篇一：2016年北京大学博雅计划数学试题
2016年北京大学博雅计划数学试题
选择题共20小题；在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确选项的代号填在表格中，选对得5分，选错扣1分，不选得0分.
1.直线y=-x+2与曲线y=-ex+a相切，则a的值为（）
A-3B -2 C-1 D 前三个答案都不对
2.已知三角形ABC的三边长分别为a,b,c，有以下4个命题：
a2,b2,c2为边长的三角形一定存在；⑶以a+bb+cc+a,,为边222长的三角形一定存在；⑷以a-b+1,b-c+1,c-a+1为边长的三角形一定存在，其中正确命题的个数为（）
A 2 B 3 C4 D 前三个答案都不对
3.设AB,CD是圆O的两条互相垂直的直径，弦DF交AB于点E，DE=24,EF=18，则OE等于（）
A
D 前三个答案都不对
q?1,x=,(p,q)=1,p,q∈N*,1?4.函数f(x)=?p，则满足x∈(0,1)且f(x)>的x的个数为（ ） p7?0,x?Q,?
A 12B13C 14 D 前三个答案都不对
2425.若方程x-3x-1=0的根也是方程x+ax+bx+c=0的根，则a+b-2c的值为（ ）
A -13B -9 C-5 D 前三个答案都不对
6.已知k≠1，则等比数列a+log2k,a+log4k,a+log8k的公比是（） 111 BC D前三个答案都不对 234
π2π10π cos7. 计算coscos的值为（ ） 111111
111A - B - C - D 前三个答案都不对 641632A
2015xkx128.设a,b,c为实数，a,c≠0，方程ax+bx+c=0的两个虚根x1,x2满足为实数，则∑(1)等于（）
x2k=0x22
D 前三个答案都不对
9.将12个不同的物体分成3堆，每堆4个，则不同的分法种类为（）
A 34650 B5940 C 495 D 前三个答案都不对
10. 设A是以BC为直径的圆上的一点，D,E是线段BC上的点，F是CB延长线上的点，已知BF=4,BD=2,BE=5,∠BAD=∠ACD,∠BAF=∠CAE，则BC的长为（ ）
A11B 12 C13 D前三个答案都不对
11. 两个圆内切于点K,大圆的弦AB与小圆切于点L，已知AK:BK=2:5，AL=10，则BL的长为（ ）
A 24 B 25 C26D 前三个答案都不对
12.f(x)是定义在R上的函数，且对任意实数x均有2f(x)+f(x2-1)=
1，则f(等于（ ） A 0 B 11 C D 前三个答案都不对 23
13.从一个正9边形的9个顶点中选3个使得它们是一个等腰三角形的三个顶点的方法数是（）
A 30 B36 C42D 前三个答案都不对
14. 已知正整数a,b,c,d满足ab=cd，则a+b+c+d有可能等于（ ）
A 101 B 301 C401 D 前三个答案都不对
15. 三个不同的实数x,y,z满足x3-3x2=y3-3y2=z3-3z2，则x+y+z等于（ ）
A -1 B0 C1 D 前三个答案都不对
16.已知a+b+c=
1的最大值与最小值的乘积属于区间（ ）
A[10,11)B[11,12)C[12,13)D前三个答案都不对
17.在圆内接四边形ABCD中，BD=6,∠ABD=∠CBD=300，则四边形ABCD的面积等于（）
A
前三个答案都不对
18.1!+2!+3!+ +2016!除以100所得的余数为（）
A3 B 13 C 27 D 前三个答案都不对
?x+y2=z3,?23419.方程组?x+y=z,的实数解的组数为（ ）
?x3+y4=z5?
A 5 B 6 C 7 D 前三个答案都不对
x3+x3x3+x)+=3x的所有实根的平方和等于（ ） 20.方程(33
A 0 B 2 C 4 D 前三个答案都不对
2016年北京大学博雅计划数学试题答案
ABCDA BDBDA BCABD CBBCC
略解：
1.由于(-ex+a)/=-ex+a，于是切点横坐标为x=-a，从而有-(-a)+2=-e-a+a，解得a=-3.
2.不妨假设0<a≤b≤c,a+b>c
≥>0；⑵错误，a=2,b=3,c=4即为反例； ⑶正确，因为有a+bc+ab+c+-=a>0； 222
⑷正确，因为有(a-b+1)+(b-c+1)-(c-a+1)>(a-b)+(b-c)-c-a=0
3.如图，连接CF，由于?DOE与?DFC相似，因此DO?DC=DE?DF，从而DO2=24?21，
因此OE==111213123415的x的个数为11，分别为,,,,,,,,,,。 7233445555664.满足x∈(0,1)且f(x)>
5.根据题意，有(x2-3x-1)(x2+3x-c)=x4+ax2+bx+c，
于是a=-c-10,b=3c-3，从而a+b-2c=-13。
111x,a+x成等比数列，从而x=-4a，进而可得公比为. 233
π2π10ππ2π4π5π8π coscoscoscos) 7.根据题意，有coscos=(coscos1111111111111111
3π6π7π9π10ππ2π4π8π16π21(coscoscoscoscos)=-(coscoscoscoscos)=- 1111111111111111111110246.令log2k=x，则a+x,a+
8.因为一元二次方程的虚根必然共轭，因此可设x1=r(cosθ+isinθ),x2=r(cosθ-isinθ)， kπx12x2kπ2kπ(k∈Z)，于是1=cos从而， =r(cos3θ+isin3θ)为实数，所以θ=+isin3x233x2
2015
所以∑(
k=0x1k)=x21-(x12016)x2=0. 11-x2
44C12?C84?C49.不同分法数有=5775. 3A3
10.因为∠BAF=∠CAE,于是AE⊥AF，又因为∠BAD=∠ACD，于是AD⊥BC，
2故AD=DE?DF=DB?DC，解得DC=9，从而BC=11
11.如图，设BK与小圆交于点M，连接ML，CD为两圆在K处的公切线，由弦切角定理得:
∠DKM=∠BAK=∠KLM,又∠KLA=∠KML,所以∠AKL=∠BKL,因此由角平分线定理可得： AL:BL=AK:BK,从而可得BL=
25
(1)=1,?2f(0)+f-1?=1,，解得f(0)=f(1)=f-(1)，再
令x=，可得
：12.分别令x=0,1,，可得?2f(1)+f(0)-13?2f(-1)+f(0)=1?
1f(= 2f()+f(1)=
，从而13
13.以正9边形的某个顶点为等腰三角形的底边所对顶点的等腰三角形有4个，其中有一个是等边三角形，因此所有的方法数为3?9+1?9=30 3
14.考虑a=mn,b=pq,c=mp,d=nq。则a+b+c+d=mn+pq+mp+nq=(m+q)(n+p)
于是a+b+c+d不是质数即可，如301=7?43=(1+6)(1+42)
于是取a=1,b=252,c=42,d=6可得答案
315.设x3-3x2=y3-3y2=z3-3z2=m，则x,y,z是关于t的方程t-3t=m的三个实根，其中m为常数，
由韦达定理可知x+y+z=3。
/16.
设函数f(x)=
，则其导函数f(x)=1，做出函数f(x)的图像，函数f(x)在x=处的切线
3y=131，以及函数f(x)的图像过点(-
,0)和(的割线y=，如图
x(x-)+42
7331， x+≤≤x-)+31311或x=时取得；右侧等号当x=
，当a=b=c=时取
4233
13得；最小值为，当a=b=-,c=
时取得，从而原式最大最小值的乘积42左侧等号当x=-. =17.如图，连接AC，有CD=
AD且AC=,则有托勒密定理可得
AB?CD+AD?BC=AC?BD,
即AD(AB+BC)=,
于是AB+BC=
进而SABCD=S?ABD+S?CBD=
18.由于当n≥10且n∈N时，100n!，于是 3(AB+BC)=. 2
1!+2!+3!+ +2016!≡1!+2!+3!+ +9！(mod100)
≡1+2+6+24+20+20+40+20+80(mod100)≡13(mod100)
2219.顺次记方程中的方程为①，②，③，则①?③-②可得xy(x-y)=0从而x=0或y=0或x=
y 2
情形一：x=0或y=0此时可得(x,y,z)=(0,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(-1,0,-1)
情形二：x=
y此时可得(x,y,z)=(-1,-综上所述，原方程共有7组实数解。 x3+x20.令f(x)=，则原方程等价于f(f(x))=x，因为函数f(x)是R上的增函数，故原方程又等价于f(x)=x，
3
所以原方程的所有实根为4。
篇二：2016北京大学博雅计划数学试题
保密★启用前 试卷类型：A
2016北京大学博雅计划
数学试题2016.6
选择题共20小题；在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的，请把正．．．．确的选项代号填在表格中，选对得5分，选错扣1分，不选不得分。
1．直线y=-x+2与曲线y=-ex+a相切，则a的值为（ ）
A．-3C．-1
B．-2
D．前三个答案都不对
2．已知三角形ABC的三边长分别是a,b,c，有以下四个命题： （1
（2）以a2,b2,c2为边长的三角形一定存在； （3）以
a+bb+cc+a
,,为边长的三角形一定存在； 222
（4）以|a-b|+1,|b-c|+1,|c-a|+1为边长的三角形一定存在； 其中正确命题的个数为（ ）
A．2 C．4
B．3 D．前三个答案都不对
3．设AB,CD是圆O的两条垂直直径，弦DF交AB于点E，DE=24,EF=18,则OE等于（ ）
A
．C
．
B
．
D．前三个答案都不对
q?1
,x为有理数,p与q互素,p,q∈N*?1
p4．函数f(x)=?p，则满足x∈(0,1)且f(x)>的x
7
?0，x是无理数?
的个数为( )
A．12 C．14
B. 13
D. 前三个答案都不对
5．若方程x2-3x-1=0的根也是方程x4+ax2+bx+c=0的根，则a+b-2c的值为（ ） A．-13C．-5
B．-9
D．前三个答案都不对
6．已知k≠1，则等比数列a+log2k,a+log4k,a+log8k的公比为( )
1
A．
2
1
B．
3
C．
1
4
cos
2π10π cos的值为( )1111
D．前三个答案都不对
7． cos
π
11
A．-
1
16
1
64
B．-
1 32
C．- D．前三个答案都不对
x12
8．设a,b,c为实数，a,c≠0，方程ax+bx+c=0的两个虚数根x1,x2满足为实数，则
x2
2
2015k=0
∑(x
x1
2
)k等于 ( )
A．1 C
B． 0 D．前三个答案都不对
9．将12个不同物体分成3堆，每堆4个，则不同的分法种数为 ( )
A．34650 C．495
B．5940D．前三个答案都不对
10．设A是以BC为直径的圆上的一点，D,E是线段BC上的点，F是CB延长线上的点，已知BF=4,BD=2,BE=5,∠BAD=∠ACD,∠BAF=∠CAE,则BC的长为（ ）
A．11C．13
B．12D．前三个答案都不对
11．两个圆内切于K，大圆的弦AB与小圆切于L，已知AK:BK=2:5,AL=10,则BL的长为 ( )
A．24C．26
B．25
D. 前三个答案都不对
12．f(x)是定义在R上的函数，且对任意实数x均有2f(x)+f(x2-1)=
1，则f(等于（ ）
A．01
C．
3
1B．
2
D．前三个答案都不对
13．从一个正9边形的9个顶点中选3个，使得它们是一个等腰三角形的三个顶点的方法数是（ ）
A．30C．42
B．36
D．前三个答案都不对
14．已知正整数a,b,c,d满足ab=cd，则a+b+c+d有可能等于（ ）
A．101
B．301
C．401 D．前三个答案都不对
15．三个不同实数x,y,z满足x3-3x2=y3-3y2=z3-3z2，则x+y+z等于（ ）
A．-1 C．1
B．0
D．前三个答案都不对
16．已知a+b+c=
1( )
A．[10,11) C．[12,13)
B. [11,12)
D. 前三个答案都不对
17．在圆内接四边形ABCD中，BD=6，∠ABD=CBD=30?,则四边形ABCD的面积等于（ ）
A
． C
．
B
．
D．前三个答案都不对
18．1!+2!+ +2016!除以100所得的余数为( )
A．3 C．27
B．13D．前三个答案都不对
?x+y2=z3
?234
19．方程组?x+y=z的实数解组数为( )
?345?x+y=z
A．5 C．7
B．6
D．前三个答案都不对
x3+x3x3+x
20．方程()+=3x的所有实根的平方和等于( )
33
A．0 C．4
B． 2
D．前三个答案都不对
参考答案：
ABCDABDBDA BCABDCBBCC
篇三：自荐信
梦萦华师大
尊敬的华中师范大学自主招生领导：
您好！我是湖南省株洲市北京师范大学株洲附属学校高三学生刘倩妤。非常感谢您在百忙之中抽出时间审阅我的申请材料。希望通过贵校的自主招生来实现我在华中师范大学学习的梦想。
作为百年名校，贵校以“忠诚博雅、朴实刚毅”的精神培养了一代又一代的杰出人才。强大的师资力量和深厚的文化底蕴深受学生们的喜爱。我将选择贵校作为的第一志愿，非常渴望能够成为一名光荣的华师大的学生。
一直以来，我以优异的成绩名列前茅，深受学生和老师的喜爱。经过多年的学习训练，我已经成长为意志坚定、热爱生活、有爱心的优秀学生。
作为一名学生，最主要的就是学习。兴趣广泛的我参加了多次理工学科的竞赛。在2014年全国高中物理竞赛株洲地区比赛中荣获了三等奖。同年在湖南省高中数学比赛中荣获了省三等奖。这些成绩无疑在繁忙的高中学习中激发了我的兴趣，得到的肯定也让我在学习中信心满怀。
作为一名90后，性格开朗，活泼好动，视野开阔是我们的标签。青春活力的我一直以来都在团委学生会中任职，倾情为学生和老师服务。并在2014年终荣获了“优秀团委学生会干部”。
爱好写作的我将青春的记忆永远铭刻在我的日记本。良好的写作习惯，也让我在各类作文比赛中斩获频频。在株洲建宁书院第四届现场作文比赛中荣获高中组三等奖。作文时常被老师当做范文在同学们面前讲解。
华中师范大学是我魂牵梦绕的学府，特色的人才培养模式，相信是我人生梦的起点。希望在教育学类中汲取知识营养，为发展师范教育事业，提高民族文化素质贡献出自己的一份力量。青春的我也一定会努力参加一些社团、名家名师讲坛等校园文化活动。陶冶我的情操，强化我的能力，把自己锻炼成为一名独特文化品位的优秀人才。梦想
将在华师大起航！
恳请贵校领导能够接受我的请求，实现我的梦想。 此致
敬礼
自荐人：刘倩妤
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