篇一：2016北京大学博雅计划数学详细解析
1。3。4正确
3. ①DE?EF?r?OE??①
2
2
DE2?r2?OE2??②
1242?24?182
(②?①)?OE?
22
?OE?② 连接CF,?DOE??DFC
?
DFDC
??(24?18)?24?2r2 DODE
?r2?42?12则OE2?DE2?r2?72
?OE?4.分子为1的有....为2的有.
1111123456223345
，为3的有.为4的有为5的有共11种
563545
5方法1.韦达定理
由题可设其两根分别为x1，x2，?x1，x2为方程x?3x?1?0的两根，
22242???x1?x2?3?x1?x2?(x1?x2)?2x1x2?11?x1?ax1?bx1?c?0
????4，且?4，由两4222222
xx??1???12?x1?x2?(x1?x2)?2x1x2?x2?ax2?bx2?c?0
2
?0式相加、得119?11a?3b?2c?0①两式相减得 3a?b?33②
13②?4?①得到 a?b?2c??
方法2. 解析：设m是方程x2?3x?1?0的根，则m2?3m?1①，且m4?am2?bm?c?0②. ①代入②得，(9?a)m2?(6?b)m?c?1?0， 从而m也是方程(9?a)x2?(6?b)x?c?1?0的根，
9?a6?bc?1
??，即b??3a?33，c??a?10， 1?3?1故a?b?2c??13.
所以
.方法3.高次函数除法，既然x?3x?1?0的根也是方程x?ax?bx?c?0的根，则
2
4
2
x4?ax2?bx?c一定可分解，成(x2?3x?1)(x2?3x?m)（没有三次项）的形式，所以
可以用高次函数除法.
x2?3x?(a?10)
(x2?3x?1)x4?0x3?ax2?bx?c
x?3x?x
————————————
3x?(a?1)x 3x?9x?3x —————————
3
2
4
3
2
32
(a?10)x?(b?3)x?c所以?
?x4?ax2?bx?c?(x2?3x?1)(x2?3x?a?8)
?a?b?2c??13.
2
?3a?b?33?0
?a?c?10?0
1可知，x?ax?bx?c?(x?3x?1)(x?3x?m) 方法4.待定系数特殊化.由○
4222
不妨令m??1，则x?ax?bxc??x(?x3?x1)(?x3?1)此时a??11，b?0，c?1.?a?b?2c??13.
4222
?(x2?1)29?2x?x4?11x2?1
6.由题可知：
a?log4ka?log8k
?
a?log2ka?log4k
由合分比性质原式式
1
?log2k
1(a?log8k)?(a?log4k)1
??∴q? ?
3(a?log4k)?(a?log2k)?logk3
2
2
?210?210
7.①设A?coscos??cos? B?sinsin??sin?
1111111111111246201
???10B 则A?B?10sin?sin?sin??sin
21111111121
∴A??10
2
?210?1?1
②设A?coscos??cos?则sin?A????10sin ∴A??10
111111112112
2
z12(z1)2(z)z12z122?()??8. ①z1?z2为实数
z2z1z2z2z2
2015
z1z13z1k1?w20163
?3?1设?w 则w?1 ??()??0
z2z2z1?wk?02
②z1?rez2?re
i??i?
z1z12z132i?
?是实数 ?e ??re3i??3???或
z2z2z2
3??2? ?(
z13
)?1
z2
44C12?C84?C49.=5775 3
A3
10.??BAD??ACD ?AD?BC??2??3??4?
?
2
又?1??4
DE?=18FD则BC=11
2
11. ①做两圆公切线KC，延长BA交KC于C. KC?CL?CAK??CK BCACKAK??? CKCBBK?BL?25.
②在法①的基础上链接KL 则??CKL??CLK
??AKL??BKL?CKA??CBK
?AK:BK?AL:BL ?BL?25
??1??2??3?
?
? ?AD?BD?CD
2
12. ①∵2f(?x)?f[(?x)2?1]?1∴f(?x)?f(x) ∴f(x)是偶函数
2f(?f(1)?1?
?1
2f(1)?f(0)?1??f(?
3?2f(0)?f(?1)?
1?
2f(1)?f(0)?1?
1?
②2f(?1)?f(0)?1??f(?
3
2f(0)?f(?1)?
1??
13. 4?9=36减去147,258,369重合的六种=30 补充例16. :正方体的8个顶点可连成多少对异面直线
4
解：我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四面体共有体共C8?12?58,每个四面体有3
对异面直线,正方体中的8个顶点可连成3?58?174对异面直线
14.ab?cd?
adacp
?假设??，其中(p,q)?1设a?mp,d?np cbcdq
?c?mq,d?nq?a?b?c?d?(m?n)(p?q)?301?7?43
?令m?n?7或p?q?7即可.101，401为质数所以不行.所以选B
15.由题可知x,y,z为x?3x?c的三根∴x?y?z?3（三次函数韦达定理） 16.
由2?(4a?1?4b?1?4c?1)(1?1?
1)∵4a?1?4b?1?4c?1?7设4a?1?m，4b?1?n，4c?1?t 以n
为主元，设f(n)?
则f(n)?
'
3
2
f(n)先增后减，在端点处取得最小值，∴当n?7?m?n时f(n)取得最大值
当n?0或7?m?n时f(n)取得最小值f(n)min?{f(0),f(7?m)}
且f(0)?f(7?
m)，令g(m)
则g(m)?
`
当m?0或者m?7时，g(m)取得最小值。同理f(m)也如此∴f(m,n)min?f(0,0)或
f
(0,7)或f(7,0)?.
??12.
篇二：2015北京大学“博雅人才培养计划”面试题目及对策
2015北京大学“博雅人才培养计划”面试题目
1.北京申办冬奥会有哪些机遇和挑战
2.如何治理雾霾，有何建议
3.中国传统文化将如何走出去
4.微信在人际交往中的作用
5.欧洲历史上的分与合
6.如何看待中国申请冬奥会
面试分为两个阶段，第二阶段为一对一考察
理科生需在45分钟内，尝试解答一道物理题和一道数学题，然后分别接受一名物理考官和一名数学考官的一对一考察。
文科生需要先回答的题目则是一道语文题和一道历史题，一名贵州女生回忆，她抽到的语文题是人文经典有何标准，而历史题则是如何研究世界史。同样是一对一考察。
有家长透露，文科考生遇到的面试题还涉及如何看待微信在人际交往中的作用、欧洲历史上的分与合、如何看待中国申请冬奥会等。
题目不一定要做出来，只用说出思路就行
一位理科考生告诉记者，他们进入考场后，先拿到一道数学题目和物理题目，思考45分钟之后，他们被要求向考官解释自己的解题思路，“不一定要做出来，只用说出思路就行，你如果不会，老师还会现场教你”。
随后，每位考生还要单独接受两位考官的面试。多位理科考生表示，老师会现场调出初审时的材料，根据自己感兴趣的随机问一些问题；不少文科生表示，考官会提问当下的时政热点，比如“北京申办冬奥会有哪些机遇和挑战”、“如何治理雾霾，有何建议”、“中国传统文化该如何走出去”等问题。
篇三：2016年北京大学博雅计划数学试题
2016年北京大学博雅计划数学试题
选择题共20小题；在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确选项的代号填在表格中，选对得5分，选错扣1分，不选得0分.
1.直线y??x?2与曲线y??ex?a相切，则a的值为（）
A-3B -2 C-1 D 前三个答案都不对
2.已知三角形ABC的三边长分别为a,b,c，有以下4个命题：
a2,b2,c2为边长的三角形一定存在；⑶以a?bb?cc?a,,为边222长的三角形一定存在；⑷以a?b?1,b?c?1,c?a?1为边长的三角形一定存在，其中正确命题的个数为（）
A 2 B 3 C4 D 前三个答案都不对
3.设AB,CD是圆O的两条互相垂直的直径，弦DF交AB于点E，DE?24,EF?18，则OE等于（）
A
D 前三个答案都不对
q?1,x?,(p,q)?1,p,q?N*,1?4.函数f(x)??p，则满足x?(0,1)且f(x)?的x的个数为（ ） p7?0,x?Q,?
A 12B13C 14 D 前三个答案都不对
2425.若方程x?3x?1?0的根也是方程x?ax?bx?c?0的根，则a?b?2c的值为（ ）
A -13B -9 C-5 D 前三个答案都不对
6.已知k?1，则等比数列a?log2k,a?log4k,a?log8k的公比是（） 111 BC D前三个答案都不对 234
?2?10??cos7. 计算coscos的值为（ ） 111111
111A ? B ? C ? D 前三个答案都不对 641632A
2015xkx128.设a,b,c为实数，a,c?0，方程ax?bx?c?0的两个虚根x1,x2满足为实数，则?(1)等于（）
x2k?0x22
D 前三个答案都不对
9.将12个不同的物体分成3堆，每堆4个，则不同的分法种类为（）
A 34650 B5940 C 495 D 前三个答案都不对
10. 设A是以BC为直径的圆上的一点，D,E是线段BC上的点，F是CB延长线上的点，已知BF?4,BD?2,BE?5,?BAD??ACD,?BAF??CAE，则BC的长为（ ）
A11B 12 C13 D前三个答案都不对
11. 两个圆内切于点K,大圆的弦AB与小圆切于点L，已知AK:BK?2:5，AL?10，则BL的长为（ ）
A 24 B 25 C26D 前三个答案都不对
12.f(x)是定义在R上的函数，且对任意实数x均有2f(x)?f(x2?1)?
1，则f(等于（ ） A 0 B 11 C D 前三个答案都不对 23
13.从一个正9边形的9个顶点中选3个使得它们是一个等腰三角形的三个顶点的方法数是（）
A 30 B36 C42D 前三个答案都不对
14. 已知正整数a,b,c,d满足ab?cd，则a?b?c?d有可能等于（ ）
A 101 B 301 C401 D 前三个答案都不对
15. 三个不同的实数x,y,z满足x3?3x2?y3?3y2?z3?3z2，则x?y?z等于（ ）
A -1 B0 C1 D 前三个答案都不对
16.已知a?b?c?
1的最大值与最小值的乘积属于区间（ ）
A[10,11)B[11,12)C[12,13)D前三个答案都不对
17.在圆内接四边形ABCD中，BD?6,?ABD??CBD?300，则四边形ABCD的面积等于（）
A
前三个答案都不对
18.1!?2!?3!???2016!除以100所得的余数为（）
A3 B 13 C 27 D 前三个答案都不对
?x?y2?z3,?23419.方程组?x?y?z,的实数解的组数为（ ）
?x3?y4?z5?
A 5 B 6 C 7 D 前三个答案都不对
x3?x3x3?x)??3x的所有实根的平方和等于（ ） 20.方程(33
A 0 B 2 C 4 D 前三个答案都不对
2016年北京大学博雅计划数学试题答案
ABCDA BDBDA BCABD CBBCC
略解：
1.由于(?ex?a)/??ex?a，于是切点横坐标为x??a，从而有?(?a)?2??e?a?a，解得a??3.
2.不妨假设0?a?b?c,a?b?c
??0；⑵错误，a?2,b?3,c?4即为反例； ⑶正确，因为有a?bc?ab?c???a?0； 222
⑷正确，因为有(a?b?1)?(b?c?1)?(c?a?1)?(a?b)?(b?c)?c?a?0
3.如图，连接CF，由于?DOE与?DFC相似，因此DO?DC?DE?DF，从而DO2?24?21，
因此OE??111213123415的x的个数为11，分别为,,,,,,,,,,。 7233445555664.满足x?(0,1)且f(x)?
5.根据题意，有(x2?3x?1)(x2?3x?c)?x4?ax2?bx?c，
于是a??c?10,b?3c?3，从而a?b?2c??13。
111x,a?x成等比数列，从而x??4a，进而可得公比为. 233
?2?10??2?4?5?8??coscoscoscos) 7.根据题意，有coscos=(coscos1111111111111111
3?6?7?9?10??2?4?8?16?21(coscoscoscoscos)=?(coscoscoscoscos)?? 1111111111111111111110246.令log2k?x，则a?x,a?
8.因为一元二次方程的虚根必然共轭，因此可设x1?r(cos??isin?),x2?r(cos??isin?)， k?x12x2k?2k?(k?Z)，于是1?cos从而， ?r(cos3??isin3?)为实数，所以???isin3x233x2
2015
所以?(
k?0x1k)?x21?(x12016)x2?0. 11?x2
44C12?C84?C49.不同分法数有?5775. 3A3
10.因为?BAF??CAE,于是AE?AF，又因为?BAD??ACD，于是AD?BC，
2故AD?DE?DF?DB?DC，解得DC?9，从而BC?11
11.如图，设BK与小圆交于点M，连接ML，CD为两圆在K处的公切线，由弦切角定理得:
?DKM??BAK??KLM,又?KLA??KML,所以?AKL??BKL,因此由角平分线定理可得： AL:BL?AK:BK,从而可得BL?
25
(1)?1,?2f(0)?f?1??1,，解得f(0)?f(1)?f?(1)，再
令x?，可得
：12.分别令x?0,1,，可得?2f(1)?f(0)?13?2f(?1)?f(0)?1?
1f(? 2f()?f(1)?
，从而13
13.以正9边形的某个顶点为等腰三角形的底边所对顶点的等腰三角形有4个，其中有一个是等边三角形，因此所有的方法数为3?9?1?9?30 3
14.考虑a?mn,b?pq,c?mp,d?nq。则a?b?c?d?mn?pq?mp?nq?(m?q)(n?p)
于是a?b?c?d不是质数即可，如301?7?43?(1?6)(1?42)
于是取a?1,b?252,c?42,d?6可得答案
315.设x3?3x2?y3?3y2?z3?3z2?m，则x,y,z是关于t的方程t?3t?m的三个实根，其中m为常数，
由韦达定理可知x?y?z?3。
/16.
设函数f(x)?
，则其导函数f(x)?1，做出函数f(x)的图像，函数f(x)在x?处的切线
3y?131，以及函数f(x)的图像过点(?
,0)和(的割线y?，如图
x(x?)?42
7331， x???x?)?31311或x?时取得；右侧等号当x?
，当a?b?c?时取
4233
13得；最小值为，当a?b??,c?
时取得，从而原式最大最小值的乘积42左侧等号当x??. ?17.如图，连接AC，有CD?
AD且AC?,则有托勒密定理可得
AB?CD?AD?BC?AC?BD,
即AD(AB?BC)?,
于是AB?BC?
进而SABCD?S?ABD?S?CBD?
18.由于当n?10且n?N时，100n!，于是 3(AB?BC)?. 2
1!?2!?3!???2016!?1!?2!?3!???9！(mod100)
?1?2?6?24?20?20?40?20?80(mod100)?13(mod100)
2219.顺次记方程中的方程为①，②，③，则①?③-②可得xy(x?y)?0从而x?0或y?0或x?
y 2
情形一：x?0或y?0此时可得(x,y,z)?(0,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(?1,0,?1)
情形二：x?
y此时可得(x,y,z)?(?1,?综上所述，原方程共有7组实数解。 x3?x20.令f(x)?，则原方程等价于f(f(x))?x，因为函数f(x)是R上的增函数，故原方程又等价于f(x)?x，
3
所以原方程的所有实根为4。
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