篇一：音乐中数学论文
浅谈音乐中的数学
一、音乐中蕴涵的数学原理
在公元前六世纪，古希腊著名的哲学家、数学家毕达哥拉斯用比率将数学与音乐联系起来，他认识到所拨琴弦产生的声音与琴弦的长度有关，发现了和声与整数之间的关系。于是，毕达哥拉斯音阶（the pythagorean scale）和调音理论诞生了。
二、音符中的数字
莱布尼茨说过：“音乐是数学在灵魂中无意识的运算”。众所周知，古今中外的音乐虽然千姿百态，但都是由7个音符（音名）组成的，数字1～7在音乐中是奇妙的数字。
数字1
万物之本。《老子》云：“道生一、一生二、二生三、三生万物。”整个宇宙就是一个多样统一的和谐整体。这也是一条美感基本法则，适用于包括音乐在内的所有艺术及科学之中。古希腊数学家尼柯玛赫早就提出“音乐是对立因素的和谐的统一，把杂多导致统一，把不协调导致协调。”简言之，便是“一”变“多”，“多”变“一”的原理。中国俗语也说：“九九归一”。文艺复兴时期以来五百年的专业音乐在内容上和形式上尽管存在天壤之别，但都共同遵循这个原理。音乐上许多发展乐思的手法，如重复、变奏、衍生、展开、对比等等，有时强调统一，有时强调变化，综合起来，就是在统一中求变化，在变化中求统一。单音是音乐中最小的“细胞”，一个个单音按水平方向连结成为旋律、节奏，按垂直方向纵合成为和弦，
篇二：音乐与数学
律。回想起我初中时候在少科站无聊也用Turbo Pascal编过《亚洲雄风》来着，当时就觉得一串数字转化成音乐是件很神奇的事情。来聊聊音乐和数学哈~
音乐之所以和谐美妙，很大程度上得益于两个数学上的约等式同时成立：
1) 2 ^ (7/12) = 1.4983 ≈ 3/2，误差 0.1%
2) 2 ^ (4/12) = 1.2599 ≈ 5/4，误差 0.8%
听起来很邪乎吧？待我慢慢道来……
【陪音】
唱歌的时候如果唱不上去了我们经常会―唱低八度‖，这时候虽然声音低了许多，但与原唱并不冲突，与伴奏也仍然和谐。那为什么―八度‖那么特殊呢？或者说，为什么差八度的音听着那么像呢？原来差八度的两个音其频率正好差两倍——比如中音do（钢琴正中的C，记作C4或c’）是261.6赫兹，而高音do（记作C5或c’’）是它的两倍523.3赫兹。
那为什么频率差两倍就听起来像呢？这里需要引入陪音（upper partials）的概念，也称为泛音（overtone）。除了一些音色很纯的音（比如机器发出的正弦波）外，多数乐器演奏中除了激活原本频率的声波（基音）之外还会激活这些频率的整数倍，也就是陪音。当你按下钢琴的C4，这时空气中激荡着的不只有261.6赫兹的声波，还有523.3赫兹、784.9赫兹、1046.5赫兹等等（称为泛音列），而泛音列中各个音的不同强度和相位正反映了乐器的音色。注意523.3赫兹是C5，1046.5赫兹是C6，但784.9赫兹并不是一个C音，我们后文会讲到784.9赫兹比较接近G5。也就是说，同一音名的两个音之间肯定有陪音的关系，但反之不成立——陪音不必须是同一音名。回到八度的问题：C5本身就是C4最近的一个陪音，C5的陪音也都是C4的陪音，所以弹C5时激活的音频弹C4时也会激活（当然强度不同），两个音听起来自然像啦~
【平均律】
搞清楚了啥是八度，那一个八度里的音又是怎么分的呢？大家知道七声调式中一个八度是7个基本音级、12个半音，2个半音等于一个全音。大调是―全全半全全全半‖，小调是―全半全全半全全‖。在巴赫开始提倡、现代普遍采用的十二平均律中，这12个半音是均匀分布的——从物理上讲，也就是半音阶中的音的频率形成一个等比数列。比如说C4是261.6赫兹，C5是523.3赫兹，而两者之间的11个音每个的频率是上一个的2 ^ (1/12) = 1.0595倍——C?4是261.6 * 1.0595 = 277.2赫兹，D4是277.2 * 1.0595 = 293.7赫兹，依此类推。一个半音又可以分成100个音分（cent），差一个音分相当于频率差2 ^ (1/1200) = 1.00058倍，一个八度也就是1200个音分。普通人对音高的辨别阈大概是20音分（0.2个半音），而音乐家可以达到5音分（0.05个半音），不同音高下的辨别阈还有所不同。
为什么要用平均律，让所有音均匀分布呢？一个重要的原因是方便转调。比如周杰伦的《安静》，开始一直是B?调，在唱到第二遍副歌―你要我说多难堪‖的时候突然升了一个全音变成
了C调——也就是之前的B?变成C，C变成D，D变成E等等，但尽管音高变了旋律听起来还是一样的，唱也还是一个感觉，区别最多也就是转一下调情绪激动一点。这种转调后的不变性是平均律特有的，在其他一些律制（比如五度相生律、纯律和中庸全音律）中不成立。同时这也意味着除平均律外，其他律制中每个调号的色彩都略有不同。这就是为什么亨德尔会偏好F大调和G小调（当时还没有平均律），而lady gaga就不那么在乎。
【音程的协和】
前菜上完了，下面是主菜：音程的协和。协和（consonant）这个概念，操作定义大致就是听起来和谐、悦耳。在实证研究中一般是给参与者同时播放两个正弦音（这种音不带陪音，只有基音），调整其间的频率间隔，然后让参与者在7点量表上评价这个音程有多悦耳、多优美、多和谐之类。Plomp和Levelt的这篇论文里结合了前人和他们自己的实验结果，得到这样一条曲线来描述两个正弦音的间隔与这个音程不协和程度的关系：
图一：音程不协和度与音程中根音和冠音间隔半音数的关系（图出自《American Scientist》上的这篇文章，是P & L原文Fig.10的重新制作）
怎么样，这条曲线看起来很光滑圆润小正太吧？可如果是这样，难道两个音的间隔越大越协和？那为什么又要分协和音程和不协和音程呢？且慢，记得我们讲这只是两个基音之间的不协和程度，而考虑上两个音各自陪音之间的协和程度之后，这图就变成了下面的样子：
图二：考虑陪音后的音程不协和度（出自《American Scientist》，P & L原文Fig.11的重新制作）
光滑圆润的小正太转眼变成了小刺猬，而且这刺还不是乱长，偏偏长在0、3、4、5、7、9、12这几条线附近，是不是很神奇？我反正觉得挺神奇的。原文中没有给详细的推导过程，于是我就自己尝试推导了一下（蓝字部分）。
首先图一这个小正太，怎么看怎么像一个Gamma分布。我试了几次后发现它和Gamma (2,1)最为接近：
图三：用Excel自制的Gamma (2,1)，和图一长得很像吧
这个曲线大概反映出我们听觉的特点：当两个纯音间隔很小（比如小于0.2个半音）时人耳难以分辨，因此感觉是完全协和的。当刚开始能够分辨出两个音的时候感觉特别刺耳，于是就出现了1-2个半音处不协和的高峰，而之后随着间隔变大刺耳的感觉逐渐减弱，不和谐度也下降了。Gamma (2,1) 模型的具体数值如下表：
表一：根据Gamma (2,1) 算出的不协和度数值（y轴无量纲）
接下来看陪音之间的协和。打个不太恰当的比方，谈恋爱不仅要两个人谈得来，还要讲究门当户对不是？所以说还要拿双方的弟弟妹妹们来配配看是否和谐，最后把所有不和谐的因素加起来看。表二中列出了根音6倍之内陪音和冠音8倍之内陪音的间隔半音数。从图三中看到两个音相差6个半音以上不协和程度就很低了，所以忽略掉陪音频率差别在3:2以上的情况（实际计算的时候我是忽略了2:1以上的情况）。
表二：根音陪音和冠音陪音的间隔半音数
把表二中的数值代入Gamma模型，就得到表三的不和谐度：
表三：根音陪音和冠音陪音的不协和度
把所有陪音的不协和度加起来就得到了图四，和American Scientist上的图（图二）差不多吧：
图四：考虑陪音后的音程不协和度（Excel自制）
以上部分我们用一个Gamma模型推导了考虑陪音后根音-冠音间隔和音程不和谐度的关系。那么图上突然下降的那几根刺是怎么来的呢？
举例来讲，间隔半音数7附近不协和度突然下降，而这个下降主要来自根音的3倍音（橙色线）和6倍音（绿色线）。回到表三，可以看到7个半音（G4）这一栏下黑框中的两个数（0.02）远远小于黑框两边6个半音和8个半音两栏（0.37），使得G4的陪音与C4的3倍音、6倍音上的不和谐度只有两边F?4和G?4的10%不到。类似的情况也出现在0、3、4、5、9、12个半音的栏目中（表三中粗体标出）。
之所以这些位置会出现不协和度突然下降，寻根溯源到表二就很清楚了：表三中标粗的位置在表二中都接近0（绝对值 < 0.2）。对照Gamma分布的曲线（图三）和之前的讨论，两个音相差小于0.2个半音时普通人难以分辨其差别，也就不会觉出不协和。而一旦稍高于这个阈限，不协和度就陡然上升。这也就解释了为什么会有―刺‖及其两边的突起形状。
还是以G4（和C4间隔7个半音）为例：G4的2倍音和C4的3倍音太过接近，以致听不出不协和；G4的4倍音和C4的6倍音，G4的6倍音和C4的9倍音等等也都如此。这样叠加的效果使得G4和C4构成的音程总体而言听起来不协和度低，也就解释了7附近的不协和度下降。注意，不管原图还是自制图中都只考虑了根音6倍以内的陪音，加上更高倍数陪音的话―刺‖会更多。
OK，如果还有人follow的话，以上冗长的推导简单来讲就是要证明这样一个结论：当根音和冠音的振动频率成简单整数比时，音程就协和。两者所成整数比越简单、越精确，音程就越协和。
这个结论大体是得到实证数据支持的：我们通常听来协和的音程（图二中―刺‖的位置）都可以近似表示成简单整数比，而不协和音程表示成整数比要么分子分母较大，要么误差较大（表
四）。简单整数比也同样能解释一些三和弦的协和：比如同为大三度和小三度的叠加，大三和弦其三个音的比例是4:5:6从而听起来非常―正‖，小三和弦三个音的比例是10:12:15协和程度就略差一些。
表四：协和音程和不协和音程对应的振动频率比
【见证奇迹】
总结一下上面两部分说的：协和音程要求音阶中各个音的频率成简单整数比a/b，而平均律要求音阶在1和2之间构成等比数列，也即各个音的频率比需要表示为2^(m/n)（m为两个音的间隔数，n为一个八度音阶的全部音数）。也就是说，音程如果既要协和又要符合平均律的话，就必须有a/b = 2^(m/n)。但这里就产生了矛盾：a/b 是有理数，而2^(m/n) 在m非n整数倍的情况下是无理数，两者没法相等。
怎么办呢？所幸人耳没那么精确，允许一定误差，也就是可以a/b ≈ 2^(m/n)。两边取以2为底的对数得 m/n ≈ log2 (a/b)，或者写成m/n = log2 (a/b) + ε（标为*式），此处 ε 是平均律情况下音频比偏离简单整数比的误差。这个误差当然不能太大：前文提到一般人对音高的辨别阈大概在20音分左右，我们取15音分（听力稍好的人的辨别阈）作为标准，也就得到 |ε| < 15/1200 = 0.0125。
然后考虑简单整数比a/b：a/b为整数（1、2）时产生的是极完全和谐音程，这时候m/n = 0或1，必然有精确解。而我们关注的是其他协和音程，即a/b = 3/2, 4/3, 5/4, 6/5时能不能找到相应的m/n。而事实上，只要找到在a/b = 3/2（纯五度）和a/b = 5/4（大三度）情况下符合*式的m1/n和m2/n，其他常用协和音程也都迎刃而解。蓝字部分解释了为什么存在纯五度和大三度后就能导出所有其他协和音程：
log2 (4/3) = 1 – log2 (3/2)，log2 (3/2) 是有理数时log2 (4/3) 必是同分母的有理数，即存在纯五度也就存在纯四度
log2 (5/4) = 1 – log2 (8/5)，存在大三度也就存在小六度
log2 (6/5) = log2 (3/2) – log2 (5/4)，存在纯五度、大三度也就存在小三度
log2 (5/3) = 1 – log2 (6/5)，存在小三度也就存在大六度
好，接下来的工作就是一个一个试了（连分数可以得到最接近的解，但我们需要所有误差范围之内的解）：下面列出了n在30以内所有接近纯五度的m1/n，m1/n ≈ log2 (3/2) = 0.585 7/12, 14/24
10/17
篇三：浅谈数学与音乐之关系
浅谈数学与音乐之关系
众所周知，音乐是心灵和情感在声音方面的外化，数学是客观事物高度抽象和逻辑思维的产物。那么，看似风马牛不相及的“多情”的音乐，与“冷酷”的数学也有关系吗?答案是肯定的。甚至可以说音乐与数学是相互渗透，互相促进的。
其实,人们对数学与音乐之间联系的研究和认识可以说源远流长. 这最早可以追溯到公元前六世纪,古希腊的毕达哥拉斯学派用比率将数学与音乐联系起来. 他们不仅认识到所拨琴弦产生的声音与琴弦的长度有着密切的关系,从而发现了和声与整数之间的关系,而且还发现谐声是由长度成整数比的同样绷紧的弦发出的. 于是,毕达哥拉斯音阶和调音理论诞生了，而且在西方音乐界占据了统治地位. 虽然托勒密对毕达哥拉斯音阶的缺点进行了改造 ,得出了较为理想的纯律音阶及相应的调音理论 ,但是毕达哥拉斯音阶和调音理论的这种统治地位直到十二平均律音阶及相应的调音理论出现才被彻底动摇。
在我国,最早产生的完备的律学理论是三分损益律, 时间大约在春秋中期《管子·地员篇》和《吕氏春秋·音律篇》中分别有述;明代朱载在其音乐著作《律学新说》对十二平均律的计算方法作了概述,在《律吕精义·内篇》中对十二平均律理论作了论述,并把十二平均律计算的十分精确, 与当今的十二平均律完全相同, 这在世界上属于首次.孔子说的六艺“礼、乐、射、御、书、数”，其中“乐”指音乐，“数”指数学，即孔子就已经把音乐与数学并列在一起。由此可见,在古代,音乐的发展就与数学紧密地联系在了一起. 从那时起到现在, 随着数学和音乐的不断发展,人们对它们之间关系的理解和认识也在不断地加深.感觉的音乐中处处闪现着理性的数学的影子。
乐谱的书写是数学在音乐上显示其影响的最为明显的地方。在乐谱中，我们可以找到拍号、每个小节的拍子、全音符、二分音符、四分音符、八分音符等等。谱写乐曲要使它适合于每音节的拍子数，这相似于找公分母的过程——在一个固定的拍子里，不同长度的音符必须使它凑
成一个特定的节拍。然而作曲家在创造乐曲时却能极其美妙而又毫不费力地把它们与乐谱的严格构造有机的融合在一起。对一部完整的作品进行分析，我们会看到每一个音节都有规定的拍数，而且运用了各种合适长度的音符。
除了上述数学与乐谱的明显联系外，音乐还与比例、指数曲线、周期函数以及计算机科学等相关联。如上文提到的毕达哥拉斯学派提出的“协和音是由长度与原弦长的比为整数比的绷紧的弦给出”，事实上被拨动弦的每一种和谐的结合，都能表示为整数比。由增大成整数比的弦的长度，能够产生全部的音阶。例如，从一根产生音C的弦开始，接着C的16/15给出B,C的长度的6/5给出A,C的4/3给出G,C的3/2给出F,C的8/5给出E,C的16/9给出D,C的1/2给出低音C。又如，很多乐器的形状和结构都跟不同的数学概念联系着。指数函数就是其一。例如"??=2??乐器”，无论是弦乐还是管乐，在他们的结构中都反映出指数曲线的形状。 我们再来举几个显见的例子。一个是钢琴的键盘，恰好与斐波那契数列有关：我们知道在钢琴的键盘上,从一个 C 键到下一个 C 键就是音乐中的一个八度音程，其中共包括13个键,有8个白键和5个黑键 ,而 5个黑键分成 2组 ,一组有 2个黑键 ,一组有 3个黑键。2、3、5、8、13 恰好就是著名的斐波那契数列中的前几个数。再一个是音乐中的黄金分割问题：贝多芬、莫扎特、巴赫、舒伯特等著名音乐家的作品中都流淌着黄金分割完美和谐的旋律——他们音乐的音节、乐曲中的大小高潮大多都在乐曲的5:8的交叉点上；世界著名波兰作曲家和钢琴家肖邦很注意乐谱的数学规则、形式和结构，有位研究肖邦的专家称肖邦的乐谱“具有乐谱语言的数学特征”。我国的七弦琴(即古琴)取弦长l，7/8，5/6，4/5，3/4，2/3，3/5，1/2，2/5，1/3，1/4．1/5，1/6，1/8得所渭的13个徽位，含纯率的1度至22度，非常自然，足很理想的弦乐器。我国著名古琴家查阜西早就指出，要学好古琴，必须对数学有一定素养。
对乐声本质的研究，在19世纪法国数学家傅立叶的著作中达到了顶峰。他证明了所有的乐声——不管是器乐还是声乐都能用数学表达式来描述，它们是一些简单的正弦周期函数的和。每种声音都有三种品质：音调、音量和音色，并以此与其他的乐声相区别。傅立叶的发现，使人
们可以将声音的三种品质通过图解加以描述并区分。音调与曲线的频率有关，音量与曲线的振幅有关，音色则与周期函数的形状有关。
有人说：“十个阿拉伯数字中，少了两个数字就是音乐，音乐的八个音符（包括休止符0）中多了两个就是数学。”这虽是调侃之词，但的确也概括了它们“形”之间的关系。数学与音乐不仅仅是“形似”，而且还“神似”。我们知道，音乐是人类心灵深处灵魂的表白和倾诉，没有半点矫揉造作，没有虚伪和掩饰；而数学则以它的逻辑严谨和确切无误的推理在深刻而又踏实地反映大自然的规律和法则。音乐中那和谐优美的旋律，只有数学能给它以理性的解释；数学中的“黄金分割”又在音乐中找到了广泛的应用；而它们最吸引人的美，来源几乎都是对称和简洁。说它们是“天作之合“，其实一点不为过。
在计算机和信息技术飞速发展的今天,音乐和数学的联系更加密切, 在音乐理论、音乐作曲、音乐合成、电子音乐制作等等方面, 都需要数学。而在将来的音乐事业中,数学将起着越来越重要的作用；音乐家和数学家们将在音乐的产生和再生方面，继续担任着同等重要的角色。
免费论文网友情提示：本网站所有内容为共享上传提供，不涉及任何商业利益，本站对此不承担任何保证责任！
Copyright © www.csmayi.cn Corporation, All Rights Reserved 共享时代 共享你我他 版权所有