆形数值算法, 简述为先“立天元一”, 再寻找两个等值且至少有一个含天元的多项式, 后将两个多项式连为方程, 通过相消, 化为一元多次方程求解。我们同样无需寻根其具体推演, 只需关注李治对此算法的说明。他说:“卦有六爻, 初、二、三、四、五、上也。卦有六德, 刚、柔、仁、义、阳、阴也。自下而上, 以之相配, 则初爻刚, 二爻柔, 三爻仁, 四爻义, 五爻阳, 六爻阴也。只乾一卦推之, 便尽此理。”[16]1而“乾之策二百一十有六, 如卦别六爻而一, 则得三十六。又以四揲而一, 则得九, 是谓老阳。”[16]2在李氏看来, 卦爻各个位序的排列“中间自有条贯”, “夫六十四卦, 固有伏见翻置者, 亦有彼此对待者, 必以为圣人一一而次第之。”[16]2通过这些解说, 我们有理由推论“天元术”中由高次幂到低次幂上下排列的顺序, 与象数六爻从高到低的位置排列顺序相似, 有着内在关联。即天元术形成的内在机理, 与易卦象数变化规律有着某种共通之处。
总结象数思潮兴起对宋元数学发展的影响:第一, 促成古代数学教育的民间普及。自唐初李淳风注释《九章》、《周髀》等算经, 一行在大衍历中使用不等间距二次内插法, 将中国古代数学发展推至一个高峰, 在其后五六百年的时间里, 几乎没有重要的数学发明出现, 甚至没有象样的数学着作流传下来。一个重要的原因是, 受自唐中期以来的战乱影响, 数学教育的民间普及被迫终止了。宋初图、书的出现, 让人们重新认识到“数”的重要性。加之, 宋朝历代皇帝均颇为重视天文历算, 如“淳熙元年春聚局生子弟试历算《崇天》、《宣明》、《大衍历》三经, 取其通习者。五年, 以《纪元历》试。九年以《统元历》试。”[13]720这让与历法制定直接相关的象数学有了更多施展的空间。随着社会中研究象数人群的增加, 统治者认识到必须以规范的制度与恰当的手段对其发展加以引导。因为, 象数与“数术”相关, 既可作为治术, 也可作为通天的手段。如任其自由发展, 势必对国计民生产生不利影响。于是, 在北宋末年国家恢复了数学教育。国子监设算学一科, 将包含象数学说的天文、历算规定为学生的必修课。“数术”理论教育从此流行开来, 国家每年在科举考试同时更设立算学入仕制度, 这显然助长了平民学习数学的热情。
元代的统治者延续了朝廷重视“天算”的传统, 如皇帝曾下旨“令蒙古官子弟好学者学习算术”。而以精于“《易》及邵氏《经世》书”的刘秉忠为首的数学团体, 在元代政府中得到了重用。如刘氏的学生王恂、郭守敬等主编《授时历》, 成为国家历法。如此激发了更多的人自觉学习数学知识, 以期在朝廷民间取仕中脱颖而出。
第二, 完善了古代数学思维中象数逻辑。象数学在宋元数学中占具重要地位, 其推演规则逐渐演化为一种以象数算法为依据, 以“取象去形”为特点的思维逻辑。这样的“象数逻辑”与西方的“形式逻辑”存在明显的不同, 它强调“象数不二”, 所谓“极数以定象, 备象以尽数”, “大化流行, 可以数示, 可以象言。而象之与数, 恒相转化。”[17]114宋元以前, 象数逻辑已然存在, 但真正对中国古代数学思维产生质的影响, 还应从图、书的出现算起。宋元象数学家们, 通过对图、书的解释将自然数的数字算法转化为象数算法与符号运演系统, 数字运算与卦象推演间达成了体系化的联系。
如前所述, 邵雍、朱熹、吴澄等人的象数研究中随处可见“比类推理”———对自然现象“观其会通”, 据象归类;“太极推理”———以太极为依据, 以象数为变化法则, 揭示天地万物生长。如此的象数推理逻辑在宋元数学发展史中留下了深刻的印记。在宋元数学引以为豪的主要成就中, 如增乘开方法、大衍求一术、天元术、四元术、垛积术及招差法等, 均出现了“天数”、“地数”、“生数”、“成数”等象数名词, 阴阳二爻变化等说法, 在数字推理逻辑中更引入了形数合一, 几何代数化的象数思维。许多数字算法与卦象推演得到了统一, 典型的例证是大衍求一术便被其发明者认为是一套筮法。
三、宋元象数学为何没有走向数字神秘主义?
宋元之前两次象数学大兴的共同特点是, 人们倾向于将来自生活实践的具体科学数据附会于易数, 并把易数说成是这些数据的根据。其结果, 易学中阴阳五行生克制化之理被附会上了各种迷信杂说, 象数学成为窥测天意和代表鬼神的发言。在统治阶级着力推广“君权神授”和社会生产力水平不高的双重影响下, 作为人神交流中介的象数显得愈发神秘。更出现了一些人企图从易数中推出历数, 或强行用易数求解数学问题。从而损害了科学的发展, 使得象数学在某种程度上成为数学发展的羁绊。
与之相比, 宋元象数学的发展显然是推动中国古代数学进步的重要力量, 并且从始至终都未能成为一股新的数字神秘主义力量。为何?其一, 象数学流行之初便受到社会力量干预, 确保其发展方向不会走向神秘主义。虽然宋元象数学也讲究用数推演社会历史进程, 但在它发展的一开始即受到多方面压力限制, 使其无法涉足至具体科学领域。如欧阳修着《司天考》, 公开反对历法中的数字神秘主义;沈括、郭守敬等力主实验科学、反对数字迷信, 并得到帝王的支持等。故在邵雍发明先天象数学体系后, 虽追随者众多, 但几乎没有人将历数附会于象数, 更罕有将象数应用与具体数学研究合一的做法。诚然, 象数学在宋元社会得到了尊重, 图、书成为圣典为人所“信奉”。但数学家们享受的是象数学为数学在社会等级中提升带来了快乐, 却在真正的数学研究中谨慎地保持与构造世界模式的阴阳卦爻距离。故此时的数学着作中常有, 作者在序言中大谈图、书, 但在正文中却只言数学问题, 至多引用几个与易相关的命题, 而不再说象数了。
其二, 宋元历法要求精确性高, 历数时常改变, 无法确保数字的“神圣性”。宋元时期曾出现二十余个历法。这一方面与政治与天象关联程度日趋弱化相关, 另一方面与时代科技发展, 天文观测仪器精度提升相联。统治者已经认识到天象中的灾异、祥瑞实为自然现象与国运无关, 所以除了在建国之初还偶尔宣传一下“天人感应”外, 在绝大多数时间里他们均会弱化处理“谶纬”问题。同时, 因为生产生活的需要, 社会中对于历法精度的要求日益提高。随着莲花漏、水运仪象台、假天仪、星丸漏、碑漏等天文仪器发明层出不穷, 国家的历法也在不断改变。其诸如“上元积年”等重要数字被一再修正, 神秘主义存在需要的数字“恒常性”基本无法实现。以着名的历法《授时历》为例:它以验影候气为制历的基础, 引入岁差, 采用定朔, 废除上元积年, 用小数代替分数, 承认回归年长度在不断变化, 考虑到日月行度不均而运用三次内插法。其中, 一系列重要的数字均是呈动态变化的, 由此阻碍了数字神秘主义的成型。
其三, 宋元数学内在特质使然。汉唐数字神秘主义形成的一个原因是, 人们在对“数”的研究中, 让其成为具体物象, 抑或具体数据的代表。换言之, 易中的大衍之数与具体事物合一了。这使得数学难以从具体物象中解脱出来, 其抽象性大大折扣。而宋元象数学影响下的数学, 很少让“数”进入具体生活。社会将对数的理解, 往往来自万物的本源这一角度, 数是事物的本质, 兼具本体论的意蕴。如此, 数学与实际生活产生了“分离”。可以看到, 宋元数学大多带来“假设疑数”, 而非现实社会的直接投影。这让数学成为一门数理学问。依数学史家的说法, 宋元数学的成就大多脱离实际。学者们的数学发明多为一种“术”, 其并注于数学思维与逻辑联系, 并未苛求该“术”到底能解决什么具体问题。难以想像高次方程求解到底在宋元社会中有什么用处, 天元术、四元术对农业生产产生多大影响。宋元数学讲求的是纯粹的数与数之间的关联。基于此种与现实脱离的倾向, 宋元数学不会轻易走向数字神秘主义, 其发展实是为了数学而数学。
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