篇一：概率论总结论文
概率论与数理统计在生活中的应用
摘要：随机现象无处不在，渗透于日常生活的方方面面和科学技术的各个领域，概率论就是通过研究随机现象及其规律从而指导人们从事物表象看到其本质的一门科学。生活中买彩票显示了小概率事件发生的几率之小，抽签与体育比赛赛制的选择用概率体现了公平与不公平，用概率来指导决策，减少错误与失败等等，显示了概率在人们日常生活中越来越重要。数理统计在人们的生活中也不断的发挥重要的作用，如果没有统计学，人们在收集资料和进行各项的大型的数据收集工作是非常困难的，通过对统计方法的研究，使得我们处理各种数据更加简便，所以统计也是一门很实用的科学，应该受到大家的重视。
关键字：概率、保险、彩票、统计、数据、应用
概率论与数理统计是研究随机现象统计规律的一门数学学科，是对随机现象的统计规律进行演绎和归纳的科学。随着社会的不断发展，概率论与数理统计的知识越来越重要,运用抽样数据进行推断已经成为现代社会一种普遍适用并且强有力的思考方式。目前，概率论与数理统计的很多原理方法已被越来越多地应用到交通、经济、医学、气象等各种与人们生活息息相关的领域。本文将就概率论与数理统计的方法与思想，在日常生活中的应用展开一些讨论，,推导出某些表面上并非直观的结论，从中可以看出概率方法与数理统计的思想在解决问题中的高效性、简捷性和实用性。
一、彩票问题
“下一个赢家就是你！”这句响亮的具有极大蛊惑性的话是大英帝国彩票的广告词。买一张大英帝国彩票的诱惑有多大呢？只要你花上1英镑，就有可能获得2200万英镑！
一点小小的投资竟然可能得到天文数字般的奖金，这没办法不让人动心，很多人都会想：也许真如广告所说，下一个赢家就是我呢！因此，自从1994年9月开始发行到现在，英国已有超过90%的成年人购买过这种彩票，并且也真的有数以百计的人成为百万富翁。如今在世界各地都流行着类似的游戏，在我国各省各市也发行了各种福利彩票、体育彩票，各地充满诱惑的广告满天飞，而报纸、电视上关于中大奖的幸运儿的报道也热闹非凡，因此吸引了不计其数的人踊跃购买。很简单，只要花2元的人民币，就可以拥有这么一次尝试的机会，试一下自己的运气。
但一张彩票的中奖机会有多少呢？让我们以大英帝国彩票为例来计算一下。大英帝国彩票的规则是49选6，即在1至49的49个号码中选6个号码。买一张彩票，你只需要选六个
号、花1英镑而已。在每一轮，有一个专门的摇奖机随机摇出6个标有数字的小球，如果6个小球的数字都被你选中了，你就获得了头等奖。可是，当我们计算一下在49个数字中随意组合其中6个数字的方法有多少种时，我们会吓一大跳：从49个数中选6个数的组合有13983816种方法！
这就是说，假如你只买了一张彩票，六个号码全对的机会是大约一千四百万分之一，这个数小得已经无法想象，大约相当于澳大利亚的任何一个普通人当上总统的机会。如果每星期你买50张彩票，你赢得一次大奖的时间约为5000年；即使每星期买1000张彩票，也大致需要270年才一次六个号码全对的机会。这几乎是单个人力不可为的，获奖仅是我们期盼的偶然而又偶然的事件。
那么为什么总有人能成为幸运儿呢？这是因为参与的人数是极其巨大的，人们总是抱着撞大运的心理去参加。孰不知，彩民们就在这样的幻想中为彩票公司贡献了巨额的财富。一般情况下，彩票发行者只拿出回收的全部彩金的45%作为奖金返还，这意味着无论奖金的比例如何分配，无论彩票的销售总量是多少，彩民平均付出的1元钱只能赢得0.45元的回报。从这个平均值出发，这个游戏是绝对不划算的。
二、生日概率问题
我们来看一个经典的生日概率问题。
【数学情境】
每个人都有自己的生日（指一年365天中某一天），随机相遇的两人的生日要在365天中的同一天，即使有也是很凑巧，但如果相聚的人数增多，可能性会增大；某次随机相遇无论男女、老幼，若人数达到了50以上，形成一个团体（如集会、上课、旅游等）。
【提出问题】
1．随意指定一个人，你猜某天正好是他的生日，猜对的可能性有多大？
2，随意指定二个人，你猜他俩生日是同一天，猜对的可能性有多大？
3．某一团体有一群人，我绝对可以肯定至少有2人生日相同，这群人人数至少要多少？
4．如果某个随机而遇的团体有50人以上，我敢打贿，这个团体几乎可以肯定有生日相同的两个人，你相信吗？
【问题解决】
1
问题1. 解：一年有365天，他某天生日概率p＝365 ≈0.0027，故猜对的可能性微乎其微。
问题2. 解：两个人生日，总共可能性有365×365种搭配，其中有365种生日相同，故随
3651
意指定二个人，生日相同的概率p=365?365 =365≈0.0027，故猜对的可能性仍旧微乎其微。
问题3. 解：某一团体中，绝对肯定至少有2人生日相同，即为必然事件，p＝1。由抽屉原理可知，这群人至少要有366人。
问题4. 解：要解决这个概率问题，我们首先来计算一下，50个人生日的搭配一共有多少种可能情况。第一个人生日，可以是一年中任何一天，一共有365种可能情况，而第二、第三及其它所有人生日也都有365种，这样50个人共有365种可能搭配。如果50人的生日无一相同，那么生日搭配可能情况就少得多了。第一个人有365种可能，第二人因不能与第一个生日相同，只有364种可能，依次类推，如50人生日无一相同，其生日搭配情况只有365×364×363×??×317×316 种只占3655050种情况中的 3％，即p＝365?364???317?316
36550 ＝3％。即反面推至生日2人相同概率有97％。同理可推算如果
某群人有40人，至少两人生日相同概率有89％，如果有45人至少两人生日相同的概率达94％。故这样赌局，几乎可以稳操胜券。
三、保险赔偿问题
目前, 随着人们的经济水平越来越高，自身及家人的安全问题、财产安全及养老问题等受到了极大的重视，有一定经济条件的人纷纷选择购买保险来给自己一份保障; 我们可能就有疑惑, 是保险公司受益还是投保人受益, 谁才是最大受益者? 通过下面这个例子也许他们会明白一些。
某一保险公司, 有3000 个统一年龄层的相同社会阶层的人参加保险。在一年内, 每个人死亡的概率为0.002。每个参加保险的人在1月1 日付12 元保险费, 而当他在这一年死亡时, 家属可从公司领取保险费2000 元, 问保险公司每年盈利的概率是多少? 且获利不少于10000 元的概率是多少?
乍一看, 很难知道保险公司是否盈利, 但经过一系列计算就可以得知保险公司几乎是必定盈利的!
设X 表示参保的3000 人中一年内死亡的人数, 则X 可能的取值有0,1,2,3?3000, 且X 服从B(3000 ,0.002)。用A 表示“保险公司盈利”, B表示“保险公司营利大于10000 元”,
由题可知A={3000×12- 2000X>0}={X<18},B={3000×12- 2000X≥10000}={X≤13}. P(A)= P{X<18}= Ci?i?017i3000?i=0.999; 0.0020.9983000
P(B)=P{x<=13}= Ci?i?01330000.002i0.9983000?i=0.9964;
以上结果表明, 保险公司盈利的概率高达0.999944, 而盈利在10000元以上的概率也为0.996408。这也就说明了保险公司非常乐于开展保险业务的原因。
上述所列举的例子, 只是概率论在生活中的几个非常简单的应用。事实上,这些看似简单，实则深奥的概率论方法，在国民经济的某些问题中，对有效地使用人力和物力进行科学管理等方面同样有着重要作用，在我们整个国家的发展乃至整个人类社会的进步中都起到了至关重要的作用。
统计学的思想可归纳为：对某事做出决策之前，必须先收集数据，然后利用统计学技术分析它，最后做出决策。应用统计学技术，不能无视必要的数学知识，但作为本课程，即社会经济统计学的原理来说，严密的数学论证完全是没有必要的。因此，在教育教学过程中，避开繁琐的数学推导，把重点放在统计方法在学校教育领域中的应用。这才能充分发挥心理与教育统计学的社会价值。
我们身边的概率问题还有很多, 需要我们不断地去发现, 最大限度地挖掘概率论方法的潜能,使之更好地为人类服务。同时，通过学习概率论与数理统计，使我们更加发现数学问题种类繁多，解题思路千差万别但是应用起来灵活而方便，而要学好数学，最重要的一点就是要能够做到灵活地应用所学知识去解决各种数学问题，也就是真正做到“学得活，用得巧”，使数学能够更多的为我们服务。
篇二：概率论论文
概率论论文
【摘要】 概率论是研究随机现象规律性的一个数学分支，它来源于实际生活，也解决了实际生活中的许多问题。小概率事件是概率论中的一个具有实用意义的原理，在我们的日常生活中已经有广泛的应用。本文重点讨论的内容有：小概率事件的含义、小概率原理以及用彩票阐述小概率事件在日常生活中的实际应用，给出几点彩票玩法建议，并使人们对生活中的小概率事件树立正确的认识。
【Abstract】 Probability theory is a mathematics branch of random phenomena regularity study, it comes from the actual life, and also solves many problems in actual life. Probability of small probability events is a principle of practical significance in our daily life which has a wide application. What is mainly discussed in this paper is the meaning of small probability events, small probability principle and the actual application expounded by lottery， small probability events in daily life, and suggestions about lottery play helping people establish correct understanding of small probability events.
【关键词】 小概率事件 彩票 二项分布 泊松分布
【Keywords】Small probability events, Lottery, Binomial distribution, Poisson distribution
1 引言
随着彩票在全国乃至全球的火热发行，对有些人来说，博彩已成为生活的一部分，影响之大不言而喻。由“一夜暴富”心理导致的盲目购买彩票已经成了社会的一个大问题，因此，虽然现在买彩票的人越来越多，但其中真正理智买彩票的却不多。大家都想把彩票当钞票，要知道即开彩大奖是属于小概率事件。社会上各种彩票的方式，玩法不尽相同，但是万变不离其宗，都包含了共同的规律。在这样的背景下我研究“小概率事件在彩票中的应用”是大有意义的。
概率学是专门研究随机事件规律的科学，它在彩票的购买中起着重要的作用，是概率论中一个简单但又极其有用的原理，是统计学存在、发展的基础。小概率事件作为在统计推断的理论及应用中有着重要作用的一个基本原理——实际推断原理，即小概率事件在一次试验中实际上是几乎不发生的，我们可以把它看成是不可能事件，这是概率论应用中的一条最基本的原理。对于自然界中的
随机现象，虽然无法确切地判断其状态的变化，但是依据人们在长期生产实践中所积累的经验，能够自然地把那些概率接近于1的事件在一次试验中，看成是必然事件，而把那些概率很小的事件，在一次实验中，看成是不可能事件。因此又把实际推断原理叫做小概率事件的不可能事件原理。
随着社会的发展，小概率事件问题在我们的日常生活中有着越来越广泛的应用，它不仅在经济、统计学中发挥着重要作用，而且它常常就发生在我们身边并对我们的生活产生影响。
本文先是阐述了小概率事件的含义、小概率原理、小概率事件大于0和小概率事件和不可能事件的区别，接着介绍了中国的各种彩票的起源、发展及类型，并写出了小概率事件在彩票中的实际应用，之前已有人用了二项分布算法解析过彩票在概率中的应用，而本文则是用泊松分布法算出购买彩票的注数和中奖概率的关系，用相对变化率越来越小等同于小概率随着注数越来越多的情况想下变化弧度一直下降，并且想得出并不是购买的注数越多就越划算。本文先用二项分布证明成泊松分布，在概率足够小，独立实验次数多的情况下，二项分布概型就类似成伯努利概型；也用实例重点阐述了买彩票中从30选7的购买注数和中奖概率的变化关系，简单地描述了福彩15选5的购买注数和中奖概率的变化关系。
综上，如何对待小概率事件是人们处理工作和生活问题的必备科学素养，如果长期忽略小概率事件将会严重影响人们的生活和社会的生产。
2 小概率事件
2.1 小概率事件的认识
小概率事件源于概率论，概率论是研究随机现象统计规律的科学。概率是刻画随机事件发生的可能性大小的数量指标，我们使得事件A的概率以P(A)表示，并且规定0?P(A)?1.对于概率值很接近于1的事件，其对立事件的概率也就很接近于0.
在我们已学过的概率论中，我们把概率很接近于0（即在大量重复试验中出现的频率非常低）的事件称为小概率事件。
具体概率小到何种程度才算小概率。在概率论中没有做出具体的规定，而是指出不同的场合有不同的标准。在正常的情况下，一般多采用0.01、0.05两个值，即事件发生的概率在0.01以下或0.05以下的事件皆称为小概率事件，而0.01和0.05这两个值就称为小概率标准。在一些比较重要的试验中，当事件的发生会产生严重后果(如雪崩、山洪、沉船等)时，应选得更小一些的概率标准如0.0001，甚至再更小一些；否则可以适当大一些。
如根据某地近百年的水文资料查明，发生极大洪峰仅一、二次，因而在考虑建造普通人行便桥时，出现“极大洪峰”的事件就是小概率事件，此时概率值不超过0.02 .
如果是发射宇宙飞船，100次有一、二次失败，则发射失败就不是小概率事件了，虽然其概率也不超过0.02。而在彩票中当中奖的概率小于0.01时就被称为小概率事件。 [1]
2.2 小概率事件的原理
小概率事件作为在统计推断的理论及应用中有着重要作用的一个基本原理——实际推断原理，即小概率事件在一次试验中实际上是几乎不发生的，可以把它看成是不可能事件。这是概率论应用中的一条最基本的原理，对于自然界中的随机现象，虽然无法确切地判断其状态的变化，但是依据人们在长期生产实践中所积累的经验，能够自然地把那些概率接于1的事件在一次试验中，看成是必然事件，而把那些概率很小的事件，在一次试验中，看成是不可能事件。因此又把实际推断原理叫做小概率事件的实际不可能性原理.
定理1 (贝努利大数定律)：在n次独立重复试验中，记事件A发生的次数nA，p是A发生的概率，则对于任意正数?，有
limP{n??[1]nAn?p??}?1
或
limP{n??nAn?p??}?0
根据贝努利大数定律，事件A发生的频率nA/n依概率收敛于事件A发生的概率P。就是说，当n很大时，事件A发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小。假如某事件A发生的概率很小，由实际推断原理，在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件A的频率来代替概率。倘若某事件A发生的概率很小，例如若等于0.001，则大体上在1000次试验中A才出现一次，因此概率很小的事件在一次试验中几乎不可能发生。在概率论的应用中，称这样的事件为实际不可能事件。实际不可能事件在一次事件中是几乎不可能发生的，这就是小概率原理，也称为小概率的实际不可能性原理。
它是统计假设检验决定推翻还是接受假设的依据，也是人们在长期实践中总结出的一条实用性很强的原理。小概率原理的推断方法是概率性质的反证法，指的是首先提出假设，其次根据一次试验的结果来进行计算，最后按照一定的概率标准作出判断。若导致不合理现象出现，即小概率事件发生，则拒绝假设；若未导致不合理现象出现，即小概率事件未发生，则不拒绝假设[2] .
2.3 小概率事件发生的概率大于零
小概率事件在一次试验中实际不会发生，并不代表它永远都不会发生，小概率事件迟早会发生。小概率事件迟早都会发生是指只要独立的试验次数无限增多，那么小概率事件将会发生。
证明如下：设在一次试验中A出现的概率为a>0，AK={A在第k次试验中出现}，则那么前n次试验中事件A至少出现一次的概率为Pn(A)?1?P(A1A2?A3)?1?(1?a)，无论a多么小，当n??时有Pn(A)?1，即A趋向于必然事件。这说明实际工作中不能忽视小概率事件。 n
一件看起来可能性很小的事情，在大量重复之下发生的可能性会很大，这也说明加强防范有危害的小概率事件的重要性与迫切性。如长期从事某种具有危险性工作的人，无论其技能多么熟练，时间长了都有可能出事故。“天有不测风云，人有旦夕祸福”、“常在河边走，哪有不湿鞋”、“天网恢恢，疏而不漏”等谚语说明的就是这个道理。
2.4 小概率事件和不可能事件之间的区别
小概率事件因其概率小而常常会与不可能事件混淆。但两者从本质上来讲，是有区别的。所谓小概率事件是指发生的可能性小，但有发生机会的事件，而不可能事件是指完全不可能发生，概率为零的事件。比如，某人在某时刻既在甲地又在乙地，这属于自相矛盾的事件，所以这是一个不可能事件。有人能长生不老是对自然规律的否定，也即对必然事件的否定，其概率自然为零。
不管小概率事件A的概率如何小，如果将试验不断独立的重复下去，那么事件A迟早必然会出现一次，继续重复下去，于是也必然会出现任意多次；而不可能事件是指无论将试验做多少次，事件A都不会发生，这就表明了小概率事件与不可能事件之间的差别。但是随着社会的发展和科学技术的进步，某些被认为是不可能事件可能成为小概率事件，而某些被认为是小概率事件也可能成为不可能事件 . [3]
3 彩票的起源、发展和中国彩票类型
3.1 彩票的起源、发展
彩票最早出现在二千年前的古罗马。我国南宋时期也有类似彩票形式的博彩。彩票在亚洲的历史较短。泰国最早于1936年成立政府彩票办公室，日本在1945年成立住友银行彩票部，开始了现代彩票的发行。而韩国、马来西亚、新加坡等国家的彩票是从60年代末期才开始发展起来的。香港官方的彩票发行历史更短，负责发行和管理彩票的香港奖券管理局成立于1975年。
新中国成立后，由于对彩票有不同的认识，彩票被禁绝了40多年。随着改革开放的深入，政府认识到，就彩票本身来讲，只不过是一种筹集资金的形式而已，它可以为资本主义服务，也可以为社会主义服务，关键在于彩票掌握在什么人的手里，以及筹集资金的目的何在。为了弥补国家财力不足，通过发行彩票筹集资金发展社会福利和社会公益事业，不仅符合国际潮流，而且是我国社会主义市场经济发展的要求，有着坚实的社会经济基础。
1987年7月27日，新中国诞生后的第一批8000万“中国社会福利有奖募捐奖”（面值1元），在河北、江苏、浙江、上海等10个省市试点发行，从而掀开了中国当代彩票史的第一页[4] .
中国彩票已经走过了将近20年的历史，目前，福利彩票和体育彩票已经成为我国最重要的两大彩票。当代中国彩票的发展按照历史的时间顺序可以划分为三个阶段，即起步阶段、成长阶段和调整与突破阶段。
中国彩票的起步阶段一直持续到1993年。从初期的1700万销量到1993年的18.43亿元，增幅
达到了100多倍。中国彩票之所以有上世纪90年代初期的第一次飞跃式发展，是缘于即开票销售方式的改进。1989年，一些省市推出了实物奖品、灵活设奖的小奖组，开始探索集中的大批量销售彩票的方法。1992年，部分省市开始尝试百万元大奖组销售方式，当年福利彩票销量达13.76亿元，比上年增长56%. 1987—1993年这个时期的体育彩票还没形成统一规模，1988年至1990年发行的“第十一届亚运会基金奖券”（传统即开结合型）是体育彩票发展的初始阶段。此后，体育彩票也推出了即开型彩票。
1994年到1999年，电脑彩票开始进入，中国彩票进入稳定发展时期。这一阶段，国家加强了对彩票市场的规范管理。1994年4月国家体育彩票管理中心正式成立，形成了福利彩票与体育彩票竞争发展的局面。2000年至今，现代技术设备全面应用，新型玩法层出不穷，中国彩票进入高速发展时期。财政部全面接管彩票的管理工作，确定了现行的彩票管理体制，建立和完善了彩票的管理制度。两大彩票发行机构全面应用现代彩票技术设备，不断改进发行销售方式，全力丰富彩票品种。
中国彩票事业的发展还不到20年，但彩票在中国经济和社会发展中发挥的作用越来越大。经过近20年的艰苦努力，中国彩票已开始走向成熟，中国彩票已经具有强大的影响力 . [5]
3.2中国彩票的类型
3.2.1即开型彩票
即开型彩票，全称应该是“即开即兑型彩票”，就是购票者在一个销售点上一次完成购票和兑奖全过程的一种彩票。当你买到彩票后，刮开、撕开或揭开兑奖区后，马上就可以知道是否中奖，节奏快，趣味性强，设奖灵活，方法简便，易于操作[6].
3.2.2 传统型彩票
传统型彩票就是就是以数字排列方式为竞猜对象的彩票，要求所选号码与中奖号码相同且排列顺序相同。数字型彩票一般是从0—9中选择号码，再由所选号码构成一个自然数。玩法不同，所选自然数的位数不同，中奖概率也随之不同。
以传统型“10选6+1”为例，每组彩票有000000—999999中任意六位数加上0—4中的任意一个数作为特别号。特等奖：6位数字相同且排列一致，且特别号也相同；一等奖：6位数字相同且排列一致；二等奖：5位数字相同且排列一致；三等奖：4位数字相同且排列一致。四等奖：3位数字相同且排列一致；五等奖：2位数字相同且排列一致[7] .
3.2.3 乐透型彩票
乐透型彩票——当今彩票业的主流，它就是以序数方式为竞猜对象的彩票。投注者在一组数域中选出若干个号码，号码不需要有先后之分，只要所选的号码与中奖号码相同就可以。是一种组合式游戏。乐透型彩票属于中盘或大盘游戏，可以复式投注和倍投。大奖累积可以达到上千万元甚
篇三：大学概率论论文
微积分在概率论与数理统计中的应用
摘要： 大二概率论课程结课了，在这门课上我学到了一些关于概率论和数理统计的许多知
识。这些知识既可以对我的专业方面有很大的指导作用、强化了我相关的数理逻辑
能力。课后，在兴趣的激励下，我从课本、习题以及相关网络资源中找到了更多关
于概率论与数理统计的知识。现通过这篇论文对我学习过程中的体会，并结合以往
的数学知识（重点在微积分部分）
关键词：概率论与数理统计 其他数学知识微积分
概率论与数理统计是研究随机现象统计规律的一门数学学科，已在包括控制、通信、生物、物理、力学、金融、社会科学、以及其他工程技术科学等诸多领域中获得了广泛的应用。学习和掌握概率论与数理统计的基本理论和基本方法并将应用于科学研究的和工程实际中，是社会发展对高素质人才培养提出的必然要求。
----概率论与数理统计（前言） 一般认为, 概率论源于赌博问题, 创立于 1654年7 月29 日 。 考古证实骰子古而有之, 那么为何直到17 世纪概率论才诞生? 历史表明概率论的诞生和发展需要先进的数学技术和理性的思考。
众所周知, 概率论的大厦是建筑在微积分的地基之上的, 如在函数关系的对应下, 随机事件先是被简化为集合, 继之被简化为实数, 随着样本空间被简化为数集, 概率相应地由集函数约化为实函数. 以函数的观点衡量分布函数F(x),F(x)的性质是十分良好的: 单调有界、 可积、 几乎处处连续、 几乎处处可导. 因之, 微积分中有关函数的种种思想方法可以通畅无阻地进入概率论领域. 随机变量的数字特征、 概率密度与分布函数的关系、 连续型随机变量的计算等, 显然借鉴或搬运了微积分的现有成果. 又如概率论中运用微积分的基础 ) ) ) 极限论的地方也非常多, 诸如分布函数的性质、大数定律、 中心极限定理等. 总之, 微积分的思想方法渗透到了概率论的各个方面, 换言之, 没有微积分的推动, 就没有概率论的公理化与系统化, 概率论就难以形成一门独立的学科. 微积分与概率论的亲缘关系, 决定了概率论的确定论的特征. 但是作为微积分的一门后继课程, 概率论并非按微积分中的思维方法发展下去,而是另辟蹊径, 其发展路径与微积分大相径庭, 最终成为了随机数学的典型代表, 具备了与微积分相当的地位. 更因其非线性、 反因果的非理性特征, 显得比经典的微积分更具有时代精神. 而作为确定性数学典型代表的微积分对概率论的发展具有很大作用, 因此讨论微积分在概率论中的地位, 探究概率论与微积分的联系及方法的相互应用作用巨大。这里以一些实例从一个侧面体现概率论与微积分的联系, 与此同时给出了求解形如???
??(ax2?bx?c)e?(ix2?jx?k)dx。
1.概率论中的微积分解题方法
1.1 微分法
某些随机事件的概率有依赖于1个变量的特点(比如依赖于时间变量等).该概率作为1个未知函数,有类比于通过微分方程确定未知函数的途径。从局部性质(增量研究)入手,由微分的方法可求出所需的概率。
例 1某机器在△t 时间内因故障而停止的概率为a△t +o(△t)(a为正常数).如果机器在不 重叠的时间内停止的各个事件彼此独立,如在时刻t0机器在工作着. 试求此机器由时刻t0到t0+t这段时间内不停工作的概率.
解: 在机器工作稳定的情况下,所求概率应该只与时间区间[t0,t0+t]的长短有关，而与起点 t0无关。故所求概率只是t的函数,记为P(t).由于对P(t)的整体性状的信息认识不足,只是局部地知道机器在充分小的△t时间内因故障停车的概率为a△t+ o(△t) ,可以先去考查P(t)在局部范围的增量变化特征。明显地,机器在[t0,t0+t+△t]内不停,当且仅当在[t0,t0+t ] 及[t0+t,t0+t+△t]2段时间内都不停时才成立。利用这2个事件的独立性可得
P(t +△t) = P(t)P(△t)=P(t)[1-a△t-o(△t)]
P(t+△t)-P(t)=-a P(t)△t-P(t)o(△t)
P(t+△t)-P(t)=-a P(t)△t -P(t)o(1)注意到P(t)的有界性,令△ty=0, 得到
-atdP(t)/dt=-aP(t),这就是未知概率P(t)所应满足的微分方程. 解此方P(t)=Ce,其中C为
任意常数.由假定在时刻t0机器在工作, 此即是初始条件P(0)=1,于是可求出c = 1,故得
at P(t)=e-
1 2逐项微分法
根据变量数学期望与方差的定义, 利用随机变量的概率分布或分布密度的特点, 可以用逐项微分法求出随机变量的数学期望与方差. 对于概率分布或分布密度含有参数的随机变量, 也可应用逐项微分法求出其数学期望与方差.
设离散型随机变量 N的概率分布为P(N=ai) =Pi , i = 1, 2,…，n ,满足 0≤Pi≤1,其中Pi含有参数( i = 1, 2, ,, n ) ,在求数学期望E(N)时,可通过对Σpi=1两边关于参数求导以达到目的. 而在求方差 D(N)时,可对E(N)=a ( a 是上面求出之值)
222 两边再对参数求导得 E(N) , 再由 D(N)=E(N) -[E(N)]得出结果.
例 2设随机变量 N~P(K),求E(N)与D(N)。
分析: 先将?k!?e
k?0??k?两边对λ求导后, 再将其变形可得 ?kk?0??kk!
2??e?, 于是由式( 1) 2便可得E(N)=λ;又对式(1)两边关于K求导后再变形可求得E(N),最后由D(N)=E(N)-[E
2 (N)]可求得D(N).( 求解过程略) .
对于连续型的情况可以类似求解.
1.3幂级数法
例 3设随机变量 N服从参数为(r,p)的负二项分布(r\1,0<p<1),即P{N=m}=
,m=r,r+1,…，q=1-p,求E(N).
??11rm?r??Cmx, 该公式是由??xm(0<x<1)连分析:其计算过程用到公式r?11?xm?r(1?x)m?r?Cm?r?r?1m?1prqm?r
续逐项求导r次后得到的.事实上E(N)=r/p
1.4特殊函数法Gamma函数与Beta函数在概率论中有着广泛的应用,借助Gamma函数,概
2率论中有重要的Γ分布和x分布.
1n
例 4设随机变量N1,N2,…,Nn相互独立,且服从参数为K的指数分布,N=?N ni?1
求证 E[1nλ ]?Nn-1
证明: 令 y = N1+N2+…+Nn,由于Ni(i=1,2,…,n ) 服从参数为k的指数分布, 即服从 Gamma 分布
Γ( 1, K ) , 又它们相互独立, 由Γ分布的可加性知 N1+N2+…+Nn ~ Γ( n , K ) , 所以 n?n
n?1??yn1nyedy?E[]=E[]=E[]=?y0y?(n)NN1?N2?...?Nn?n?由此可见, 微积分是
学习概率论的基础, 所以, 犹如以上几例经常遇到用微积分的基本方法去解决一些概率问题. 而下面将从以下几个方面说明微积分中一些不太好解决的问题可以很方便地用概率的方法去解决.
分析表明, 数学技术是概率论发展的保证 。 概率论的发展虽源于多种因素, 但总脱离不了先进的数学技术 。现今概率论又作为数学技术来推动其他学科的发展 。 作为科学探索的特色方法, 概率推理的显著功效已引起相关理论研究和应用研究的爆炸性增长。概率思想是统计学的理论基础, 是物理学、遗传学和信息论的重要工具, 是金融学 、 地球科学 、 神经学、人工智能和通讯网络等学科的常用方法。概率论愈来愈大的影响已引起科学家愈来愈高的重视, 概率思想的研究已成为数学家和数学史家关注的热点之一 。而微积分与概率论的关系也将会越来越紧密，开发微积分在概率论与数理统计方面的应用也将越来越受到大家的重视。
参考文献
[1]杨静,徐传胜.数学技术与概率论的发展[J].太原理工大学学报(社会科学版),2008,01:49-54.
[2]王大胄.例谈概率论与微积分的联系及相互间的应用[J].沈阳工程学院学报(自然科学版),2008,03:283-286.
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