篇一：数学史上的三次危机及其解决
论数学史上的三次数学危机
学号：100521026姓名：付东群
摘要：数学发展从来不是完全直线，而是常常出现悖论。历史上一连串的数学悖论动摇了人们对数学的可靠性的信仰，数学史上曾经发生了三次数学危机。数学悖论的产生和危机的出现，不单给数学带来麻烦和失望，更重要的是给数学的发展带来新的生机和希望，促进了数学的繁荣。危机的产生、解决，又产生的无穷反复过程，不断推动着数学的发展，这个过程也是数学思想获得重要发展的过程。
关键词：数学危机；无理数；微积分；集合论；悖论；
引言：数学史不仅仅是单纯的数学成就的编年记录。数学的发展决不是一帆风顺，在更多的情况下是充满犹豫、徘徊，要经历艰难曲折，甚至面临危机。数学史也是数学家们克服困难和战胜的斗争记录。无理数的发现，微积分和非欧集合的创立，乃至费马定理的证明......这样的例子在数学史上不胜枚举，他们可以帮助人们了解数学创造的完美过程。对这种创造的过程的了解则可以使我们从前人的探索与奋斗中西区教益，获得鼓舞和增强信心。
第一次数学危机（无理数的产生）
第一次危机发生在公元前580～568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。这个学派集宗教、科学和哲学于一体，该学派人数固定，知识保密，所有发明创造都归于学派领袖。
(一)、危机的起源
毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，这个数就是整数，他们确定数学的目的是企图通过数的奥秘来探索宇宙的永恒真理，并且认为宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比。后来这个学派发现了毕达哥拉斯学定理（勾股定理），他们认为这是一件很了不起的事，然而了不起的事后面还有更了不起的事。毕达哥拉斯学派的希帕索斯从毕达哥拉斯定理出发，发现边长为1的正方形对角线不能用整数来表示，这就产生了这个无理数。这无疑对“万物皆数”产生了巨大的冲击，由此引发了第一次数学危机【1】。
（二）、危机的解决
由无理数引发的第一次数学危机对古希腊的数学观点产生了极大的冲击。动摇数学基础的第一次危机并没有很轻易地被解决。大约到了公元前370年，这个矛盾终于被毕达哥拉斯学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法巧妙的处理了。但这个问题直到19世纪的戴德金和康托尔等人建立了现代实数理论才算彻底解决了。
（三）、对数学发展的意义
第一次危机的产生最大的意义是导致了无理数地产生，打破了长时间的禁锢数学发展的枷锁。这次数学危机也使整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了，在以后的一两千年中，几何支撑了数学的发展。同时危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是最可靠的，从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命 第二次数学危机（微积分工具）
18世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。但是不管是牛顿，还是莱布尼茨所创立的微积分理论都是不严格的。
（一）、危机的起源
因为牛顿和莱布尼茨的微积分理论是建立在无穷小分析之上的，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与应用是混乱的。1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，矛头指向微积分的基础——无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。笼统的说，贝克莱悖论可以表述为“无穷小量究竟是否为0”的问题。这一问题的提出在当时的数学界引起了一定的混乱，由此导致了第二次数学危机的产生【2】。
（二）、危机的解决
为了解决第二次数学危机，数学家们开始在严格化基础上重建微积分，其中贡献最大的是法国数学家柯西，他在《分析教程》和《无穷小计算讲义》中给出了数学分析一系列基本概念的精确定义。例如：他给出了精确的极限定义，然后用极限定义连续性、导数、微分，定积分和无穷级数的收敛性。后来，魏尔斯特拉斯及其追随者们实现了分析的算术化。至此，数学史上的第二次危机已经克服，数学的整个结构已被恢复【3】。
（三）、对数学发展的意义
牛顿和莱布尼茨创立的微积分理论虽然存在一定的缺陷，但微积分仍然很受重视，被广泛地应用于物理学、力学、天文学中。危机爆发后，经过柯西等人的不懈努力，严格的极限理论建立起来了，为微积分奠定了理论基础。微积分理论的建立在数学史上有深远的意义。一方面它消除了微积分长期以来的神秘性，使数学以及其他科学冲破了宗教的束缚，为以后的独立发展创造了条件；另一方面，微积分理论基础的建立加速了微积分的发展，产生了复变函数、实变函数、微分方程、变分学、积分方程、泛函分析等学科，形成了庞大的分析体系，成为数学的重要分支【4】。
第三次数学危机（罗素悖论）
到19世纪末，康托尔的集合论已经得到数学家的承认，集合论也成功地应用到其他的数学分支。集合论是数学的基础，由于集合论的使用，数学似乎已经达到了无懈可击的地步。但是，正当数学家们熟练地应用集合论时，数学帝国又爆发了一次危机。
（一）、危机的起源
康托尔集合论的创造性成果为数学提供了广泛的理论基础，所以在1900年巴黎国际数学会议上，法国大数学家庞加莱宣称：“数学的严格性，看来直到今天才可以说实现了。”但事隔两年后，却传出一个惊人的消息：集合论的概念本身出现了矛盾。这就是英国数学家罗素提出的著名的悖论，罗素悖论的内容用一句话表述就是：所有不以自己为元素的集合组成一个集合，记为A；则有集合A包含A等价于集何A不包含A这样的悖理【5】。罗素悖论一提出就在当时的数学界和逻辑学界引起了极大的震动。这一悖论引起的巨大反响则导致了数学史上的第三次危机。
（二）、危机的解决 危机产生后，数学家纷纷提出自己的解决方案。其中以罗素为主要代表的逻辑主义学派，提出了类型论以及后来的曲折理论、限制大小理论、非类理论和分支理论，这些理论都对消除悖论起到了一定的作用；而最重要的是德国数学家策梅罗提出的集合论的公理化，策梅罗认为，适当的公理体系可以限制集合的概念，从逻辑上保证集合的纯粹性，他首次提出了集合论公理系统，后经费兰克尔、冯·诺伊曼等人的补充形成了一个完整的集合论公理体系（ZFC系统）【6】，ZFC系统的建立，使各种矛盾得到回避，从而消除了罗素悖论为代表的一系列集合悖论，第三次数学危机表面上解决了。
（三）、对数学发展的意义
集合论公理系统的建立，成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机。但在另一方面，罗素悖论对数学而言有着更为深刻的影响，它使得数学基础问题第一次以最迫切的需要的姿态摆到数学家面前，导致了数学家对数学基础的研究。为了消除第三次数学危机，数理逻辑也取得了很大发展，证明论、模型论和递归论相继诞生，出现了数学基础理论、类型论和多值逻辑等。可以说第三次数学危机大大促进了数学基础研究及数理逻辑的现代性，而且也直接造成了数学哲学研究的“黄金时代”。
四、悖论与数学发展
历史上的三次数学危机，给数学界带来了极大的麻烦，危机的产生使数学家认识到了现有理论的缺陷，科学中悖论的产生常常预示着人类的认识将进入一个新阶段，所以悖论是科学发展的产物，又是科学发展动力之一。希帕索斯悖论、贝克莱悖论以及罗素悖论分别引发了数学发展史上的三次危机。然而，这三次危机又不同程度的促进了数学的发展。第一次数学危机使人们发现无理数，建立了完整的实数理论，欧氏几何也应运而生并建立了几何公理体系；第二次数学危机促成了分析基础理论的完善与集合论的创立；第三次数学危机促成了数理逻辑的发展与一批现代数学的产生，使集合论成为一个完整的集合论公理体系。 总结：数学史上的三次危机，虽给数学的发展带来了空前的困难，但是给数学以极大的推动。这三次危机的解决都丰富了数学理论，推动了数学的严密化发展。经历了历史上三次数学危机的数学界，是否从此就与数学危机“绝缘”呢？不！因为人类的认识在各个历史阶段中的局限性和相对性，在人类的认识的各个历史阶段所形成的各个理论系统中，本来就具有悖论产生的可能性，但在人类认识世界的深化过程中同样具有排除悖论的可能性，数学大厦的基础任然存在着裂缝，并不如想象中的那样完美与和谐。因此，我们要正确的看待数学史所产生的危机和他对数学等学科发展所起的巨大作用。
参考文献：
【1】王保红.数学三次危机的认识论意义[J].山西教育学院学报，2001，第4期：106-107.
【2】董海瑞.漫谈数学史上的三次危机[J].太原大学教育学院学报，2007年6 月，83（25）.
【3】陈云波.数学发展史上的三次危机[J].教学与管理，2004.
【5】王桂芹.数学在克服危机中前进[J].天中学刊，2000,15（5）：65-67.
【4】赵院娥.乔淑莉.悖论及其对数学发展的影响[J]。延安大学学报2004,2（1）：21-25
【6】聂铭.三次数学危机的产生与解决[J].六盘水师专学报，2011,13（4）.
篇二：数学史上的三次危机
数学史上的三次危机
张清利
第一次数学危机
在古代的数学家看来与有理数对应的点充满了数轴，现在尚未深入了解数轴性质的人也会这样认为。因此，当发现在数轴上存在不与任何有理数对应的一些点时，在人们的心理上引起了极大震惊，这个发现是早期希腊人的重大成就之一。它是在公元前5世纪或6世纪的某一时期由毕达哥拉斯学派的成员首先获得的。这是数学史上的一个里程碑。毕达哥拉斯学派发现单位正方形的边与对角线不可公度，即对角线的长不能表为p/q的形式，也就是说不存在作为公共度量单位的线段。后来，又发现数轴上还存在许多点也不对应于任何有理数。因此，必须发明一些新的数，使之与这样的点对应，因为这些数不能是有理数，所以把它们称为无理数。 例如，2,,,22,?等都是无理数。无理数的发现推翻了早期希腊人坚持的另一信念：给定任何两个线段，必定能找到第三线段，也许很短，使得给定的线段都是这个线段的整数倍。事实上，即使现代人也会这样认为，如果他还不知道情况并非如此的话。
第一次数学危机表明，当时希腊的数学已经发展到这样的阶段：
1． 数学已由经验科学变为演绎科学；
2． 把证明引入了数学；
3． 演绎的思考首先出现在几何中，而不是在代数中，使几何具有
更加重要的地位。这种状态一直保持到笛卡儿解析几何的诞生。
中国、埃及、巴比伦、印度等国的数学没有经历这样的危机，因而一直停留在实验科学。即算术阶段。希腊则走上了完全不同的道路，形成了欧几里得的《几何原本》与亚里士多得的逻辑体系， 而成为现代科学的始祖。
在当时的所有民族中为什么只有希腊人认为几何事实必须通过合乎逻辑的论证而不能通过实验来建立？这个原因被称为希腊的奥秘。
总之，第一次数学危机是人类文明史上的重大事件。
无理数与不可公度量的发现在毕达哥拉斯学派内部引起了极大的震动。首先，这是对毕达哥拉斯哲学思想的核心，即“万物皆依赖于整数”的致命一击；既然像2这样的无理数不能写成两个整数之比，那么，它究竟怎样依赖于整数呢？其次，这与通常的直觉相矛盾，因为人们在直觉上总认为任何两个线段都是可以公度的。而毕达哥拉斯学派的比例和相似形的全部理论都是建立在这一假设之上的。突然之间基础坍塌了，已经建立的几何学的大部分内容必须抛弃，因为它们的证明失效了。数学基础的严重危机爆发了。这个“逻辑上的丑陋”是如此可怕，以致毕达哥拉斯学派对此严守秘密。据说，米太旁登的帕苏斯把这个秘密泄漏
了出去，结果他被抛进了大海。还有一种说法是，将他逐出学派，并为他立了一个墓，说他已经死了。
这个“逻辑上的丑陋”是数学基础的第一次危机，既不容易，也不能很快地消除。大约在公元前370年才华横溢的希腊数学家欧多科索斯以及柏拉图和毕达哥拉斯的学生阿契塔给出两个比相等的定义，从而巧妙地消除了这一逻辑上的丑陋.他们给出的定义与所涉及的量是否可公度无关。其实这也是自然的，因为两个线段的比本来与第三个线段无关。当然从理论上彻底克服这一危机还有待于现代实数理论的建立。在实数理论中，无理数可以定义为有理数的极限，这样又恢复了毕达哥拉斯的“万物皆依赖于整数”的思想。
第二次数学危机
公元前5世纪出现了数学基础第一次灾难性危机，这就是无理数的诞生。这次危机的产生和解决大大地推动了数学的发展。
在微积分的发展过程中，一方面是成果丰硕，另一方面书记法的不稳固，出现了越来越多的谬论与悖论。数学的发展又遇到了深刻令人不安的危机。由微积分的基础所引发的危机在数学史上称为第二次数学危机。
虽然在牛顿和莱布尼茨创立微积分之后的大约一百年中，很少注意到从逻辑上加强这门学科的基础，但绝不是对薄弱的基础没有人批评。一些数学家进行过长期的争论，并且，两位创立者本人对此学科的有关概念也不满意。对有缺陷的基础强有力批评来自一位非数学家，这就是著名的唯心主义哲学家贝克莱主教。他坚持：微积分的发展包含了偷换假设的逻辑错误。我们以考察牛顿对现在称作为微分所采用的方法，来弄明白这个特殊的批评。
早期的微积分常称为“无穷小分析”，其原因在于微积分建立在无穷小概念之上。牛顿、莱布尼茨概莫能外。当时所谓的无穷小并不是“以零为极限的变量”。后者的概念是清晰的，而前者是一种含糊不清的东西，从牛顿的流数法中便可窥见一斑。
牛顿称变量为“流量”，流量的微小改变量称为“瞬”，即无穷小，变量的变化率称为“流数”。以求函数y?x的导数为例来说明牛顿的流数法。
设流量x有一改变量“瞬”，牛顿记作“?”，相应地，y便从x变为(x??)，则y的改变量为
333(x??)3?x3?3x2??3x?2??3
求比值
(x??)3?x3
??3x2?3x???2
32在舍去含?乘积的项，于是得到y?x的流数3x。
这一做法似乎与求导数的方法与步骤一样，其实有着天壤之别。求导数步骤中的前两步是算术运算，第三步是求极限，都是合乎逻辑的、毋庸置疑的；但牛顿的流数法却充满了逻
辑混乱。首先，作为瞬的“?”，与费尔马的“E”、莱布尼茨的“dx”一样，都是所谓的无穷小量，但是什么是无穷小量，他们谁也说不清。牛顿认为他引入的无穷小量“?”是一个非零增量，但又说“被他所乘的那些量可以算作没有”。牛顿本人也力图摆脱无穷小量的困惑，提出“最初比”、“最终比”等仍然说不清的新词语。莱布尼茨也发生怀疑，提出“无穷小是不是真正存在？它们有没有严格的根据？”最后说：“我想这可能仍是疑问”。其次，牛顿求流数的方法也不合乎逻辑，先认为“?”不是零，求出y的改变量，而后又认为“?”是零，这违背了逻辑学中的同一律。
初期的微积分由于逻辑混乱，引起了不少数学家的非议和责难。英国大主教贝克莱的抨击最为激烈，由此围绕微积分基础大论战便开始了。数学家、哲学家和神学家都纷纷卷入其中，被称为第二次数学危机。
历史要求给微积分以严格的基础。
第一个为补救第二次数学危机提出真正有见地的意见的是达朗贝尔。他在1754年指出，必须用可靠的理论去代替当时使用的粗糙的极限理论。但是他本人未能提供这样的理论。最早使微积分严谨化的拉格朗日。为了避免使用无穷小推断和当时还不明确的极限概念，拉格朗日曾试图把整个微积分建立在泰勒式的基础上。但是，这样一来，考虑的函数范围太窄了，而且不用极限概念也无法讨论无穷级数的收敛问题。所以，拉格朗日的以幂级数为工具的代数方法也未能解决微积分的奠基问题。
到了十九世纪，出现了一批杰出的数学家，他们积极地为微积分学的奠基工作而努力。首先要提到的是捷克的哲学家和数学家波尔查诺。他开始将严格的论证引入导数学分析中。1816年他在二项展开公式的证明中，明确地提出了级数收敛的概念。同时对极限、连续、变量有了较深入的理解。特别是他曾写出《无穷的悖论》一书，书中包含许多真知灼见。可惜，在他去世两年后该书才得以出版。
分析学的奠基人，公认为法国多产数学家柯西。柯西在数学分析和置换群理论方面做了开拓性的工作，是最伟大的近代数学家之一。他在1821年——1823年间出版的《分析教程》和《无穷小计算讲义》是数学史上划时代的著作。在那里他给出了数学分析一系列基础概念的精确定义，例如，他给出了精确的极限定义，然后用极限定义连续性、导数、微分、定积分、无穷级数的收敛性。这些定义基本上就是我们今天微积分课本中使用的定义，不过现在写得的更加严格一点。
第三次数学危机
到了十九世纪末，康托尔的集合论已经得到了数学家们的承认。集合论成功地应用到了其它的数学分支。集合论是数学的基础，由于集合论的使用，数学似乎已经达到了“绝对的严格”。但是，正当大家兴高采烈地庆祝数学的绝对严格时，数学王国的大地爆发了另一次强烈的地震。
数学基础的第三次危机是由1897年的突然冲击而出现的。这次危机是由于在康托尔的一般
集合论的边缘发现的悖论造成的。因为那么多数学分支都建立在集合论的基础上，所以集合论中悖论的发现自然引起了对数学的整个基础结构的有效性的怀疑。
1897年意大利数学家福蒂揭示了集合论中的第一个悖论。他的悖论的实质可以用康托尔在两年以后很相似的悖论来描述。康托尔曾证明了：对于任意给定的超限数，总存在一个比它大的超限数，所以不存在最大的超限数。现在考虑这样一个集合，它的元素是所有可能的集合。肯定地，没有一个集合含的元素个数比这个集合的元素个数多。但是，如果情况真如此，怎么可能有一个超限数比这个集合的超限数大呢？
福蒂和康托尔的悖论深入到集合论，但英国数学家罗素于1902年发现一个悖论，它除了集合概念本身外不需要别的概念。在描述罗素悖论之前，我们注意下面的事实：一个集合或者是它本身的成员，或者不是它本身的成员。
例如，抽象概念的集合本身是抽象概念，但是，所有人的集合不是一个人；所有集合的集合本身是一个集合，但是，所有星的集合不是一个星。
我们以M表示是它们本身的成员的所有集合的集合，而以N表示不是它们本身成员的所有集合的集合。现在我们问：集合N是否是它本身的成员，如果N是它本身的成员，则N是M的成员， 而不是N的成员，于是N不是它本身的成员。另一方面，如果N不是它本身的成员，则N是N的成员， 而不是M的成员，于是，N是它本身的成员。悖论在于无论哪一种情况我们都得到矛盾。
罗素悖论曾以多种形式通俗化。这些形式中最著名的是罗素1919年给出的，称为理发师悖论。某村的一个理发师宣称，他给所有不给自己刮脸的刮脸。于是出现这样的困境：理发师是否给自己刮脸呢？如果他给自己刮脸，那他就违背了自己的原则；如果他不给自己刮脸，那他就应该为自己刮脸。
罗素的悖论在数学中引起了真正的麻烦。罗素将他的悖论写信告诉了数理逻辑的先驱弗雷格，而弗雷格正好完成他的关于算术基础的二卷巨著。弗雷格接到信后，在其著作的末尾伤心地写道：“一个科学家遇到的最不愉快的事莫过于，当他的工作完成时，基础崩塌了。当本书的印刷要完成时，罗素先生的信就使我陷入这样的境地。”这样就出现了数学史上的第三次危机。
第三次数学危机使数学家们意识到，应当建立某种公理系统来对集合论作出必要的规定，以排除“罗素悖论”和其它悖论。于是数学家们便忙碌起来，不久就出现了好几种公理系统。
康托尔的集合论产生悖论的原因之一是，康托尔的集合论中有“一切集合的集合”的概念，为了不产生悖论，策海洛在1908年提出一种公理系统，这种公理系统由弗兰克尔在1821年加以改进，形成了目前公认的彼此无矛盾的公理系统，简称ZF公理系统。
第三次数学危机从整体看来还没有解决到令人满意的程度。
悖论浅谈
数学悖论是数学发展过程中的一个重要存在形态，它使数学理论体系中出现一种尖锐矛盾，对于这一矛盾的处理与研究，丰富了数学内容，促进了数学的发展。下面先列出几个历史上有名的悖论，然后给出悖论的含义，阐述数学悖论的产生、实质和意义。
1.历史上有名的几个悖论
（1）阿基里斯悖论公元前400多年，古希腊埃里亚学派巴门尼德的门徒芝诺提出了阿基里斯悖论，用来反对赫拉克利特的流动说，以维护埃利亚学派的静止说。古代神话中一位跑得最快的人叫阿基里斯，他永远追不上爬得很慢的乌龟。，这就是所谓的阿基里斯悖论。意思是说，阿基里斯的速度永远大于乌龟，但乌龟比阿基里斯先行一段距离AB，阿基里斯在A点作为起跑线，乌龟在B点作为起跑线，当阿基里斯跑到B点时，乌龟已爬到B1点；当阿基里斯跑到B1点时，乌龟又前进到B2点；当阿基里斯跑到B2点时，乌龟该爬到B3点；如此下去，以至于阿基里斯永远也追不上乌龟。
（2）伽利略悖论
1638年，伽利略指出以下事实：
对于每一个自然数n，都有一个平方数n与之对应，且仅有一个平方数与之对应，即 1， 2， 3，?， n，? 2
12， 22， 32，?， n2，?
所以，平方数的总数等于自然数的总数，平方数集是自然数集的部分，因此，部分等于全部。而全体大于部分，这就是伽利略悖论。
（3）撒谎者悖论 公元4世纪欧几里得提出了如下的撒谎者悖论：我现在所说的是假话。如果这句话为真，则可推出它为假。反之，由它的假，可以导致它为真。这就构成了悖论。但是这样一个前提太强，给人的感觉似乎是人为地制造悖论。后来，人们构造了等价于撒谎者悖论的强化了的撒谎者悖论，即“永恒性撒谎者悖论”，其含义如下：
“在本页本行里所写的那句话是谎话”。
由于上述行里除了这句话本身之外别无它话，因此，若该话为真，则要承认说话之结论，从而推出该话为假。反之，若该话为假，则应肯定该话结论的反面为真，从而推出该话为真。形成悖论的症结在于作论断的话与被论断的话混而为一。要排除这种悖论在于语言的分层，这是语义学所研究的内容。
2.悖论的含义
阿基里斯悖论是对极限的片面理解所造成的，伽利略悖论是属于基于传统观念而形成的。“整体大于部分”这一结论，只适用于有限量，对于无限量是不适用的。悖论有各种不同的说法，弗伦克尔和巴西勒尔对悖论作了如下定义：
如果某一理论的公理和推论原则上看是合理的，但在这个理论中却推出了两个互相矛盾的命题，或者证明了这样一个复杂命题，它表现为两个互相矛盾的命题的等价式。那么，我们就说这个命题包含了一个悖论。罗素悖论正是体现了了这一含义。
篇三：第一次数学危机 数学史论文
鲁东大学 数学与信息学院2010－2011学年第一学期
《 数学史 》课程论文 课程号：2102192
任课教师范永顺 成绩
第一次数学危机的产生及对数学发展的影响
数学中有各种各样的许多矛盾，比如说正与负、加与减、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等等。在整个数学发展过程中，还有许多深刻的矛盾，例如有穷与无穷、连续与离散、存在与构造、逻辑与直观、具体对象与抽象对象、概念与计算等等。在数学史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。当矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就会产生数学危机。而危机的解决，往往能给数学带来新的内容、新的发展，甚至引起革命性的变革。数学的发展就经历过三次关于基础理论的危机。今天我们就主要了解一下第一次数学危机的产生及其对数学发展的影响。
1. 数学史上的的第一次危机
1.1 什么是数学危机
为了讲清楚数学危机的来龙去脉，首先来说明什么是数学危机。一般来讲，危机是一种激化的、非解决不可的矛盾。从哲学上来看，矛盾是无处不在的、不可避免的，即便以确定无疑著称的数学也不例外。
1.2 第一次数学危机
人类对数的认识经历了一个不断深化的过程，在这一过程中数的概念进行了多次
扩充与发展。其中无理数的引入在数学上更具有特别重要的意义，它在西方数学史上曾导致了一场大的风波，史称“第一次数学危机”。 1.2.1 数学的第一次危机的产生。
第一次危机发生在公元前580～568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。这个学派集宗教、科学和哲学于一体，该学派人数固定，知识保密，所有发明创造都归于学派领袖。当时人们对有理数的认识还很有限，对于无理数的概念更是一无所知，毕达哥拉斯学派所说的数，原来是指整数，他们不把分数看成一种数，而仅看作两个整数之比，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比。该学派的成员希伯索斯根据勾股定理（西方称为毕达哥拉斯定理）通过逻辑推理发现，边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示。希伯索斯的发现被认为是“荒谬”和违反常识的事。它不仅严重地违背了毕达哥拉斯学派的信条，也冲击了当时希腊人的传统见解。使当时希腊数学家们深感不安，相传希伯索斯因这一发现被投入海中淹死，这就是第一次数学危机。
从某种意义上来讲, 现代意义下的数学, 也就是作为演绎系统的纯粹数学, 来源于古希腊毕达哥拉斯学派, 这个学派兴旺的时期为公元前五百年左右。它是一个唯心主义学派。他们重视自然及社会中不变因素的研究, 把几何、算术、天文学、音乐称为 四艺!, 在其中追求宇宙的和谐及规律性。 四艺!即 数学!, 毕达哥拉斯学派首次使用了 数学!这个词。他们认为 万物皆数!, 数学的知识是可靠的、准确的, 而且可以应用于现实的世界。数学的知识是由于纯粹的思维而获得, 并不需要观察、直觉及日常经验。毕达哥拉斯学派从前人所取得的数论研究成果出发开始研究所谓的毕达
哥拉斯数? ? ? 整数。毕达哥拉斯学派在数学上的一项重大发现是证明了毕达哥拉斯定理即我们所说的勾股定理。就是指直角三角形三边有如下关系的一个命题, 即:
a2 + b2 = c2 ( 1) a 和b分别代表直角三角形的两条直角边, c表示斜边。这个学派还认为满足( 1)式的数有无穷多个,并提供了下述三元数组, 即若是奇数,并且m > 1则有
a = m, b= 1/2(m2 - 1), c= 1/2(m2 + 1) ( 2) 将上面两个式子代入( 1)得 2( 2p’- 1) 2 = ( 2q’) 2
即 2( 4p’2 - 4p’+ 1) = 4q’2 两边除以2得4p’2- 4p’+ 1= 2q’2
观察此式可看出等式左边为奇数, 右边为偶数, 这样出现奇数等于偶数, 引出矛盾。故2是无理数。目前, 证明2是无理数的方法很多, 无论是用初等数学知识还是高等数学知识都可以证明2是无理
这三元数组只是使( 1)式成立的充分条件, 而不是必要条件。当毕达哥拉斯学派进一步致力于等式( 1)和等式( 2) 的研究时, 米太旁登的希帕苏斯, 发现了在等腰直角三角形中, ( 1) 式中出现了下述结果:
2a2 = c2 ( 3) 如果直角三角形的两条直角边都等于1时, 其斜边的长就恰好等于2# 。而2与1 找不到可以公度的几何实体, 这在当时的认识水平下, 无疑是一个? 88?矛盾。此外, 2是否是个数? 对于毕达哥拉斯学派来说, 这确实是一个可怕的问题。因为如果承认它是数, 就要与 数即万物!中所说的整数发生不可调和的矛盾。相传当时毕达哥拉斯学派的人正在海上, 就因这一发现把希帕苏斯投到海里, 因为他在宇宙中搞出这样一个东西否定了毕达哥拉斯学派的信条? ? ? 宇宙中的一切现象都归结为正整数或正整数之比。等式( 3)所引出的2对于毕达哥拉斯学派是一个致命的打击。 数即万物!的世界观被彻底地动摇了。由此引发了数学的第一次危机% 。毕达哥拉斯学派把那些能用整数之比表达的比称作可公度比, 意即相比两量可用公度单位量尽, 而把不能这样表达的比称作不可公度比。 1.2.2 数学的第一次危机的解决。
数学的第一次危机的解决大约在公元前370年, 才华横溢的希腊数学家毕达哥拉斯的学生阿契塔和欧多克索斯以及柏拉图给出两个相等的定义从而消除了这次危机。他们给出的定义与所涉及的量是否有公度无关, 其实这也是自然的, 因为两个线段的比本来与第三个线段无关。
毕达哥拉斯学派首先给出了以单位长为边的正 方形的对角线的长度不能用整数之比来表示的证明 方法, 证明过程如下:
假设: 根号二是有理数, 设根号二等于 q/p ( p, q 均为自然数,且( p, q ) = 1), ∴ 根号二乘以p等于 q
两边平方得 2p2 = q2 ( 1) ∴q2 必是2的倍数, ∴q2 也是2的倍数, ∵ (p, q ) = 1, ∴ p 为奇数,
∴ 2q’( q’(是自然数), p= 2p’- 1(p是自然数),
数, 并且可以从不同的角度来加以证明, 例如: 从无理数被发现的角度, 从方程的角度, 从正整数的标准分解式的角度, 从数的进位制角度, 从自然数公理角度等等。随着数学学科的发展, 还____竉0可能会产生更多更新的证明方法。2是无理数的种种证明, 使我们对无理数有了进一步的认识, 对数学中的美、对各种丰富的数学思想方法会有更深刻的感受。
1.2.3 数学的第一次危机的实质。
从第一次数学危机的历史论述中可知, 哲学、逻辑与数学之间有紧密的联系, 正确的哲学思想对数学的发展具有十分重要的指导意义; 此外, 哲学与逻辑也必须不断总结数学的新成果来发展自己。这两方面的关系是不能偏废的, 否则就会使人类的知识出现不必要的曲折和危机。数学的第一次危机的实质主要在于数学家的思维囿于错误的哲学思想, 即主要在于数学家的思维被错误哲学思想支配了。2本来就是一个数, 但它的发现结果反而导致了数学的危机, 并成了 数即万物!, 而 数!又只能是整数或整数的比这种错误哲学观点的牺牲品。
二百年后，大约在公元前370年，才华横溢的欧多克索斯建立起一套完整的比例论。他本人的著作已失传，他的成果被保存在欧几里德《几何原本》一书第五篇中。欧多克索斯的巧妙方法可以避开无理数这一"逻辑上的丑闻"，并保留住与之相关的一些结论，从而解决了由无理数出现而引起的数学危机。但欧多克索斯的解决方式，是借助几何方法，通过避免直接出现无理数而实现的。这就生硬地把数和量肢解开来。在这种解决方案下，对无理数的使用只有在几何中是允许的，合法的，在代数中就是非法的，不合逻辑的。或者说无理数只被当作是附在几何量上的单纯符号，而不被当作真正的数。一直到18世纪，当数学家证明了基本常数如圆周率是无理数时，拥护无理数存在的人才多起来。到十九世纪下半叶，现在意义上的实数理论建立起来后，无理数本质被彻底搞清，无理数在数学园地中才真正扎下了根。无理数在数学中合法地位的确立，一方面使人类对数的认识从有理数拓展到实数，另一方面也真正彻底、圆满地解决了第一次数学危机。
2. 数学的第一次危机的影响
2.1 第一次数学危机的产物
矛盾的消除，危机的解决，往往给数学带来新的内容，新的进展，甚至引起革命性的变革，这也反映出矛盾斗争是事物发展的历史动力这一基本原理。整个数学的发展史就是矛盾斗争的历史，斗争的结果就是数学领域的发展。因此第一次数学危机也
不例外，产生了许多成果。 2.1.1古典逻辑与欧氏几何学
亚里士多德的方法论对于数学方法的影响是巨大的，他指出了正确的定义原理。都满足了上面的这个条件，唯独平行公设不够简明，象是一条定理。
欧几里得的平行公设是：每当一条直线与另外两条直线相交，在它一侧做成的亚里士多德继承自己老师柏拉图的观念，把定义与存在区分，由某些属性来定义的东西可能未必存在(如正九面体)。另外，定义必须用已存在的定义过的东西来定义，所以必定有些最原始的定义，如点、直线等。而证明存在的方法需要规定和限制。 亚里士多德还指出公理的必要性，因为这是演绎推理的出发点。他区别了公理和公设，认为公理是一切科学所公有的真理，而公设则只是某一门学科特有的最基本的原理。他把逻辑规律(矛盾律、排中律等)也列为公理。
亚里士多德对逻辑推理过程进行深入研究，得出三段论法，并把它表达成一个公理系统，这是最早的公理系统。他关于逻辑的研究不仅使逻辑形成一个独立学科，而且对数学证明的发展也有良好的影响。
亚里士多德对于离散与连续的矛盾有一定阐述。对于潜在的无穷(大)和实在的无穷(大)加以区别。他认为正整数是潜在无穷的，因为任何整数加上1以后总能得到一个新的数。但是他认为所谓“无穷集合”是不存在的。他认为空间是潜在无穷的，时间在延长上是潜在无穷的，在细分上也是潜在无穷的。
欧几里得的《几何原本》对数学发展的作用无须在此多谈。不过应该指出，欧几里得的贡献在于他有史以来第一次总结了以往希腊人的数学知识，构成一个标准化的演绎体系。这对数学乃至哲学、自然科学的影响一直延续到十九世纪。牛顿的《自然哲学的数学原理》和斯宾诺莎的《伦理学》等都采用了欧几里得《几何原本》的体例。
欧几里得的平面几何学为《几何原本》的最初四篇与第六篇。其中有七个原始定义，五个公理和五个公设。他规定了存在的证明依赖于构造。
《几何原本》在西方世界成为仅次于《圣经》而流传最广的书籍。它一直是几何学的标准著作。但是它还存在许多缺点并不断受到批评，比如对于点、线、面的定义是不严格的：“点是没有部分的对象”，“线是没有宽度的长度(线指曲线)”，“面是只有长度和宽度的对象”。显然，这些定义是不能起逻辑推理的作用。特别是直线、平面的定义更是从直观来解释的(“直线是同其中各点看齐的线”)。
另外，他的公理五是“整体大于部分”，没有涉及无穷量的问题。在他的证明中，原来的公理也不够用，须加上新的公理。特别是平行公设是否可由其他公理、公设推出更是人所瞩目的问题。尽管如此，近代数学的体系特点在其中已经基本上形成了。
2.1.2 非欧几何学的诞生
欧几里得的《几何原本》是第一次数学危机的产物。尽管它有种种缺点和毛病，毕竟两千多年来一直是大家公认的典范。尤其是许多哲学家，把欧几里得几何学摆在绝对几何学的地位。十八世纪时，大部分人都认为欧几里得几何是物质空间中图形性质的正确理想化。特别是康德认为关于空间的原理是先验综合判断，物质世界必然是欧几里得式的，欧几里得几何是唯一的、必然的、完美的。
既然是完美的，大家希望公理、公设简单明白、直截了当。其他的公理和公设两个同侧内角的和小于两直角时，这另外两条直线就在同侧内角和小于两直角的那一侧相交。
在《几何原本》中，证明前28个命题并没有用到这个公设，这很自然引起人们考虑：这条啰哩啰嗦的公设是否可由其他的公理和公设推出，也就是说，平行公设可能是多余的。
之后的二千多年，许许多多人曾试图证明这点，有些人开始以为成功了，但是经过仔细检查发现：所有的证明都使用了一些其他的假设，而这些假设又可以从平行公设推出来，所以他们只不过得到一些和平行公设等价的命题罢了。
到了十八世纪，有人开始想用反证法来证明，即假设平行公设不成立，企图由此得出矛盾。他们得出了一些推论，比如“有两条线在无穷远点处相交，而在交点处这两条线有公垂线”等等。在他们看来，这些结论不合情理，因此不可能真实。但是这些推论的含义不清楚，也很难说是导出矛盾，所以不能说由此证明了平行公设。
从旧的欧几里得几何观念到新几何观念的确立，需要在某种程度上解放思想。
首先，要能从二千年来证明平行公设的失败过程中看出这个证明是办不到的事，并且这种不可能性是可以加以证实的；其次，要选取与平行公设相矛盾的其他公设，也能建立逻辑上没有矛盾的几何。这主要是罗巴切夫斯基的开创性工作。
要认识到欧几里得几何不一定是物质空间的几何学，欧几里得几何学只是许多可能的几何学中的一种。而几何学要从由直觉、经验来检验的空间科学要变成一门纯粹数学，也就是说，它的存在性只由无矛盾性来决定。虽说象兰伯特等人已有这些思想苗头，但是真正把几何学变成这样一门纯粹数学的是希尔伯特。
这个过程是漫长的，其中最主要的一步是罗巴切夫斯基和波耶分别独立地创立非欧几何学，尤其是它们所考虑的无矛盾性是历史上的独创。后人把罗氏几何的无矛盾性隐含地变成欧氏几何无矛盾性的问题。这种利用“模型”和证明“相对无矛盾性”的思想一直贯穿到以后的数学基础的研究中。而且这种把非欧几何归结到大家一贯相信的欧氏几何，也使得大家在接受非欧几何方面起到重要作用。
应该指出，非欧几何为广大数学界接受还是经过几番艰苦斗争的。首先要证明第五公设的否定并不会导致矛盾，只有这样才能说新几何学成立，才能说明第五公设独立于别的公理公设，这是一个起码的要求。
当时证明的方法是证明“相对无矛盾性”。因为当时大家都承认欧几里得几何学没有矛盾，如果能把非欧几何学用欧几里得几何学来解释而且解释得通，也就变得
没有矛盾。而这就要把非欧几何中的点、直线、平面、角、平行等翻译成欧几里得几何学中相应的东西，公理和定理也可用相应欧几里得几何学的公理和定理来解释，这种解释叫做非欧几何学的欧氏模型。
对于罗巴切夫斯基几何学，最著名的欧氏模型有意大利数学家贝特拉米于1869年提出的常负曲率曲面模型；德国数学家克莱因于1871年提出的射影平面模型和彭加勒在1882年提出的用自守函数解释的单位圆内部模型。这些模型的确证实了非欧几何的相对无矛盾性，而且有的可以推广到更一般非欧几何，即黎曼创立的椭圆几何学，整数的比来表示, 反之数却可以由几何量表示出来, 可以说这次发现对古希腊的数学观点有极大的冲击, 整数的尊崇地位受到了挑战; 其次, 它使古希腊数学研究方法由计算转向推理, 促使公理方法的产生, 从此希腊人开始由 自明的!公理出发, 经过演绎推理而建立起几何学体系。在哲学方面, 首先, 动摇了其数本说的基础, 其次, 推动着哲学转向崇尚理性。
在无理数发现之前的各种数学, 都是提供算法, 进行 算!的数学。即使在古希腊, 数学也是从实际出发, 应用到实际问题中去的。比如泰勒斯预测日食, 利用影子距离另外还可以推广到高维空间上。
波尔查诺不承认无穷小数和无穷大数的存在，而且给出了连续性的正确定义。柯西在1821年的《代数分析教程》中从定义变量开始，认识到函数不一定要有解析表达式。他抓住了极限的概念，指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量，并定义了导数和积分；阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和；狄里克莱给出了函数的现代定义。
在这些数学工作的基础上，维尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方，给出现在通用的ε - δ的极限、连续定义，并把导数、积分等概念都严格地建立在极限的基础上，从而克服了危机和矛盾。
十九世纪七十年代初，威尔斯特拉斯、戴德金、康托尔等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限论的基本定理，从而使数学分析终于建立在实数理论的严格基础之上了。
同时，威尔斯特拉斯给出一个处处不可微的连续函数的例子。这个发现以及后来许多病态函数的例子，充分说明了直观及几何的思考不可靠，而必须诉诸严格的概念及推理。由此，第二次数学危机使数学更深入地探讨数学分析的基础——实数论的问题。这不仅导致集合论的诞生，并且由此把数学分析的无矛盾性问题归结为实数论的无矛盾性问题，而这正是二十世纪数学基础中的首要问题。
第三次数学危机产生于十九世纪末和二十世纪初，当时正是数学空前兴旺发达的时期。首先是逻辑的数学化，促使了数理逻辑这门学科诞生。
十九世纪七十年代康托尔创立的集合论是现代数学的基础，也是产生危机的直接来源。十九世纪末，戴德金及皮亚诺对算术及实数理论进行公理化，推动了公理化运动。而公理化运动的最大成就则是希尔伯特在1899年对于初等几何的公理化。 公理化方法是现代数学最重要的方法之一，对于数学基础和数理逻辑的研究也有影响。当时也是现代数学一些新分支兴起的时期，如抽象代数学、点集拓扑学和代数拓扑学、泛函分析、测度与积分理论等学科。这些学科的发展一直与数学基础及数理逻辑的发展有着密切的关系。数学的更新与发展也对数学哲学有许多新的探讨，数学的陈腐哲学观念在当时已经几乎一扫而空了。 2.1.3 无理数的发现
无理数的发现, 对数学和哲学发展都产生了深刻的影响。在数学方面, 使人们认识到直观、经验乃至实验都不是绝对可靠的(例如用任何实验都不能得出一切量均可用有理数表示这个结果), 今后必须依靠证明用理性思维思考自然界。首先, 它使古希腊数学研究的重点由算术转向几何, 打破了在这之前毕达哥拉斯学派把数和几何问题等同起来的看法, 即几何学的某些真理与算术无关, 几何量不能完全由整数及
计算金字塔的高度等等都是属于计算范围的。虽然泰勒斯也提出了圆的直径把圆分成相等的两部分, 等腰三角形的两个底角相等,两条直线相交后对顶角相等, 有两角和一边相等的两个三角形全等, 但他都是通过直观经验来证明的。至于埃及、巴比伦、中国、印度等国的数学, 并没有经历过这样的危机革命, 也就是只停留在 算术!阶段, 而希腊的数学则走上了完全不同的道路, 形成亚里士多德的逻辑体系和欧几里得)几何原本?公理体系, 从而成为现代西方数学的始祖。
无理数的出现使实数系统得到进一步的完善。从而使直线上的点与实数一一对应起来。我们知道有理数Q 是对四则运算封闭(除数不为零)的,又是实数的忠实代表, 即任何一个实数都可以近似的用一个有理数去表示, 而且这种近似的精确度要多高就有多高(x 设是任一实数, 如果x 已经是一个有理数了, 那么就是其自身的代表; 如果x 是无理数, 比如x 是圆周率??么3, 3. 1, 3. 14, 3. 142, 3.1416, 3. 1459, +, 就都是 在Q 中的近似代表, 越靠后精确度越高)。但是, 有理数Q 也有其不足之处, 比如在Q 中一般不能开方。特别是Q 对极限运算不封闭是个很大的缺陷, 例如: π= 4( 1- 1/3+ 1/5- 1/7+?), e= 1+ 1/1!+ 1/2!+ 1/3!+?,
在有理数Q 上就无法研究数学分析, 这是因为Q 在数轴上分布得虽然是紧密的, 但却又是个千疮百孔的, 像2, 3, π, e等等都是孔。所以, 无理数的发现使数轴没有那些孔, 即数轴上任一点, 如果不对应有理数, 那么就对应无理数, 真可谓是 有理!、 无理!相对立, 却与数轴共安居。无理数的出现最重要的是使实数具备了连续性, 从而使有条件研究连续性等理论。由于实数具有连续性, 所以是适合在其上建立分析学的。在R 中可进行极限运算, 因此, 实数的连续性是极限理论的基础。 4. 在我们的日常生活中会经常用到无理数, 它的出现给我们带来了许多方便。例如, 数e是对银行家最有帮助的一个数, 假如没有e的出现, 银行家要计算今天的利息就要花费大量的时间。所幸的是, e的出现助了一臂之力。总之, 虽然无理数的出现, 导致了毕达哥拉斯学派的瓦解, 但它的出现对后来的科学研究的影响是不可言喻的。给我们的学习生活带来的方便是有目共睹的。综上所述, 危机是随时可能出现的。危机的出现激发了富于追求精神的科学家的热情, 促进了多种理论例如数学基础理论, 逻辑理论等的形成和发展。因此, 从某种意义上来说, 危机并不是什么坏事, 它预示着更新的创造和光明, 推进了科学的进程。我们应持辩证的观点看待它, 看待数学, 不能因为危机就指责数学一无用处, 担心数学的大厦会倾倒。在数学大厦的基础上存在这小小缝隙, 数学大厦不致于倾倒。
参 考 文 献:
[ 1] (美)M. 克莱茵. 古今数学思想( 第一册) [M ] 上海: 上海科学技术出版社, 1979.
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