篇一：2016年北京大学博雅计划数学试题
2016年北京大学博雅计划数学试题
选择题共20小题；在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确选项的代号填在表格中，选对得5分，选错扣1分，不选得0分.
1.直线y=-x+2与曲线y=-ex+a相切，则a的值为（）
A-3B -2 C-1 D 前三个答案都不对
2.已知三角形ABC的三边长分别为a,b,c，有以下4个命题：
a2,b2,c2为边长的三角形一定存在；⑶以a+bb+cc+a,,为边222长的三角形一定存在；⑷以a-b+1,b-c+1,c-a+1为边长的三角形一定存在，其中正确命题的个数为（）
A 2 B 3 C4 D 前三个答案都不对
3.设AB,CD是圆O的两条互相垂直的直径，弦DF交AB于点E，DE=24,EF=18，则OE等于（）
A
D 前三个答案都不对
q?1,x=,(p,q)=1,p,q∈N*,1?4.函数f(x)=?p，则满足x∈(0,1)且f(x)>的x的个数为（ ） p7?0,x?Q,?
A 12B13C 14 D 前三个答案都不对
2425.若方程x-3x-1=0的根也是方程x+ax+bx+c=0的根，则a+b-2c的值为（ ）
A -13B -9 C-5 D 前三个答案都不对
6.已知k≠1，则等比数列a+log2k,a+log4k,a+log8k的公比是（） 111 BC D前三个答案都不对 234
π2π10π cos7. 计算coscos的值为（ ） 111111
111A - B - C - D 前三个答案都不对 641632A
2015xkx128.设a,b,c为实数，a,c≠0，方程ax+bx+c=0的两个虚根x1,x2满足为实数，则∑(1)等于（）
x2k=0x22
D 前三个答案都不对
9.将12个不同的物体分成3堆，每堆4个，则不同的分法种类为（）
A 34650 B5940 C 495 D 前三个答案都不对
10. 设A是以BC为直径的圆上的一点，D,E是线段BC上的点，F是CB延长线上的点，已知BF=4,BD=2,BE=5,∠BAD=∠ACD,∠BAF=∠CAE，则BC的长为（ ）
A11B 12 C13 D前三个答案都不对
11. 两个圆内切于点K,大圆的弦AB与小圆切于点L，已知AK:BK=2:5，AL=10，则BL的长为（ ）
A 24 B 25 C26D 前三个答案都不对
12.f(x)是定义在R上的函数，且对任意实数x均有2f(x)+f(x2-1)=
1，则f(等于（ ） A 0 B 11 C D 前三个答案都不对 23
13.从一个正9边形的9个顶点中选3个使得它们是一个等腰三角形的三个顶点的方法数是（）
A 30 B36 C42D 前三个答案都不对
14. 已知正整数a,b,c,d满足ab=cd，则a+b+c+d有可能等于（ ）
A 101 B 301 C401 D 前三个答案都不对
15. 三个不同的实数x,y,z满足x3-3x2=y3-3y2=z3-3z2，则x+y+z等于（ ）
A -1 B0 C1 D 前三个答案都不对
16.已知a+b+c=
1的最大值与最小值的乘积属于区间（ ）
A[10,11)B[11,12)C[12,13)D前三个答案都不对
17.在圆内接四边形ABCD中，BD=6,∠ABD=∠CBD=300，则四边形ABCD的面积等于（）
A
前三个答案都不对
18.1!+2!+3!+ +2016!除以100所得的余数为（）
A3 B 13 C 27 D 前三个答案都不对
?x+y2=z3,?23419.方程组?x+y=z,的实数解的组数为（ ）
?x3+y4=z5?
A 5 B 6 C 7 D 前三个答案都不对
x3+x3x3+x)+=3x的所有实根的平方和等于（ ） 20.方程(33
A 0 B 2 C 4 D 前三个答案都不对
2016年北京大学博雅计划数学试题答案
ABCDA BDBDA BCABD CBBCC
略解：
1.由于(-ex+a)/=-ex+a，于是切点横坐标为x=-a，从而有-(-a)+2=-e-a+a，解得a=-3.
2.不妨假设0<a≤b≤c,a+b>c
≥>0；⑵错误，a=2,b=3,c=4即为反例； ⑶正确，因为有a+bc+ab+c+-=a>0； 222
⑷正确，因为有(a-b+1)+(b-c+1)-(c-a+1)>(a-b)+(b-c)-c-a=0
3.如图，连接CF，由于?DOE与?DFC相似，因此DO?DC=DE?DF，从而DO2=24?21，
因此OE==111213123415的x的个数为11，分别为,,,,,,,,,,。 7233445555664.满足x∈(0,1)且f(x)>
5.根据题意，有(x2-3x-1)(x2+3x-c)=x4+ax2+bx+c，
于是a=-c-10,b=3c-3，从而a+b-2c=-13。
111x,a+x成等比数列，从而x=-4a，进而可得公比为. 233
π2π10ππ2π4π5π8π coscoscoscos) 7.根据题意，有coscos=(coscos1111111111111111
3π6π7π9π10ππ2π4π8π16π21(coscoscoscoscos)=-(coscoscoscoscos)=- 1111111111111111111110246.令log2k=x，则a+x,a+
8.因为一元二次方程的虚根必然共轭，因此可设x1=r(cosθ+isinθ),x2=r(cosθ-isinθ)， kπx12x2kπ2kπ(k∈Z)，于是1=cos从而， =r(cos3θ+isin3θ)为实数，所以θ=+isin3x233x2
2015
所以∑(
k=0x1k)=x21-(x12016)x2=0. 11-x2
44C12?C84?C49.不同分法数有=5775. 3A3
10.因为∠BAF=∠CAE,于是AE⊥AF，又因为∠BAD=∠ACD，于是AD⊥BC，
2故AD=DE?DF=DB?DC，解得DC=9，从而BC=11
11.如图，设BK与小圆交于点M，连接ML，CD为两圆在K处的公切线，由弦切角定理得:
∠DKM=∠BAK=∠KLM,又∠KLA=∠KML,所以∠AKL=∠BKL,因此由角平分线定理可得： AL:BL=AK:BK,从而可得BL=
25
(1)=1,?2f(0)+f-1?=1,，解得f(0)=f(1)=f-(1)，再
令x=，可得
：12.分别令x=0,1,，可得?2f(1)+f(0)-13?2f(-1)+f(0)=1?
1f(= 2f()+f(1)=
，从而13
13.以正9边形的某个顶点为等腰三角形的底边所对顶点的等腰三角形有4个，其中有一个是等边三角形，因此所有的方法数为3?9+1?9=30 3
14.考虑a=mn,b=pq,c=mp,d=nq。则a+b+c+d=mn+pq+mp+nq=(m+q)(n+p)
于是a+b+c+d不是质数即可，如301=7?43=(1+6)(1+42)
于是取a=1,b=252,c=42,d=6可得答案
315.设x3-3x2=y3-3y2=z3-3z2=m，则x,y,z是关于t的方程t-3t=m的三个实根，其中m为常数，
由韦达定理可知x+y+z=3。
/16.
设函数f(x)=
，则其导函数f(x)=1，做出函数f(x)的图像，函数f(x)在x=处的切线
3y=131，以及函数f(x)的图像过点(-
,0)和(的割线y=，如图
x(x-)+42
7331， x+≤≤x-)+31311或x=时取得；右侧等号当x=
，当a=b=c=时取
4233
13得；最小值为，当a=b=-,c=
时取得，从而原式最大最小值的乘积42左侧等号当x=-. =17.如图，连接AC，有CD=
AD且AC=,则有托勒密定理可得
AB?CD+AD?BC=AC?BD,
即AD(AB+BC)=,
于是AB+BC=
进而SABCD=S?ABD+S?CBD=
18.由于当n≥10且n∈N时，100n!，于是 3(AB+BC)=. 2
1!+2!+3!+ +2016!≡1!+2!+3!+ +9！(mod100)
≡1+2+6+24+20+20+40+20+80(mod100)≡13(mod100)
2219.顺次记方程中的方程为①，②，③，则①?③-②可得xy(x-y)=0从而x=0或y=0或x=
y 2
情形一：x=0或y=0此时可得(x,y,z)=(0,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(-1,0,-1)
情形二：x=
y此时可得(x,y,z)=(-1,-综上所述，原方程共有7组实数解。 x3+x20.令f(x)=，则原方程等价于f(f(x))=x，因为函数f(x)是R上的增函数，故原方程又等价于f(x)=x，
3
所以原方程的所有实根为4。
篇二：2016自主招生攻略必看：一位北大学子亲历2015博雅考试的经历
2016自主招生攻略必看：一位北大学子亲
历2015博雅考试的经历
高考的时候，天是晴的，除了第二天上午的雷雨。而我的考试似乎也应和着这天气。别的都还算正常发挥，只是理综考出来就觉得不太好了（后来出分果然是历史最低=_=）。记得考完英语，一出校门，有人在合影，有人在献花，有人在用纸巾拭去激动的泪水，还有人仍然在焦急地张望。
我记得考试之前我跟妈妈说这时候估计我会哭，但真到了这个时候，我却又什么都没做，想象之中我的脸上当时应该是没有任何表情的，这样的状态一直继续着，因为我的心里还在纠结着刚刚的一道英语题。虽然知道与其这样乱想，不如不想，但我还是说服不了自己，没有办法把自己真正从这刚刚过去或者说还未过去的考试中抽出。
吃完饭回到家，我就打开电脑开始看一直想看的剧了，因为只有这样，我才能暂时不去想考试题目，考试结果，考试分数这些想了没用又不会不想的东西。换句话说，我以这样一种方式短暂地把自己从现实中抽离，让疲惫的心得到一丝喘息的机会。毕竟，再过一两个小时我就要开始收拾行李，明天5点就要起床前往北京参加博雅计划。这就是6月8号的晚上，想要停下来的我又不得不踏上下一段旅程。
博雅计划报名时间是高三下学期，这时候，既要把这些自招报名弄得像个样子，又一定一定不能、绝对不能忽视了马上就要高考了的事实。也就是说即便是初审过了，也不要一心想着这件事，而要把大部分的心思花在高考上。当然，初审没过也没什么啊，全心备考就好啦，千万不要因此否定自己，千万不要。
初审结果有不通过，通过和优秀三种，如果只是通过，所以有笔试和面试。优秀的只有面试。所以下面我谈的都是跟通过有关的。
这时候需要对笔试有所准备吗？我觉得并不需要太多，其实说句实话，我一点都没准备，理由见正文部分。还是那句话，全心备战高考就好，像我这样没学过竞赛，数学物理一般般的都可以呢，更何况是非常棒非常优秀的你们了。
博雅的时间其实挺赶的，像我这样的高考完事就准备要走了。仓促出发之中，一定不要忘了你的准考证，身份证，还有那些一定还没收起来的各种文具。
在去北京的动车上，坐在我前排的好像也是要参加自招的学生，听到他和家里人关于刚刚过去的考试的讨论，我好像又被拉回到面对现实的位置上。你有没有过那种感觉，就是明知以后再也无法相见，却还一定得忍住泪水去完成第一次也是最后一次遇见。
我觉得整个去北京，到北大的过程里，我就是这样一种心情。但既然来了，就要努力地做好，不能白白浪费这样的机会，也许这是我最后一次在北大考试呢。然
而，事情并没有我想象得那样糟。面试和体测都还好。至于笔试，博雅的题目跟普通自招还是不太一样的，换句话说就是还是有我会做的题目的。本着会的认真做，不会的认真蒙的原则，我认认真真地过完了那五个半小时，没有高考时遇到不会题的焦急，因为我清楚自己的实力，没有考试过后期待分数的紧张，因为我从一开始就没有憧憬。
博雅笔试分为语数外理化五科，考试总时间为五个半小时，前三个小时为语数外之后休息半个小时，之后两个小时是理化。语数外的卷子一起发，理化的卷子也是一起发，并且都是到每部分考试结束一起收卷，时间要自己合理分配。试卷很人性化，很清晰，正面写不下还可以写在背面。
下面说具体各科目。
语文题型并不常规，有一些题很有意思，当然，并不要因此害怕，要敢于写出自己的想法，有自己的独到之处。
数学其实比想象中简单一些，略低于自主招生的难度，题目也并不多，题型就是选择和填空，静下心来认真想，大部分都找得到思路。如果实在想不出什么好办法，不会的选择题可以从答案入手，真的有帮助。再有就是即使感觉题目看起来很难，做起来很麻烦，只要有想法就要试一试，不要轻易放弃，毕竟题目不多，数学一个小时是完全可以的(都够检查一下了)。还有，觉得会的题也不要大意，注意细节哦～
英语有好多选择题(有答题卡的，涂卡笔要带哦)，阅读也很长，还有一些别的题型，并没有听力，原谅我并没有全部记清(呜呜呜，其实英语的时间有点紧了，有个阅读没读上，你们要吸取教训啊)。其实现在想想也不是要文章里的每句话都读，应该先懂大意，再结合题目吧。
休息的时间其实不到半个小时，还要提前进考场发卷纸呢。
物理是不定项选择和主观题，涵盖了各种必修选修知识。(选修基本只会3-5的伤不起啊)所以这方面最好还是先准备一下。
化学题目范围也很广，由易到难，但又都不是与高中毫无关系，应该说是高中的深入版吧(其实各科都有这种性质)。选修知识也是每本都有考的，感觉有机题还挺多的。
各科就是这样了，总体上说就是做最好的自己就可以。有一些题目设置就是困难至极的，也不必过于纠结，在有限的时间里做好会的题就好。做出来了不要沾沾自喜，没做出来也不要丧失信心，平静地对待最好不过了。
体测就是考察大家一下啦～不要过于担心(大家都没好到哪里去)，尽力做就好了，千万别受伤了。
再下面要说的就是面试了。
面试会随机分组，每组六人，但由于同一个地区的面试时间是基本相近的或者说是相同的，你同组里会有同省的学生，当然，不会全是的。在等候进场的时候可以先互相认识一下熟悉一下。真的不必紧张，也不要紧张，一进门，你会发现三位面试官都很和蔼，你只要展现最自然最真实的你就好了(呃，这并不是让你太随意的意思=_=，而是不要紧张，就像正常说话一样，只不过要更自信)。
大胆说出你的想法就好。每个人会抽一道题，如果不满意可以换一道(最好还是不要换了，都差不多的，而且显得没自信，不过要是真的不擅长不理解那还是换吧)。我们组抽到的题目没有太诡异的，都是就一些生活中各个方面的问题谈自己的看法。看到题目后有两分钟的准备时间，还有准备好的笔纸供准备和记录使用。之后大家会阐释自己的题目，都说完了可以互相回答题目，可以有不同的见解。要争取多发言还要说的漂亮。到时候你会发现这几十分钟过得飞快飞快的～
篇三：2016北京大学博雅计划数学试题
保密★启用前 试卷类型：A
2016北京大学博雅计划
数学试题2016.6
选择题共20小题；在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的，请把正．．．．确的选项代号填在表格中，选对得5分，选错扣1分，不选不得分。
1．直线y=-x+2与曲线y=-ex+a相切，则a的值为（ ）
A．-3C．-1
B．-2
D．前三个答案都不对
2．已知三角形ABC的三边长分别是a,b,c，有以下四个命题： （1
（2）以a2,b2,c2为边长的三角形一定存在； （3）以
a+bb+cc+a
,,为边长的三角形一定存在； 222
（4）以|a-b|+1,|b-c|+1,|c-a|+1为边长的三角形一定存在； 其中正确命题的个数为（ ）
A．2 C．4
B．3 D．前三个答案都不对
3．设AB,CD是圆O的两条垂直直径，弦DF交AB于点E，DE=24,EF=18,则OE等于（ ）
A
．C
．
B
．
D．前三个答案都不对
q?1
,x为有理数,p与q互素,p,q∈N*?1
p4．函数f(x)=?p，则满足x∈(0,1)且f(x)>的x
7
?0，x是无理数?
的个数为( )
A．12 C．14
B. 13
D. 前三个答案都不对
5．若方程x2-3x-1=0的根也是方程x4+ax2+bx+c=0的根，则a+b-2c的值为（ ） A．-13C．-5
B．-9
D．前三个答案都不对
6．已知k≠1，则等比数列a+log2k,a+log4k,a+log8k的公比为( )
1
A．
2
1
B．
3
C．
1
4
cos
2π10π cos的值为( )1111
D．前三个答案都不对
7． cos
π
11
A．-
1
16
1
64
B．-
1 32
C．- D．前三个答案都不对
x12
8．设a,b,c为实数，a,c≠0，方程ax+bx+c=0的两个虚数根x1,x2满足为实数，则
x2
2
2015k=0
∑(x
x1
2
)k等于 ( )
A．1 C
B． 0 D．前三个答案都不对
9．将12个不同物体分成3堆，每堆4个，则不同的分法种数为 ( )
A．34650 C．495
B．5940D．前三个答案都不对
10．设A是以BC为直径的圆上的一点，D,E是线段BC上的点，F是CB延长线上的点，已知BF=4,BD=2,BE=5,∠BAD=∠ACD,∠BAF=∠CAE,则BC的长为（ ）
A．11C．13
B．12D．前三个答案都不对
11．两个圆内切于K，大圆的弦AB与小圆切于L，已知AK:BK=2:5,AL=10,则BL的长为 ( )
A．24C．26
B．25
D. 前三个答案都不对
12．f(x)是定义在R上的函数，且对任意实数x均有2f(x)+f(x2-1)=
1，则f(等于（ ）
A．01
C．
3
1B．
2
D．前三个答案都不对
13．从一个正9边形的9个顶点中选3个，使得它们是一个等腰三角形的三个顶点的方法数是（ ）
A．30C．42
B．36
D．前三个答案都不对
14．已知正整数a,b,c,d满足ab=cd，则a+b+c+d有可能等于（ ）
A．101
B．301
C．401 D．前三个答案都不对
15．三个不同实数x,y,z满足x3-3x2=y3-3y2=z3-3z2，则x+y+z等于（ ）
A．-1 C．1
B．0
D．前三个答案都不对
16．已知a+b+c=
1( )
A．[10,11) C．[12,13)
B. [11,12)
D. 前三个答案都不对
17．在圆内接四边形ABCD中，BD=6，∠ABD=CBD=30?,则四边形ABCD的面积等于（ ）
A
． C
．
B
．
D．前三个答案都不对
18．1!+2!+ +2016!除以100所得的余数为( )
A．3 C．27
B．13D．前三个答案都不对
?x+y2=z3
?234
19．方程组?x+y=z的实数解组数为( )
?345?x+y=z
A．5 C．7
B．6
D．前三个答案都不对
x3+x3x3+x
20．方程()+=3x的所有实根的平方和等于( )
33
A．0 C．4
B． 2
D．前三个答案都不对
参考答案：
ABCDABDBDA BCABDCBBCC
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